傅里叶公式理解

x（洱质量Mx（洱质量M0■信号分类■周期信号分析一傅里叶级数■非周期信号分析一傅里叶变换■脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段§2—1信号的分类•两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。进一步分为：周期信号，非周期信号。弹簧刚度K奏了//////质量一弹簧系统的力学模型非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的•按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。•信号描述方法时域描述如简谐信号简谐信号及其三个要素xcos(①t+e)幅值/频率相角频域描述以信号的频率结构来描述信号的方法：将信号看成许多谐波(简谐信号)之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。<pagebreak>§2-2周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式•周期信号时域表达式x(t)=x(t+T)=x(t+2T)=-=x(t+nT)(n=+1，±2，…)T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”#•傅里叶级数的三角函数展开式8T・x(t)=a+E(acosn①t+bsinnot)0n0n0n=1(n=1,2,3，…)傅立叶系数：

a01=■TT气x(t)dtT—一2an2=,TrT2x(t)cosn①Ttdt0—2*bn2=•TT2x(t)sinn①Ttdt0—2式中T--周期；①基频，①=2兀/T。U—U三角函数展开式的另一种形式：N次谐波的幅值N次谐波的频率8xN次谐波的幅值8x(t)=a+EAcos(n30t+中)N次谐波—n=1信号的均值，直流分量N次谐波的相角A=^a2+b2-bo=arctgn_nn=1,2,3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和一谐波分析法•频谱图111***%如。」1(A111***%如。」1(A周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：解：信号的基频傅里叶系数x(t)A广非对称周期方波—周期方波—t的偶函数奇函数：a0=an=t的偶函数2(rj2x(t)sinn①tdt-~24KTJ2A4KTJ2Asinn①tdt=1-cosn丸n次谐波的幅值和相角AnAnAnAnn—^=-nK，n2(n=1,3,5,…)最后得傅立叶级数/,、—4A/一，丸、/、x(t)—zcos(nWt—2)(n—1,3,5,,,,)n频谱图4A二、周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式e土向t=cos①t土jsin①t

•傅立叶级数的复指数形式<[〜1()cos①t=e4A二、周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式•傅立叶级数的复指数形式<[〜1()cos①t=e-加t+ej。t/2Sin。t=je-j。t—e.t)I2j=7一18%(t)=zcejn01n=一8(n=0,+1,+2,土3,c=a=j2x(t)dt一2a—jbC=nnnT2x(t)e-g0tdtT一——2nn•一般C是个复数。

n因为annn•一般C是个复数。

n因为an是n的偶函数bn是n的奇函数，因此b=—b-nn即：实部相等，虚部相反，b=—b-nn•cn的复指数形式共轭性还可以表示为CnCn=C-n，8=7n-n即：c与c模相等，相角相反。•傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系对于n>0a2+(-b)2_A

"2"=~2（等于三角函数模的一半）（与三角函数形式中的相角相等）（与三角函数形式中的相角相等）AC=n-n28=-arctg_匕=arctg匕-naa

用。画频谱：双边频谱n第一种：幅频谱图：|cnl-①，相频谱图:里n-①单边频谱_2o0-_^-o82^^081双边频谱第二种：实谱频谱图：Rec〃-①，虚频谱图：Imc「①；也就是a~^和-b用。画频谱：双边频谱n第一种：幅频谱图：|cnl-①，相频谱图:里n-①单边频谱82^^081双边频谱#<pagebreak>§2—3非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号

定义：由没有公共周期(频率)的周期信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比(或周期比)不是有理数b.瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式(2.22)借助(2.16)演变成：工但的傅里叶变换X(3)x(t)=匕2tJ"x(t)e-沁，dt-—^0--ej®td①定义x(t)的傅里叶变换X(3)XG)=3x(t)e-加tdtX(3)的傅里叶反变换x(t)：%(t)=j8X(①)ej«td①女-8•傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率缶连续变化的无数谐波的叠加。称X(o)其为函数x(t)的频谱密度函数•对应关系：「1…、，〕2^X⑹)d①ej®t=L〕nejn®湛乂㈣描述了x(t)的频率结构X(o)的指数形式为X(①)=X(①)ej^(①)•以频率f(Hz)为自变量，因为/=w/(2p)，得X(f)=j8x(t)e-j2兀ftdt—8x(t)=j8X(f)ej2兀ftdf—8X(f)的指数形式X(f)=X(f)ej(f)•频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图相位频谱图实频谱图ReX（s）实频谱图ReX（s）和虚频谱图Im（3）如果X（o）是实函数，可用一张X0）图表示。负值理解为幅值为X（旧的绝对值，相角为"或。二、傅里叶变换的主要性质（一）叠加性ax(t)+ax(t)—ft^aX(f)+aX(f)11221122（二）对称性X(t)—r^x(-f)（注意翻转）（三）时移性质x(t+x(t+t)0>X(f)e土j2氏fto幅值不变，相位随f改变±2f0）（四）频移性质

X（t）e土J2兀ft0FT>X（ff）0（注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性ifx（at）=X（J）~a~a（六）微分性质（七）dnX(t)dtn一（七）dnX(t)dtn一(J2f)nX(f)卷积性质卷积定义X(t)*y(t)=j^X(t)y(t-T)d气—s卷积定理X(t)*y(t)-ft>X(f)Y(f)X(t)y(t)-ft>X(f)*Y(f)三、脉冲函数及其频谱（一）脉冲函数：定义8函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值脉冲强度（面积）』88(t)dt—1定义8函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值脉冲强度（面积）-8（二）脉冲函数的样质1.脉冲函数的采性（相乘）样质：8（t）'财8函数值x(t)(t—t)=0强度3x(t)8(t—t)dt=x(t)J38(t—t)dt=x(t)—300—300结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度如⑺在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值2.脉冲函数的卷积性质(a)利用结论2x(t)*8(t)=J3x(T)8(t—T)dT

—30=x(t)J38(t—T)dT—3=x(t)(b)利用结论2%（（eI。）=J：%e）：（-疽）dd。）J/（I。-T）d=x（t—t）0结论：平移（三）脉冲函数的频谱5（t）—p^~^f）=3（）e-j2ftdt=1—^均匀幅值谱由此导出的其他3个结果5（t土t）一t?~>e+j2珅00I__I（利用时移性质）1ft—5（—f）=5Q*）（利用对称性质）e+j2ftFT>5(ff)0式，再用频移性质