中档解答题特训之-强化训练篇-强化训练（二）

中档解答题特训之——强化训练篇强化训练（二）1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ（Ⅰ）求角β的大小（Ⅱ）求四边形ABCD周长的取值范围．2．一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？3．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．4．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．强化训练（二）参考答案与解析1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ（Ⅰ）求角β的大小（Ⅱ）求四边形ABCD周长的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）条件化为sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，即可求角β的大小（Ⅱ）求出CB+CD，即可求四边形ABCD周长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=BDcosα+CDsinβ，∴sin∠BDC=sinβcosα+sinαsinβ，∴sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，化简可得tanβ=，∴β=；（Ⅱ）由题意，，BD==，∵BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cosβ=（CB+CD）2﹣3CB•CD≥，∴CB+CD，∵，∴四边形ABCD周长的取值范围（3+，3+2）．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，属于中档题．2．一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型；D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】（Ⅰ）利用取出2球的颜色相同则为中奖，可得每次中奖的概率p==；（Ⅱ）m=3，每次中奖的概率p=，可得三次摸奖恰有一次中奖的概率为；（Ⅲ）求出三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）==3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），利用导数确定单调性，可得p=时，f（p）取得最大值，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p==；（Ⅱ）若m=3，每次中奖的概率p=，∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为=；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）==3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），∴f′（p）=3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴p=时，f（p）取得最大值，即p==∴m=2，即m=2时，f（p）取得最大值．【点评】本题考查概率的计算，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．4．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，C2：y=x+2，再求出圆心到直线距离，由此能求出曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值．（Ⅱ）伸缩变换为，从而曲线：=1，（t为参数）代入曲线，得．由此能求出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1