2023年云南省麻栗坡县高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，在平面直角坐标系反少中，尸是椭圆［+与=l（a>b>0）的右焦点，直线y=e与椭圆交于B,。两

a~b'2

点，且尸C=90°,则该椭圆的离心率是（）

1

A.国C.-D.B

322

2."a工P”是cosa*cosP”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

b,且24+人='1（。>0,/?>0）,则

3.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,

此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

91根图

21

B.—71C.44D.5兀

4

4.已知非零向量万,5满足同=丽，若口5夹角的余弦值为?，且他一25)“3M+5),则实数4的值为()

423f43

A.——B.—C.一或——D.—

93292

5.若直线〉=依-2与曲线y=l+31nx相切，则％=()

6.为计算5=1-2x2+3x22-4x23+...+100x(-2产，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()

(/♦1>(-2)'

A.z<100B.i>100C.z<100D.z>100

7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草

每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()

(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：1g3no.4771,1g2a0.3010)

A.2B.3C.4D.5

8.已知a=log374,b=log2m,c=-|,若a>b>c,则正数机可以为()

A.4B.23C.8D.17

9,若/(x)是定义域为R的奇函数，且/(x+2)=—〃x),则

A./（X）的值域为RB./（X）为周期函数，且6为其一个周期

C.“X）的图像关于x=2对称D.函数/（X）的零点有无穷多个

2n

10.已知（1+Ax/展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，（1+几幻"=%+atx+a2x+■■■+anx,

若％+々+…％=242,则%—----卜（-l）"a"的值为（）

A.1B.-1C.81D.-81

11.已知正方体的棱长为1,平面a与此正方体相交.对于实数d（0<d<6）,如果正方体

ABC。-44G。的八个顶点中恰好有加个点到平面。的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.m手6B.mw5

C.D.m^3

2

12.双曲线三—y2=i（,〃>c）的一条渐近线方程为x+2y=0,那么它的离心率为（）

A.百B.75C.逅D.好

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=sin3x+3cos2x[xe的值域为.

TT乃

14.将函数/（x）=sin2x的图像向右平移9个单位，得到函数g（x）的图像，则函数y=/（x）-g（x）在区间0,-上

6|_2_

的值域为.

15.函数y=Jlog；x的定义域为__.

16.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩自服从正态分布N（100,a2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

V2V2

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:二+二=1的左顶点为A,右焦点为尸，P,Q为椭圆。上两

43

点，圆0:一+丁=/（r〉0）.

(1)若PE_Lx轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程;

3

(2)若圆。的半径为G，点P,Q满足求直线PQ被圆。截得弦长的最大值.

18.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，

直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单

位：元)，求X的分布列.

19.(12分)已知数列｛«„｝是各项均为正数的等比数列，数列出｝为等差数列，且々=%=1,4=4+1，a=%-7.

(1)求数列｛4｝与也｝的通项公式；

(2)求数列｛。也｝的前〃项和4；

⑶设S”为数列｛叫的前〃项和，若对于任意〃eN*，有S“+；=J2",求实数/的值.

20.(12分)在AABC中，M为BC边上一点,ZBAM^45°,cosZAMC=—.

5

(1)求sinB；

(2)若碇=AC=4,求MC.

2

21.(12分)在等比数列｛%｝中，已知4=1,g=：•设数列也,｝的前〃项和为S.，且4=T,a“+b“=-'S“T

o2

(n>29nGN*).

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)证明：数列九;是等差数列；

1a"

(3)是否存在等差数列｛%｝,使得对任意〃eN*，都有Sn<cn<an?若存在，求出所有符合题意的等差数列｛cn｝；

若不存在，请说明理由.

22.(10分)在平面直角坐标系中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

［、及

x=-2+—t

为夕=2sine+2acos/a>0)；直线/的参数方程为2"为参数)，直线/与曲线。分别交于

两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程;

(2)若点尸的极坐标为(2,»)，|+|PN|=50,求"的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得8和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c、2=2",由离心率定义可得结

果.

【详解】

x2y2[x/3

由矿产，得2,所以§_*武,C(6b}

一a,一・

bh122J(22)

y=-y=—17

121/2

Gb]

由题意知尸(c,0)，所以而=c+^-a,--,c———a,——.

22；

因为/BFC=90。,所以5b，CF,所以

诟7^-(6)(右)/_232。2-。2=-c2-l«2=0.

12乂2J44442

所以3c2=2a2,所以e=£=

a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

2.B

【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

a=/3=>cosa=cos/3所以cosa丰cos/3na手0（逆否命题）必要性成立

当a=-f3=>cosa=cos/3,不充分

故是必要不充分条件，答案选B

【点睛】

本题考查了充分必要条件，属于简单题.

3.B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABC。-AgGR的四个顶点，即为三棱锥A-Cqn，且

长方体ABC。—AgG。的长、宽、高分别为2,。,人，

.•.此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-A4GA的外接球,

且球半径为R=及2+/+/="+,

22

.•.三棱锥外接球表面积为4万"+=乃（4+/+。2）=5万（。一1）2+也，

\7

121

.•.当且仅当a=I,8=大时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为二万.

24

故选B.

【点睛】

（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

4.D

【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合同=4同以及夹角的余弦值，即可求得参数值.

【详解】

依题意，得（3一26卜（34+5）=0,即3同2_513_2忖2=0.

将同=/1忖代入可得，18万一19/1-12=0，

34

解得2=7（2=一一舍去）.

29

故选：D.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.

5.A

【解析】

3,3

设切点为（%,丘。-2）,对y=l+31nx求导，得到了=一，从而得到切线的斜率上=一，结合直线方程的点斜式化简

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（与，匕0-2）,

•q

3一=左①，

"=一,.♦.〈天

JQ

区o-2=1+3Inx（）②，

由①得依）=3,

代入②得l+31nx0=l,

则%=1,k=3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

6.A

【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.

【详解】

由程序框图的运行，可得：S=0,i=0

满足判断框内的条件，执行循环体，a=LS=Li=l

满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2

满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3

观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2)S=l+2x(-2)+3x(-2)2+...+lx(-2)",

i=l,此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i〈l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.

7.C

【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：―二1,解出即可得出.

1-12-1

2

【详解】

由题意可得莞草与蒲草第〃天的长度分别为劣=3x['[，2=1X2"T

n

据题意得：2＞＜八I~~2浮)T--1-＞解得2〃=12,

1-127

2

“簪=2+绊L

lg2lg2

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出«的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：•.•3=log327<a=k)g374<k)g381=4,.•.当加=8时，6=log2m=3满足q>6>c,.,.实数加可以为8.

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

9.D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

/(x)是定义域为R的奇函数，则/(一幻=一/(幻，/(0)=0,

又/(x+2)=-/(x),/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

即/(%)是以4为周期的函数，f(4k)=/(0)=0(々eZ),

所以函数的零点有无穷多个；

因为J(x+2)=-J(x),/[(x+l)+lJ=/(-x),令f=l+x,则加+1)=/(1T),

即/(x+1)=/(I-x),所以/(x)的图象关于X=1对称,

由题意无法求出“X)的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

10.B

【解析】

根据二项式系数的性质，可求得〃，再通过赋值求得。。以及结果即可.

【详解】

因为(1+Ax/展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,

故可得〃=5,

令x=(),故可得1=4，

又因为4+生+…+%=242,

5

令x=1,则(1+Z)=。()+q+4+—b«5=243，

解得4=2

5

令x=-l,则(1-2)5=«(；-«1+a2----i-(-l)a5=-\.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.

11.B

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图(1)恰好有3个点到平面a的距离为d；如图(2)恰好有4个点到平面a的距离为"；如图(3)恰好有6个

点到平面a的距离为".

所以本题答案为B.

ABi

Ofi

(1)(2)(3)&

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系,考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

12.D

【解析】

2

根据双曲线上—>0的一条渐近线方希3为x+2y=0,列出方程，求出”的值即可.

【详解】

2

•.•双曲线二—y2=](机>。的一条渐近线方程为x+2y=0,

11

可得一/==7，m=4,

yJm2

...双曲线的离心率e=-=—.

a2

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-6-3G;

13.---,3

O

【解析】

利用换元法，得到g(t)=t3-3t2+3,te-白，1，利用导数求得函数g(t)的单调性和最值，即可得到函数的值域,

得到答案.

【详解】

7171

由题意，可得f(xjusirPx+Bcos?*=sin3x-3sin2x+3,x€

3，?2

令t=sinx，tG一与,1,即g(t)=F—3t2+3,tG-当,1

贝ijg(t)=3t2—6t=3t(t-2),

当一日<t<0时，g'(t)>o,当0<t<l时，g'(t)>0,

即y=g⑴在-y-,0为增函数，在[0』为减函数,

又"一乎>3^g(O)=3,g(l)=l,

故函数的值域为：色芋,3.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数g(r),

再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题.

rV5/

14.------,1

2

【解析】

根据图像的平移变换得到函数g(x)的解析式，再利用整体思想求函数的值域.

【详解】

函数/(x)=sin2x的图像向右平移J个单位得g(x)=sin2(x—二)=sin(2x--),

663

…>=/(x)-g(x)=sin2x—sin(2x)=—sin2x+cos2x-sin(2x+—),

_71「乃4%

*.*X€0,—=>2xH€一,,

2j3|_33_

..ye--—,1.

故答案为：一夸.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算

求解能力，求解时注意整体思想的运用.

15.(0,1]

【解析】

x>0

由题意得｛]og/20：,解得定义域为(0』.

2

16.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.

【详解】

解：P^>120)=|[l-2P(80<"100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=10份.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)%2+_y2=-(2)>/6

【解析】

试题分析：(1)确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点P

331

坐标：因为轴，所以P(l,±i),根据对称性，可取P(1Q),则直线AP的方程为y=](x+2),根据圆心到

2

切线距离等于半径得一=存(2)根据垂径定理，求直线P。被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线PQ的

网3

距离的最小值.设直线PQ的方程为)，=履+〃，则圆心。到直线PQ的距离d=利用％8睡3=--得

7匕+14

3%=°，化简得(3+4/»也+4妨(西+/)+4〃=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得2/=4^+3,因此d=J*+32——-----当左=0时，”取最小值，P。取最大值为卡.

\2(k2+l)\2(左?+1)7

试题解析：解：(1)

因为椭圆C的方程为三+t=1,所以A(—2,0),F(l,0).

43

3

因为轴，所以P(l,±-),而直线AP与圆。相切,

2

根据对称性，可取

则直线AP的方程为y=g(x+2),

即x-2y+2=0.

2

由圆。与直线AP相切，得「=不

所以圆。的方程为f+y2=g.

(2)

易知，圆。的方程为丁+丁=3.

3

①当PQ-Lx轴时,kOP-kOQ=-kOp=--,

所以％=±*,

此时得直线PQ被圆。截得的弦长为蛀.

7

②当P。与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为>=丘+6,2西，X),。(々,必)(%々/0)，

3

首先由e-W，得3中2+4m必=°，

即3X1X2+4(fcv,+b)(kx2+>)=0,

所以(3+4/)玉％+4的(玉+w)+4〃2=0(*).

y=kx+b

联立｛/y2,消去x,得(3+4公》2+8处x+4"-i2=0,

------1------=1

43

M8kb4Z?2—123、，、一

将为+/=-------,x,x=-----丁代入(*)式，

1-3+4攵271223+4公

得2/=4公+3.

由于圆心。到直线PQ的距离为d=?

收+1

所以直线PQ被圆。截得的弦长为/=故当后=0时，/有最大值为".

综上，因为布＞券，所以直线PQ被圆。截得的弦长的最大值为卡.

考点：直线与圆位置关系

3

18.(1)—；(2)见解析.

【解析】

(1)利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；

(2)由题意可知随机变量X的可能取值有200、300、400,计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此可得出

随机变量X的分布列.

【详解】

233

(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则尸(A)=—*

5410

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200、300、400.

A21

则P（X=200）=,=而，P（X=300）

610,

133

P（X=400）=l-P（X=200）-P（X=300）=l一点一百=[

故X的分布列为

X200300400

133

P

10105

【点睛】

本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.

2

1二及-

19.(1)an=X',bn=2n-1(2)4(23)・2"+3(3)t=—

【解析】

(1)假设公差d,公比q,根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得d,q,然后利用公式法，可得结

果.

(2)根据(1)的结论，利用错位相减法求和，可得结果.

(3)计算出S“，代值计算并化简，可得结果.

【详解】

h]+2d=%q2+1

解：(D依题意:

4

瓦+4d=a]q-7

2d=q1d=2

解得:

4d="一84=2

所以4=2"」，b,=2〃-l

n

(2)anb„=(2n-l)2-',

A“=1+3x2+5x22+…+(2〃-1)X2"T,

24=1x2+3x22+5x2'+…+(2〃-1)x2",

上面两式相减，得：

=1+2(2+22+…+2"T)_(2"1)X2〃

则一4=1+2乂2(；-j)一(2〃-1)>2"

即=(3-2rt)x2H-3

所以，4=(2〃-3>2"+3

(3)«„2=22n-2=4,'-1

23,1

Sn=1+4+4+4+...+4'-,

1-4"4"-1

所以S.=

1-43

2n1

由邑+,=八2%得，i-Ll+l=rx2-

333

2

即仁x2

43

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.

20.(1)①；(2)4

10

【解析】

(1)B^ZAMC-ZBAM,利用两角差的正弦公式计算即可；

(2)设MC=x,在A4W中，用正弦定理将AM用x表示，在AACM中用一次余弦定理即可解决.

【详解】

V5

⑴vcosZAMC

5

sinZAMC=-

5

所以，sinB=sin(ZAMC-ZBAM)

-sinZAMC-cosZBAM-cosZAMC-sinZBAM

2y[5V275V2_Vio

一^2

(2),：MC=-BM,

2

.,.设MC=x,BM^lx,

.工‘十…—E'qBMAM

在中，由正弦定理得，,

sin45°sinB

2x_AM

，近一屈,

~TIT

2行

AM----X

5

•:AC2=AM2+MC2-2AM-MC・cosZAMC，

.424,、2非V5

•-4=—x+x2-2----XX----

555

MC=x=4»

【点睛】

本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

(1

21.(1)-(2)见解析⑶存在唯一的等差数列{c.},其通项公式为%=0,〃eN*满足题设

\2.

【解析】

(1)由％=1,4=1可得公比4，即得；(2)由(1)和4+〃,=—Ls,i可得数列也｝的递推公式，即可知媪一九

aa

82n+\n

结果为常数，即得证；(3)由⑵可得数列也｝的通项公式，S“=—2(4+]+%3设出等差数列也｝,再根据不

等关系S“<c„<aH来算出｛%｝的首项和公差即可.

【详解】

(D设等比数列｛4｝的公比为4,因为q=1,%=:，所以"=:，解得“=

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(2)由(1)得，当“22,〃€N*时，可得(g)…①，

(£|+%=也,…②

②—①得’%-(2=(£|,

—~—=1bb

1丫一，即-,n>2,neN*.

-“I狐

2)

bb

因为乙=一1,由①得，历=0,所以^一」=0-(―1)=1,

出4

hh

所以'i±L一_;L=1,〃eN*.

*an

b

所以数列2是以-1为首项，1为公差的等差数列.

l«J

⑶由⑵得.=〃一2,所以2=当1S”=—2(%+〃+J=—29+黑)=—£7r.

假设存在等差数列｛或｝,其通项c"=4”+c,

使得对任意〃eN*,都有S“<c„<a„,

1

即对任意〃£N*，都有一手才4日"+0工亍二厂③

首先证明满足③的4=0.若不然，dwO,则d〉0,或d<0.

1-C1

(i)若d>0,则当〃,——,"wN"时，cn=dn^c>\>——r=an,

这与％4c“矛盾.

1+c

(ii)若d<0,则当〃〉一一时，g=d〃+c<-L

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n4-1nn