2023年浙江省效实高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的偶函数/(X)满足/(l+x)=/(l-x),当xe[o,l]时，f(x)=-x+\,函数g(x)=e-kT

(-l<x<3),则函数/(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

A.2B.4C.5D.6

2.已知复数z满足z«l+2i)=5(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜

幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实

质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S,即S=J；32c,2—二了].若的面积S二半，

a=6,b=2,贝！IsinA等于()

A.叵B.巫C.叵或叵

D.—或——

1061062036

4.设人x)是定义在R上的偶函数，且在(0,也)单调递减，贝!I()

3443

A./(log30.3)>/(2^)>/(2-°•)B./(log30.3)>/(2^)>/(2-°-)

3443

C./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)

5.已知函数的定义域为[0,2],则函数g(x)=((2x)+j8-2'的定义域为()

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

6.在AA3c中，点P为BC中点,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点N,若=丽，

前=〃/(4>0,〃>0),则丸+〃的最小值为()

57

A.-B.2C.3D.-

42

7.马林・梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费

马等人研究的基础上对2。-1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如

（其中P是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）

/输出S/

8.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为（）

正视图Mwre

D.后

9.定义在R上的函数f（x）满足/（4）=1,7'（九）为的导函数，已知y=/（X）的图象如图所示，若两个正数。力

满足/（2。+勿＜1,则竺的取值范围是（）

B.(-00,—)u(5,+oo)C.(-,5)D.(f3)

10.已知是平面内互不相等的两个非零向量，且同=1,万与5的夹角为150,则W的取值范围是（）

A.（0,招]B.[i,V31C.（02]D.[73,2]

11.已知正方体ABCD-A片的体积为V,点M,N分别在棱B4,CC,±,满足A例+MN+N2最小，则四

面体AMNQ的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

12.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，

葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它

引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取

自水下的概率为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy-4<0,

13.若实数满足不等式组2x--8W0,则目标函数z=-r的最大值为________.

।x>l,

14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于

齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率

为__________

15.已知/（x）=x|x|,则满足了（2x-l）+/（xR0的x的取值范围为.

16.已知x,yeR,i为虚数单位，且（x-2）i-y=-l+i,则x+y=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆。：0+£=1（a>0）的离心率为白，点P—1,；在椭圆上.

（I）求椭圆的标准方程;

（II）设直线y="+〃?交椭圆。于A6两点，线段A8的中点/在直线x=l上，求证：线段A3的中垂线恒过定

点.

18.（12分）已知抛物线。1：尤2=2期（〃>0）和圆&：（%+1）2+产=2,倾斜角为45。的直线4过抛物线G的焦点，

且4与圆。2相切.

（1）求"的值；

（2）动点M在抛物线G的准线上，动点A在G上，若G在A点处的切线％交》轴于点3,设丽=加+砺.求

证点N在定直线上，并求该定直线的方程.

19.（12分）2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、

化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学

生中随机抽取200人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，

不喜欢物理的有44人.

（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”；

（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）

中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X,求X的分布列及期望

E（X）.

2n^aa-bc)

(a+0)(c+d)(4+c)(/?+d)

2

P(K>k)0.250.100.05

k1.3232.7063.841

28

20.（12分）已知正数x,y,z满足x+y+z=tU为常数），且匕+v匕+z?的最小值为一，求实数f的值.

497

21.（12分）已知函数/（x）=x+a（l-e、），aeR.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）当“21时，证明：./'（x）-alna+a<l.

22.（10分）已知抛物线=4》的准线过椭圆C：二+1=1（a>ft>0）的左焦点吊且点尸到直线/：x=—（c

abc

为椭圆焦距的一半）的距离为4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点产做直线与椭圆C交于A,B两点，P是的中点，线段A5的中垂线交直线/于点Q.若|PQ|=2|48|,求

直线AB的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由函数的性质可得：/(力的图像关于直线x=l对称且关于)’轴对称，函数g(x)=/T(-l<x<3)的图像也关

于x=l对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，则/(力与g(x)的图像所有

交点的横坐标之和为4得解.

【详解】

由偶函数“X)满足〃1+力=〃1-x),

可得/(x)的图像关于直线％=1对称且关于>轴对称，

函数g(x)=e+T(-1<^<3)的图像也关于％=1对称，

-1L:

函数y=/(x)的图像与函数g(x)=e-M(-l<x<3)的图像的位置关系如图所示,

可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，

则/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

2.D

【解析】

根据复数运算，求得z,再求其对应点即可判断.

【详解】

=«=l—故其对应点的坐标为（1,一2）.

其位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.

3.C

【解析】

将S=1,a=Bb=2,代入s2c2—（立式二£）2],解得c?=5,。2=9,再分类讨论，利用余

2V42

弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.

【详解】

已知S=巫，a=6,b=2,

2

ziiil22/+&--b-2

代入S=\曰r。c一（——-——）x■1]-

V42

得J*—（话耳目,

即/一12c2+45=0，

解得c，=5,c~=9,

当,2=5时，由余弦弦定理得：cos/="+*-,=WE,Sin/=71-COS2A=适.

2bc1010

当02=9时，由余弦弦定理得：cosA=,sin/=yjl-cos2A=—.

2hc66

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.

4.D

【解析】

利用/(X)是偶函数化简/(log3().3),结合/(X)在区间(0,+。)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

・••/(X)是偶函数，二〃1喳30.3)=/(-log3y)=/(log3y),

4

而log3y>l>25>2-°->0,因为,f(x)在(0,+00)上递减，

4

.­./(log3y)</(2^)</(2-°-),

0304

gp/(log3().3)</(2-')</(2-').

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

5.A

【解析】

0<2x<2

试题分析：由题意，得｛,解得OWxWl,故选A.

8-2v>0

考点：函数的定义域.

6.B

【解析】

11(\1A

由M，P,N三点共线，可得彳7+丁=1,转化X+〃=(/l+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

222〃(242/z)

【详解】

因为点尸为BC中点，所以4户=，4月+工43，

22

又因为而=4而，AN=piAC,

]____1

所以福=—AM+——AN.

2Z2〃

因为P,N三点共线,

11,

所以才歹1

4+幺i,i4〃

所以4+〃=(4+〃)14+-..1+-X2J—­—=2，

、2几221〃4,22丫〃2

A._N

厂了

当且仅当《即2=〃=1时等号成立,

II,

---1---=I

2A2〃

所以4+〃的最小值为1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

7.C

【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.

【详解】

解：模拟程序的运行，可得：

s=l,输出S的值为1,

满足条件PS7,执行循环体，p=3,5=7,输出S的值为7,

满足条件PW7,执行循环体，p=5,S=31,输出S的值为31,

满足条件PW7,执行循环体，p=7,5=127,输出S的值为127,

满足条件PS7,执行循环体,p=9,5=511,输出S的值为511,

此时，不满足条件PW7,退出循环，结束，

故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图，属于基础题.

8.D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

p_ABC.S^AC=S“AB=屈'5^=722,5MfiC=2,故最大面的面积为也.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

9.C

【解析】

先从函数单调性判断2。+人的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定2±1的取值

«+1

范围.

【详解】

由>=/'（X）的图象知函数“X）在区间（0,+8）单调递增，而2a+b>0,故由/（2。+与<1=/（4）可知2a+h<4.

h+14—2。+17

故<-----------二一2+<5,

。+1Q+1Q+1

Z?+lb+1c71一

------>------=-2H----->—..I3〃+1的取值范围是（；,5）.

又有〃+1bh3，综上得——-

3a—J—a4-1

22

故选：C

【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.

10.C

【解析】

试题分析：如下图所示，而=昆而=瓦则恁=。月=讶—B，因为G—5与B的夹角为150，即NZMB=150°,

所以NAZM=30°,设NDBA=9,则0<。<150°,在三角形丽中，由正弦定理得上L=」9L,所以

sin30°sin。

|5|=—^Lxsin6=2sin6,所以0〈同42,故选C.

11sin30011

D

考点：1.向量加减法的几何意义；2.正弦定理；3.正弦函数性质.

11.D

【解析】

由题意画出图形,将MN,ND,所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当=g,GN=；G。时

aV

AM+MN+ND、最小,设正方体AG的棱长为3a,得。=力，进一步求出四面体AMN"的体积即可.

【详解】

解：如图，

二•点M,N分别在棱B片,CG上，要AM+MN+N"最小，将所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面

共面，三线共线时，AM+MN+ND,最小,

/.BM=；BB[CN=；GC

设正方体AG的棱长为3a，则27/=V,

取BG=；BC,连接NG,则AGN0共面,

在AAND,中，设N到AD1的距离为%,

AD}=J(3〃)2+(3a)2=3\f2a,

D、N=yl(3a)2+a2=Ma,

AN=7o7W+(W=da,

小山10/+22/一18/7

/.cosZ£>,AM=------T=——7=——=-T=,

2-VlOtz•4?2a2V55

../c…3M

..sinND】NA——,—,

2V55

2

S6AM^--D.N-AN-sinZD.NA^--AD,-li=^^a

4M7|iv/i2i।2.।i2

・,.4=

设M到平面AGND、的距离为h2,

3A/19CZ2V

'''VAMNR=§X

2

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

12.C

【解析】

由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=A8'=x+2,在RtICB'中，列勾股方程可解得了,然后由

P=心得出答案.

【详解】

解：由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则A3=AB'=x+2

,21

在RLACB'中，列勾股方程得：52+X2=(X+2)\解得X=I

21

21

x~7~

所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为P=--==—

x+221+229

故选C.

【点睛】

本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.12

【解析】

画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值.

【详解】

根据约束条件画出可行域，如下图，由解得.“4,0,

(ZA-JJ-o—U

目标函数i，=3x-z,当1，=3》-斑点(4,0时，z有最大值，且最大值为12.

故答案为：12.

【点睛】

本题考查线性规划的简单应用，属于基础题.

1

14.

3

【解析】

分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.

详解：由题意可知了，比赛可能的方法有3x3=9种，

其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马,

田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，

31

结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为〃=]=].

点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少

时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合，

以及计数原理的正确使用.

15.[-,+℃)

【解析】

将/(》)写成分段函数形式，分析得/(*)为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

,g-[X2,X>0

根据题意，/(x)=x|x|=〈，

-x,x<0

则/(X)为奇函数且在R上为增函数，

则/(2x-1)+f(x)>0=>f(2x-1)1)>f(-x)=>2x-1>-x,

解可得於,，即x的取值范围为J,+oo);

33

故答案为：［—>+oo）.

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析/（X）的奇偶性与单调性.

16.4

【解析】

解：利用复数相等，可知由x-2=l,y=l有x+y=4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（I）—+/=1；（II）详见解析.

4

【解析】

（I）把点尸代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；

（D）联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段AB的中垂线方程即

可证明.

【详解】

（I）由已知椭圆过点亭）得，*+磊=1，

又e=£=J1=-，得/=4b2>

a\a22

2

所以苏=4万=1,即椭圆方程为工+/2=1.

4-

（2

X

（II）证明：由4+）2一,得（1+4攵2）%2+8%如+4加2一4=0,

y-kx-vm

22

由△=64^m-4（1+4巧（4“-4）=-16*+64。+16>0,得加?<1+4-

由韦达定理可得，X,+X,=-^T，

.、4kin

设AB的中点M为（小,%）,Wx0=--—r=l,即1+4-=-4Am，

1~T~

.m1

%=依）+m=----7=—~，

°°1+4炉4k

r.AB的中垂线方程为y+3=—《（x-l）,即了=一!（无一］］,

4kkk\4J

故AB得中垂线恒过点N(1,0.

(4)

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综

合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.

18.(1)〃=6；(2)点N在定直线y=3上.

【解析】

(1)设出直线4的方程为y=x+5,由直线和圆相切的条件：d=r,解得

(2)设出M(加,-3),运用导数求得切线的斜率，求得A为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线

上；

【详解】

解：(1)依题意设直线4的方程为y=x+5，

由已知得：圆G：(x+1)2+V=2的圆心C2(-l,0),半径r=血,

因为直线4与圆G相切，

-1£

所以圆心到直线4:y=x+4的距离〃一L+2|4,

/+(—/

即I2|=厅解得，=6或2=一2(舍去).

V2一

所以P=6；

(2)依题意设由(1)知抛物线G方程为f=12y,

所以y==,所以y=}设A(XQJ则以A为切点的切线，，的斜率为忆=3

所以切线/，的方程为+X.

6

令x=0,y=~x^+y=~x\2y+y=-y,即/，交)'轴于8点坐标为(0,-%),

OtOllt

所以MA=(x]-tn,+3),MB=+3),

・•.丽=凉+丽=(西一2m⑹,

/.ON=OM+MN=(x1

设N点坐标为(x,y),则y=3,

所以点N在定直线y=3上.

【点睛】

本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法,

考查化简整理的运算能力，属于综合题.

14

19.(1)有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；(2)分布列见解析，E(x)=—.

【解析】

(1)根据题目所给信息，列出2x2列联表，计算K2的观测值，对照临界值表可得出结论;

(2)设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有加人，女同学有〃人，则X=/"+〃，确定X的所有取值为1、2、

3、4、5.根据计数原理计算出每个X所对应的概率，列出分布列计算期望即可.

【详解】

(1)根据所给条件得2x2列联表如下:

男女合计

喜欢物理6436100

不喜欢物理5644100

合计12080200

K?_200x(64x44—56x36)2_4>[323

100x100x120x803

所以有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；

(2)设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有加人，女同学有〃人，则X=w+〃,

由题意可知，X的所有可能取值为1、2、3、4、5.

2

P(X=1)=告r'Cc；

C5戏一20’

c]c20Iz~»2「23

P"=2)=等•C---L2-c-2L-।---/2-c-、3*-^—-2乙-—-—-.

C5c：c；C：10

「2「2「I「2「I「3「27

P(X=3)=.J-----.-I/J--------------2..Z-k-——

C；c：c；c；GC：15'

c2clC2C3C]C]1

p(x=4)=3%工+*■.22J,

I'C；C：C；C：6'

31

P（X=5）=VcWC-1

'/C；窗60

所以X的分布列为：

X12345

137]_1

P

2010百660

所以E（X）=lx--h2xF3xF4x—F5x—=—.

v72010156605

【点睛】

本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列.离散型随机变量的期望.属于中等题.

20.t=l

【解析】

22512cQ<

把工+匕+Z?变形为—+—t2+^+—t2+z2+—t2-—r结合基本不等式进行求解.

49449919619614

【详解】

22212

）厂2XI2yI

因为一+—+Z=—+—t+—+2Az2+乙

49449919619614

I/I2

>-t（x+y+z）、--t

221Q9I

即工+^+z2»一产，当且仅当》=一，户京,z=r时，上述等号成立，

491471

1,8

所以一t~,即产=16，又x，y,z>0,所以x+y+z曰=1.

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【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立,

侧重考查数学运算的核心素养.

21.（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求导得/'（力=1一枇',分类讨论和a＞（）,利用导数研究含参数的函数单调性；

（2）根据（1）中求得的/（力的单调性，得出/（力在x=处取得最大值为

/(-lna)=-lna+<7^1--j=a-lna-l,构造函数g(a)uq-lna—l—alna+a,利用导数，推出

g(a)Wg(l)=l,即可证明不等式.

【详解】

解：(1)由于.f(x)=x+a(l-e"),得/'(力=1-优\

当aVO时，/'(x)>0,此时/(x)在R上递增；

当a>0时，由/'(x)=0,解得x=-lna,

若xe(-oo,-lna),则r(x)>0,