宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题含解析上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。1。下列说法中正确的是（）A。先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生,其编号为，然后抽取编号为，，，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法B。线性回归直线不一定过样本中心C。若一个回归直线方程为,则变量每增加一个单位时，平均增加3个单位D。若一组数据2，4，，8的平均数是5，则该组数据的方差也是5【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样，样本中心点，回归直线,平均数，方差，对各选项逐一判断即可.【详解】对于A：根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是系统抽样法，故A错误;对于B:线性回归直线一定过样本中心，故B错误；对于C：对回归直线，当变量每增加一个单位时，平均减少3个单位，故C错误；对于D:一组数据2,4，，8的平均数是5，则，即，所以该组数据的方差为，故D正确.故选:D。【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了统计初步知识的应用问题,属于基础题。2。甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（）A。1 B.2C。3 D。4【答案】B【解析】【分析】由茎叶图直接求出甲的平均数和乙的中位数,由此得出结果。【详解】由茎叶图得:甲的平均数乙的中位数为83即甲的平均数与乙的中位数之差为85—83=2故选：B。【点睛】本题考查了对茎叶图得认识,以及平均数和中位数的求法.3.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥,∠=，则C的离心率为（）A. B。 C. D。【答案】D【解析】由题意可设|PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1|＝2m,|F1F2|＝m,故离心率e＝选D。点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等。4。下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学,如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是3个同学要第二个离开教室，共有3种结果，满足条件的事件是第二位走的是甲同学，共有1种结果，得到概率．【详解】由题意知，本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3个同学要第二个离开教室，共有3种结果,满足条件的事件是第二位走的是甲同学，共有1种结果,∴根据等可能事件的概率得到。故选：B。【点睛】本题考查等可能事件的概率，考查学生的计算能力,属于基础题。5。设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点（4，1)，则两圆心的距离=A。4 B. C。8 D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:依题意设两圆方程分别为,分别将代入得,所以，圆心距.考点：圆与圆的位置关系。6.已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题:①，；②，，；③，;④，，其中正确命题的序号是（)A。①④ B.②④ C。①③ D.②③【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的;对于命题②,直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线,因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A。7.执行如图所示的流程图，若输出的，则输入整数的最小值是(）A.3 B。7 C。15 D.31【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的，的值，当时,此时不满足条件,退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最大值为.【详解】模拟执行程序框图，可得，满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；由题意，此时不满足条件,应退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最小值为。故选:C。【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，判断循环退出的条件是解题的关键,属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(）A。 B. C。 D.2【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中底面为矩形,，，易知该几何体的体积为。故选：B.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,画出几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.9。中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图,其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边。若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r,求出圆的面积，根据概率公式计算即可【详解】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE＝O2E＝O2O＝r，∴BO2r，∵BO2+O2O＝BOBD,∴r+r，∴r，∴黑色部分面积S＝π（）2π,正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为π,故选B．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,确定面积为测度是关键．10.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点,若；则的面积为（）A. B. C。 D。【答案】C【解析】【详解】试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．11。如图，平面四边形中，，是,中点,，，，将沿对角线折起至，使平面,则四面体中，下列结论不正确的是()A.平面B。异面直线与所成的角为C。异面直线与所成的角为D。直线与平面所成的角为【答案】C【解析】【分析】运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理,结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．【详解】对于A：因为，是，中点,所以，即平面,平面,故A正确；对于B:因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故异面直线与所成的角为，故B正确；对于C:取边中点，连接，，如图：则,所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误；对于D：连接，可得,由面面垂直的性质定理可得平面,连接，可得为与平面所成角，由，则直线与平面所成的角为，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题.12。已知双曲线:的左、右焦点分别为、，为坐标原点,以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【详解】画出图形如图所示,由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为．由，解得，故点P的坐标为;由，解得,故点Q的坐标为．∵，∴,∴，整理得,∴，故得，解得．选D．点睛：求双曲线的离心率时,可将条件中所给的几何关系转化为关于等式或不等式，再由及可得到关于的方程或不等式，然后解方程(或不等式）可得离心率(或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用,如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人,西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法）,则北面共有__________人．”【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100。14。已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为___．【答案】4【解析】椭圆的右焦点为，故抛物线焦点也是这个,故答案为4.15。已知四棱锥P。ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直;②平面PBC与平面ABCD垂直;③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)【答案】①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确;若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC,得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能，故②错；S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD〉PA知③正确;由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB,故AE与BF共面,④错．16.在三棱锥中,正三角形中心为,边长为，面，垂足为的中点,与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】根据题意得到将Q点竖直向上提起，从SA的中点M做一条中垂线，两者的交点即球心,根据长度关系得到三角形AMH和三角形OHQ是相似三角形，OA即是半径，根据勾股定理得到半径为10，故得到球的面积为。故答案为．点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,弄清球的半径（直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组）求解。三、解答题：17。已知圆，直线。（1)当a为何值时,直线l与圆C相切；（2)当直线l与圆C相交于A，B两点,且时,求直线l的方程.【答案】（1）(2）或.【解析】【分析】（1）圆的圆心半径，由直线与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出的值．(2）直线与圆相交于、两点，且时，，再由圆心到直线的距离，列出方程，求出,由此能求出直线方程．【详解】解：将圆C的方程配方得标准方程为,则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离等于2，即:,；（2）直线l与圆C相交于A，B两点，且,圆心到直线的距离，而，即，或7.故所求直线方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长以及直线方程和点到直线的距离公式的应用，同时考查学生运算求解能力．18.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，,，侧面是等腰直角三角形,，平面平面，点，分别是棱，的中点。（1）证明：平面平面.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析(2）【解析】【分析】（1）由题意可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得到结论；（2）因平面平面,则平面，利用，即可得到结论。【详解】(1）证明：因为，分别是棱，的中点，所以，所以平面,因为点是的中点,所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，,所以平面,因为，所以平面平面。（2)因为，，所以，又因为平面平面，所以平面；又因为，,所以。【点睛】本题考查平面与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属于基础题.19。某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.表中,。（1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比,那么，利用第（2)问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气?附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，【答案】（1)选取更合适；（2);(3）时，煤气用量最小。【解析】【分析】（1）根据散点图的特点，可得更适合；(2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；(3)写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立条件.【详解】（1)选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型;(2）由公式可得:，，所以所求回归直线方程为：;(3）根据题意，设,则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即时，煤气用量最小。【点睛】此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值。20。2019年的天猫“双11”交易金额又创新高，达到2684亿元，物流爆增。某机构为了了解网购者对收到快递的满意度进行调查,对某市5000名网购者发出满意度调查评分表，收集并随机抽取了200名网购者的调查评分(评分在70～100分之间），其频率分布直方图如图，评分在95分及以上确定为“非常满意”。（1）求的值；(2)以样本的频率作概率,试估计本次调查的网购者中“非常满意"的人数;（3）按分层抽样的方法，从评分在90分及以上的网购者中抽取6人,再从这6人中随机地选取2人，求至少选到一个“非常满意”的概率。【答案】(1)（2）大约为(人）(3）【解析】分析】（1）根据概率和为列方程解得的值；（2)根据频率分布直方图得“非常满意”的频率进而可得人数；（3)利用列举法写出基本事件，即可得到结论.【详解】解:（1)由解得。（2）∵“非常满意”的频率为，∴本次调查的网购者中“非常满意”的人数大约为(人）（3）∵在被调查的200名网购者中，满意度评分在90～95之间的人数为（人）满意度评分在95～100之间的人数为（人），共30人，从中抽取6人，则这6人中，评分在90～95之间的有4人，设为、、、，评分在95～100之间的有2人，设为，，从这6人中任选2人，有如下选法:、、、、、、、、、、、、、、，共15种选法，其中至少有一人是“非常满意"的有9种选法，∴至少选到一个“非常满意”的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合