《自动控制原理》ch

第八章非线性控制系统NonlinearControlSystem整理ppt内容提要概述非线性特性的描述函数用描述函数分析非线性系统相平面图，奇点和极限环非线性系统的相平面图分析整理ppt§8.1概述典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法整理ppt一、典型非线性特性(一)饱和非线性输入近似饱和特性输出实际饱和特性M-Mb-b0整理ppt输入0输出KKh-h(二)死区非线性0输入输出Kb-b(三)间隙非线性整理ppt(四)继电器型非线性输入输出M-M0(a)输出M-M0h-h输入(b)输入输出M-M0h-h(c)输出M-M0mh-mh输入h-h(d)整理ppt二、非线性系统的运动特点(一)稳定性与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。研究时应注意：1、系统的初始条件；2、系统的平衡状态。整理ppttE0e(t)(二)系统的零输入响应形式某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。整理ppt非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。(三)极限环（自激振荡）整理ppte(t)频率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非线性弹簧M重物粘性阻尼器B系统微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)频率响应软弹簧硬弹簧非线性弹簧力整理ppt具有硬弹簧的机械系统具有软弹簧的机械系统ω0ω40x51326K′<0系统进行强迫振荡实验时：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.ωω00x4K′>012365整理ppt三、非线性系统的研究方法相平面法适用于一阶、二阶系统描述函数法是一种等效线性化方法计算机仿真整理ppt§8.2描述函数法一、描述函数的基本概念假设：非线性系统的典型结构非线性N线性G(s)xyrc1.可以归化为典型结构2.非线性特性以原点对称3.线性部分具有良好的低通滤波特性描述函数：输出的一次谐波分量与输入信号的复数比。整理ppt设y=f(x)将y展开成富里叶级数二、描述函数的计算方法式中由定义得整理ppt三、描述函数计算举例Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx例1.继电型非线性非线性特性以原点对称，

A0=0y(t)为奇函数，A1=0整理ppt0x(t)Aπ2ππ-φ1φ1ωtx(t)=Asinwt

输出y(t)k输入x(t)Δ0-Δkπ2π0φ1π-φ1y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

非线性的输出例2.具有死区非线性特性的描述函数整理ppt作辅助三角形AΔ整理ppt死区非线性的描述函数为整理ppt输出y(t)k输入x(t)b-b0π2π0π-φ1φ1x(t)Aωtx(t)=Asinwt

π2π0φ1π-φ1kby(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

饱和非线性输出例3.饱和特性非线性由图:整理ppt整理ppt饱和非线性的描述函数为整理ppt例4.具有死区和滞环继电器特性输出y(t)M输入x(t)mΔ0π2π0x(t)Aωtx(t)=Asinwt

π2π0y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sin(wt+φ1）Δ整理ppt在半个周期内，继电特性输出为

式中,整理ppt§8.3用描述函数分析非线性系统1.线性系统稳定性判据特征方程1+G(s)=0G(s)RCs=jω时G(jω)=-1临界状态是一个点ω=0+-1ω→∞ReImG(jw)ω=00整理ppt2.非线性系统的稳定性判据特征方程1+N(A)G(s)=0N(A)G(s)当s=jω时，系统处于临界状态临界状态是一条曲线G(jω)=-1N(A)ω=0+ω→∞G(jw)ω=0-1N(A)-1/N在G(jω)的左边，系统是稳定的ReIm0(a)整理ppt-1N(A)ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0(c)ω→∞0ReImG(jw)ω=0(b)ω=0+-1/N在G(jω)的右边，系统是不稳定的。-1N(A)-1/N与G(jω)相交，系统将产生极限环振荡。整理ppt极限环的稳定性ω=0+ω→∞0ReImG(jw)-1N(A)ABA"B"A′B′稳定区非稳定区A点是不稳定极限环B点是稳定极限环整理ppt3.描述函数法的应用用途：判断非线性系统的稳定性是否存在极限环步骤：求描述函数N画出-1/N与G(jω)曲线判断系统的稳定性整理ppt应用描述函数法的基本假设：1、系统可归化为如下的典型结构。2、非线性特性以原点对称，且输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。3、线性部分的低通滤波效应较好。N(A)G(s)c(t)r(t)=0整理ppt例1.解：

kx(t)y(t)C(s)-bbR(s)G(s)求N：A=b时：A→∞时：整理ppt在复平面上画图：0ReImω=0+ω→∞G(jw)-1N(A)-1N(A)可求出k临界值：先求ωc再求由-1/N=G(jw)k=10.045=22.5k值较小时，-1/N在G(jw)的左边，系统稳定k值较大时，-1/N与G(jw)相交，系统有稳定极限环如设b=1,k=30所以A=1.6极限环振荡的振幅为1.6，频率为7.07。整理ppt例2.

cx(t)y(t)C(s)-bbR(s)G(s)解：求N：A=b时：A→∞时：必有极值整理ppt求出该极值极值为：wG(jw)0ReIm-1N(A)AAAB画图整理ppt求稳定极限环振荡的振幅和频率设b=0.1，c=5极值点在0.03，此时的A=0.1414wG(jw)A=0.11ω=7A=0.22ω=7-0.030ReIm-1N(A)AAA=0.1414求出整理ppt例3.解：Aω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0-2-1N(A)8Mπ,ω=1A=4s(s+1)2

M-My(t)x(t)-x(t)0整理ppt令G(jw)的虚部为零,求得交点处的频率w

1-w2=0代入G(jw)的表达式，得w=1(弧度/秒)交点处的参数应满足即自激振荡的振幅A=8M/p，频率w=1。A=8M/p整理ppt例4系统如图。其中滞环非线性特性参数M=4，=1。试分析该非线性系统是否存在自激振荡。解描述函数其中整理ppt因此

虚部为一常数线性部分的频率特性G(jw)可写为由-1/N(A)=G(jω)求得

ω=1.14

A=5.1A=5.1ω=1.14-1N(A)-0.20ReIm-1+ω=0G(jw)整理ppt4、非线性系统结构图的简化为了应用描述函数法分析系统的稳定性及自激振荡，需要将实际系统的各种结构形式归化为典型结构。在讨论自激振荡时，只研究系统内部的周期运动，并不考虑外部作用。因此，在将结构图归化时，可以认为所有外作用均为零。整理ppt（1）并联非线性eN1N2Gc先求各非线性的描述函数N1(A)和N2(A)，并联非线性特性的描述函数为

N(A)=N1(A)+N2(A)整理ppt（2）串联非线性串联非线性的描述函数不等于两个非线性描述函数的乘积。当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特性等效为一个特性，然后求总描述函数N(A)。注意:

调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更改位置，这一点是与线性环节串联有所区别的。N1N2xuy整理ppt假定图中N1为死区非线性，N2为饱和非线性：xuyxuk1a1uyk2b1xyk1k2a1a1+yx串联后复合非线性整理ppt非线性环节串联等效特性的求法：

MSyxu=K(x-b)x>bK(x+b)x<-b0x<b-Mu<-Δy=Mu>Δ0u<Δ-Mx<-sy=Mx>s0x<s也即：u=K(x-b)>Δ,x>Δ

/K+b=s

MΔ

Kbxyu整理ppt§8.4相平面图相平面法是一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法。是状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。整理ppt一、相平面图的基本概念二阶系统令x1=x,x2=x.整理ppt相平面：以相变量x1和x2为坐标构成的平面。相轨迹：在相平面上，由(x1，x2)以时间t为参变量构成的曲线。ACBx1=xx2=x.整理ppt二、相平面图的绘制对于二阶系统f(x,)x..x.+=0(x,)以x,为相变量，可得到相轨迹通过点的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－整理ppt(一)相平面图的特点1、对称性x.a.关于轴对称即f(x,)是关于x的奇函数。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或整理pptb、关于x轴对称即f(x,)是的偶函数。x.x..-f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、关于原点对称即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.

整理ppt普通点相平面上不同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.奇点相平面上，同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.2.奇点和普通点3.相轨迹通过x轴的斜率所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。在x轴上，所有点都满足=0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞整理pptACBx1=xx2=x.4.相轨迹移动的方向上半平面：x>0dt>0,dx>0相轨迹方向自左向右下半平面：x<0dt>0,dx<0相轨迹自右向左横轴：x=0dt>0,dx=0相轨迹与横轴正交系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。整理ppt(二)绘制相平面图的解析法例1试绘制二阶系统的相平面图。解：系统方程改写为积分得相轨迹方程xx.0x0整理ppt图解法:等倾线法圆弧近似法

(三)绘制相平面图的图解法

——等倾线法先用等倾线确定相轨迹斜率的分布，再绘制相轨迹曲线。整理ppt设系统方程为得等倾线方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改写为：直线的斜率整理ppt例2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面图求

+a||+x=0x..x.上半平面的等倾线方程：x.1a+a=-x整理ppt三、由相轨迹求时间响应曲线由x.=dxdtx.=dxdtΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.整理ppt平衡点处的斜率§8.5奇点和极限环一、奇点奇点就是系统的平衡点。斜率不确定平衡点运动的速度为0运动的加速度为0整理ppt二、奇点的类型特征根：(1)0＜ζ＜1jωσ稳定焦点xx.整理ppt(2)0＞ζ＞-1jωσ不稳定焦点

xx.(3)ζ＞1jωσ稳定节点xx.整理ppt(4)ζ＜-1σjω不稳定节点xx.(5)ζ＝0jωσ中心点

xx.整理ppt两个异号实根jωσ(6)鞍点xx.整理ppt在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5+2x=0例3分析系统的稳定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：求得奇点(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在奇点(xi,0)附近，系统的线性化方程为x.=0x.=0.在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为.x.x.+0.5-2x=024-224-4xx.整理ppt三、极限环极限环(limitcycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。(1)稳定极限环(2)不稳定极限环极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。xx.极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。xx.整理ppt(3)半稳定极限环极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。xxx.x.整理ppt§8.6非线性系统的相平面分析分析步骤：根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。画出各段的相轨迹。将相邻区域的相轨迹连接起来。分析非线性系统的稳定性、动态特性和稳态误差。整理pptKs(Ts+1)mecrNme10e0-e0k系统方程可写为T+=Kmc..c.ke|

e

|<e0e|

e

|>e0m=e

=r-cT++

Km=e..e.T+r..r.例1：试分析下面的非线性系统设r=1整理ppt将相平面分成两个区域

ⅡⅠe0e0e0e.xx.I区xx.II区整理ppt(一)阶跃响应分析r(t)=R·1(t)

AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在区域Ⅰ内

T++kKe=0e..e.在区域Ⅱ内T++Ke=0e..e.II区的终态是I区的初态。实奇点虚奇点开关线整理ppt(二)斜坡响应分析

r(t)=R+Vt

T++kKe=V|

e

|<e0

e..e.T++Ke=V|

e

|>e0

e..e.BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R=0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ0e.当V＜kKe0,R＞e0时：奇点：开关线在奇点的右侧初态：整理pptKs(Ts+1)+M-Mmecr元件特性：当e＞0时,m=M;当e＜0时,m=-M.分界线e=0。将相平面分成Ⅰ区和Ⅱ区

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.等倾线方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系统方程为：在区域Ⅱ内T+=KMe..e.e<0,m=-M系统方程为：与T+=-KMe..e.其相平面图对称于原点比较,例2：整理pptM-MΔ-Δem非线性特性为当e＞D,m=+M当e＜-D,m=-M当-D＜e＜D,m=0元件特性为：分界线为e=+D和e=-D，它们将相平面分为三个区域eⅠⅡe.Ⅲ在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.在区域Ⅱ内T+=KMe..e.在区域Ⅲ内T+=0e..e.相轨迹斜率为：例3：系统结构同前。整理pptM-MΔ-Δem若继电元件有滞环特性eⅠⅡe.在＞0时的平面内，分界线为e=+D。在＜0时的平面内，分界线为e=-D。它们把相平面分为两部分。e&e&其右半平面，系统在+M信号作用下，系统方程为：T+=-KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅰ。其左半平面，系统在-M信号作用下，系统方程为：T+=KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅱ。整理pptKTs+M-Mmecr例4：s1c.b(1)无局部负反馈b时：r=0

时,e=-c求解，得：Ic.cII整理ppt(2)有局部负反馈b时：KTs+M-Mmecr续例4：s1c.be=-c-bc（r=0）

.当e>0：c+bc<0

.c+bc>0

.当e<0：因此，转换线方程为：c+bc=0

.即c.IcII整理ppt解：列写运动方程

s+1rex1uy-2y=u..例5：非线性系统如下。在t＝0时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初始状态，问经过多少秒，系统状态可到达原点。e+e>0e+e<0..y=-e....于是有

-0.5,e+e>00.5,e+e<0e=....①②整理ppt区域①：..e=-0.5e=-0.5t

+c1e=-0.25t2