高等数学 隐函数求导

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数

.则称此隐函数求导方法:

两边对

x

求导(注意y=y(x))(含导数的方程)（隐函数的显化）例1.

求由方程在x=0

处的导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,

故确定的隐函数例2.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：二阶导数解:

方程两边对

x

求导，得隐函数求高阶导数法1:

由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导数的显式继续求导.法2:

反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.例3解练习设由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②

得求①观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导

1)对幂指函数可用对数说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导:求的导数.解:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对

x求导又如,

对x

求导两边取对数二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:

消参困难或无法消参如何求导?若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x

是

y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例5解例6解所求切线方程为?例7.

设,且求已知解:练习:

解:注意:对谁求导?

求例8.

设由方程确定函数求解:

方程组两边对t

求导,得故内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式1.

设由方程确定,解:方程两边对x求导,得且存在，求思考与练习解解得作业P82

1(2)(3);2

;4

(2)

(4);

5

(1)

(2);

6(2);8

第五节求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导思考题1.

设,求解：方程组两边同时对t求导,得2.

设3.

设求提示:

分别用对数求导法求答案:练习题一、

填空题：1、

设01552223=+-+-yxyyxx确定了y是x的函数，则)1,1(dxdy=________.2、

曲线733=-+xyyx在点（1，2）处的切线方程是___________.3、

曲线îíì==ttyttxsincos在2p=t处的法线方程________.4、

已知îíì==teytexttsincos,则dxdy=______；3p=tdxdy=______.5、

设yxexy+=,则dxdy=________.二、

求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、

；2、

；3、

yxxy=

)00(>>yx，.三、

用对数求导法则求下列函数的导数：1、

2xxy=；2、

54)1()3(2+-+=xxxy；3、

xexxy-=1sin.四、

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、îíì==tbytaxsincos

；2、îíì-¢=¢=)()()(tftftytfx

设)(tf¢¢存在且不为零

.五、

求由参数方程îíì-=+=ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的

二阶导数22dxyd

.六、设)(xf满足xxfxf3)1(2)(=+，求)(xf¢

.练习题答案一、1、34；

2、02311=-+yx

3、022=+-ppyx；

4、32,sincoscossin---+tttt；

5、yxyxexye++--.二、1、；

2、-)(cot)(csc232yxyx++；

3、322)1(ln)1(ln)1(ln++-+yxyxxyy.三、1、)1ln2(12++xxx；

2、]1534)2(21[)1()3(254+---++-+xxxxxx；

3、