2023学年安徽省安庆二、高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

Ax-l,x>0,

1.己知函数/（x）=<若函数/（x）的图象上关于原点对称的点有2对，则实数Z的取值范围是（

-ln(-x),x<0,

A.(fO,0)B.(0,1)C.(0,+力)

2.已知双曲线E:二-1=1（。〉0乃〉0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点厂重合；②

a-b~

双曲线E与过点。（4,2）的易函数/（%）=V的图象交于点。，且该募函数在点。处的切线过点尸关于原点的对称点.则

双曲线的离心率是（）

A出+1\/5+13/?,1

A.-----B.-----C.—D.,5+1

222

3.如果直线办+分=1与圆C：d+y2=i相交，则点M（a,b）与圆C的位置关系是（）

A.点M在圆C上B.点M在圆C外

C.点M在圆C内D.上述三种情况都有可能

2"_2T

4.函数丫=门----的图像大致为（）.

|x|-cosx

7TTT

5-已知函数小）=si*y的图象向左平移*＞。）个单位后得到函数g（Msi*+R的图象，则。的最小

值为（）

兀345兀

A.一B.—C.一D.—

4828

x+y-2<0

y—2

6.已知实数“，）’满足约束条件〈x-2y—2W0,则目标函数z=^—的最小值为

x+1

25

A.--B.--

34

41

C.--D.--

32

7.已知片，心是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的-一个公共点，且/耳「马=才，设椭圆和双曲线的离心率分

别为4,02,则e,,e2的关系为（)

31,4212,

A.—+—=4B-kJ-=4

绘%

13,

C.—+—=4D.ej+3^2=4

4q2

_1______1_________

8.在平行四边形ABCD中，AB=3,AO=2,AP=§AB,AQ=eAD,若CPCQ=12,则NADC=()

543兀八2九71

A.—B.——C.—D.一

6432

2.f2H+1\,

9.已知数列｛%｝的通项公式是an--nsinl---y贝！Jq+4+%+…+《2=()

A.0B.55C.66D.78

10.已知函数/一以一1,以下结论正确的个数为（）

①当a=0时，函数fW的图象的对称中心为（0,—1）；

②当a23时，函数/(x)在(-1,1)上为单调递减函数;

③若函数/(x)在(一1,1)上不单调，则0<”3；

④当a=12时，/(x)在［7,5］上的最大值为1.

A.1B.2C.3D.4

U.已知平面向量ZB,满足忖=；,忖=1,且|2i+q=B+q,则公与石的夹角为()

瓦7t-2九54

A.—B.—C.—D.—

6336

12.若复数二满足2z-5=3+12i,其中i为虚数单位，5是二的共趣复数，则复数忖=()

A.3小B.275C.4D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(力对于xeR都有"4-x)=/(x),且周期为2,当工«—3,—2］时，/(x)=(x+2)2,则

14.己知函数/(x)=〃z(2x+l)3-2e”,若曲线y=/(x)在(0,/(0))处的切线与直线4x+y-2=()平行，贝!J

m=.

15.已知〃x)=e'+em是偶函数，则“X)的最小值为.

16.在AABC中，内角A,8,C的对边分别为a,上c,已知8=工,a=2力=百，则AABC的面积为_________.

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，ZB=1,b=币,•求8c边上的高.

①sinA=卫，②sin4=3sinC,③。一。=2,这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

7

18.(12分)己知等差数列｛叫的公差dr0,a,=25,且％,4,八成等比数列.

(1)求使不等式420成立的最大自然数〃；

11312

(2)记数列------的前〃项和为求证：—.

［a,£,+J2525

19.(12分)已知｛q｝是等差数列，满足4=3,4=12,数列也｝满足a=4,4=20,且也,一q｝是等比数

列.

(1)求数列｛a,,｝和｛〃｝的通项公式；

(2)求数列｛a｝的前〃项和.

20.(12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,已知2Z?cosB=acosC+ccosA.

(1)求8；

(2)若AABC为锐角三角形，求上的取值范围.

a

,.123nn

21.(12分)已知数列%n)满足^--+-一-+-~~-+-+-一-=T.

(2a｛-52a2-52%-52an-53

(1)求数列｛a,J的通项公式；

(2)设数列I」一)的前〃项和为7；,证明：—<7；,<1.

[44+1J226

22.(10分)若函数/(x)=，一四r一初x(meR)为奇函数，且x=/时f(x)有极小值/(%).

(1)求实数。的值与实数〃，的取值范围；

?

(2)若/(%)2--恒成立，求实数，〃的取值范围.

e

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

考虑当x>()时，依—l=lnx有两个不同的实数解，令/z(x)=lnx-履+1,则/z(x)有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数k的取值范围.

【详解】

因为/(x)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以x〉0时，"-l=lnx有两个不同的实数解.

令"(x)=Inx-"+1,则〃(x)在(0,+纥)有两个不同的零点.

又〃，(x)=匕F，

当左WO时,〃'(x)>0,故〃(x)在(O,+8)上为增函数，

〃(x)在(0,+纺)上至多一个零点，舍.

当上>0时，

若》€(0,小，则/r(x)>o,〃(》)在(o,£|上为增函数；

若X€(：,+oo),则〃'(力<0,〃(x)在［：,+℃上为减函数；

(1A1

故〃"Li%=W

因为〃(X)有两个不同的零点，所以Ing>0,解得0<%<1.

k

又当0〈女<1时，且/?、)=—B<0,故〃(X)在(o,J上存在一个零点.

(e\ecj

又力［后)=山至一工+1=2+2111'—々，其中r=—>1.

令g(r)=2+21nr-er,则/«)=*,

当r>l时，g'(r)<0,故g(r)为(i,x°)减函数，

所以g(r)<g(l)=2_e<0即

11所以〃(x)在(J+8)上也存在一个零点.

因为下

综上，当0(人<1时，〃(x)有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

2.B

【解析】

由已知可求出焦点坐标为（i,o）,（-i,o）,可求得幕函数为/（%）=G，设出切点通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率.

【详解】

,1I

依题意可得，抛物线V=4x的焦点为尸（1,0）,尸关于原点的对称点（一1,0）；2=4。，a=/，所以/（幻=炉=«，

/。）=£，设。（毛，口），贝！1^^=鸟，解得匕=1，；•Q（LD，可得，一）=1，又c=l,。2=4+从，

亚+1

可解得a=Xl二1,故双曲线的离心率是,

75-1—2

2

2

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标，求第函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分

析问题和解决问题的能力，难度一般.

3.B

【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用例（a,。）与圆心的距离判断即可.

【详解】

直线办+勿=1与圆Uf+V=1相交,

1-11

•••圆心（0,0）到直线以+力=1的距离"=-1==<1,

即\Ja2+b2>1•

也就是点用（a/）到圆C的圆心的距离大于半径.

即点M（a,b）与圆C的位置关系是点"在圆C外.

故选：B

【点睛】

本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题.

4.A

【解析】

本题采用排除法:

5万5%

由/排除选项D；

根据特殊值/>0排除选项C;

由x>(),且x无限接近于0时，“X)<0排除选项B；

【详解】

对于选项D:由题意可得，令函数/(x)=>=后一

IA.1COSA"

5汗5点

27一2一5

=-五—>°，故选项C排除；

mT

对于选项B：当X>0,且X无限接近于0时,凶—COSX接近于T<0,2'一2T>0,此时/(x)<0.故选项B排除；

故选项:A

【点睛】

本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;

属于中档题.

5.A

【解析】

首先求得平移后的函数g(X)=sin2x+2。-？，再根据sin2x+2e-?=sin2x+?求。的最小值.

【详解】

根据题意，f(x)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

71乃7T

g(x)=sin2(x+---=sin(2x+2°----)=sin(2x+—),

4J44

7T7TTTTT

所以功-所以方就+wkZ.又展。，所以。的最小值为「

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

6.B

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数2=三的几何意义为动点M（x,y）到定点。（-1,2）的斜率，利用数形结

合即可得到z的最小值.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

°

目标函数Z=的几何意义为动点M（x,y）到定点2）的斜率,

2

当M位于4（1,一4]时，此时D4的斜率最小，此时,__2~_:5.

I2）[+i4

故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

7.A

【解析】

阀|+|明=24

设椭圆的半长轴长为4,双曲线的半长轴长为的，根据椭圆和双曲线的定义得:，解得

附|-归用=24

:然后在中，由余弦定理得:

\]PF2\=ai-a2

4c2=(a1+a2)一+一a2)_2(a1+a?)•(a】_a?)■cos——化简求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为4,双曲线的长半轴长为生,

]PK|+|P玛=2q

由椭圆和双曲线的定义得:

'\PF\-\PF^2a2)

解得《像U7设忻用=3P6音

2万

在△fJP6中，由余弦定理得：4c2=(q+a2y+(q-a2y-2(q+a)-(q-a),COS--t

223

化简得3a：+=4c2,

gp—3+—1=4,

e\e2

故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8.C

【解析】

由CP=CB+BP=-AO-§AB,CQ=CO+OQ=—AB-万A。，利用平面向量的数量积运算,先求得NBAD=-,

利用平行四边形的性质可得结果.

平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,

AP=-AB,AQ=-AD,

32

________2__

:.CP=CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB--AD,

因为丽•西=12,

2----21-----24—--------

-AB+-AD+-ABAD

323

=-X32+-X22+-X3X2XCOSZBAD=12,

323

1,71

cos/BAD=—,/BAD——,

23

所以NADC=;r—Jrr=——27r，故选c.

33

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（1）平行四边

形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和）.

9.D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin的值，可进一步得到数列｛%｝的通项公式，然后代入

4+%+4+…+%转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

sin(写乃)=sin(〃乃+5)=sin(乃+^)=sin夸=一1,

解：由题意得，当〃为奇数时,

sin(竽乃卜sin(〃%+£|=s呜=1

当〃为偶数时,

2

所以当〃为奇数时，氏=-〃2;当"为偶数时，an=n,

所以4+%+a3H-----btZ|2

=-12+22-32+42-----112+122

=(22-l2)+(42-32)+---+(122-ll2)

=(2+l)(2-l)+(4+3)(4-3)+---+(12+l1)(12-11)

=l+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

10.C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数卜=丁的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间(-1.1);④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①y=r为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为正确.

②由题意知/'(幻=3/一。.因为当一1<X<1时，3/<3，

又a23,所以/'(x)<0在上恒成立，所以函数f(x)在(-1,1)上为单调递减函数，正确.

③由题意知/。)=3/-。，当时，r(x)>0,此时f(x)在(—8,+8)上为增函数，不合题意，故。>0.

令/'(x)=0,解得x=±叵.因为"X)在(一1,1)上不单调，所以/'(x)=0在上有解，

3

需0<且<1，解得0〈av3,正确.

3

④令/'。)=3/-12=0,得％=±2.根据函数的单调性，/⑶在［Y,5］上的最大值只可能为了(—2)或/(5).

因为/(-2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

11.C

【解析】

根据［2£+q=,+0,两边平方化简得2^5=-3同♦再利用数量积定义得到

2abcos(a,5)=-3(a)求解.

【详解】

因为平面向量篇，满足同=g，w=i,且悔+q=,+q,

所以=,+0,

所以2罚=一36了，

所以2Hlcos卜，3)=-3(3)，

所以cos(〃,5)=_g,

27r

所以Z与B的夹角为胃.

故选：c

【点睛】

本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.

12.D

【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【详解】

解：复数z=a+加，a、Z»GR；

V2Z-Z=3+12Z,

.*.2(.a+bi)-(a-bi)=3+123

2a—a-3

即＜,

2b+h^l2

解得a=3,b=4,

.,.Z=3+4i,

二|z|=,32+42=5•

故选。.

【点睛】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

4

【解析】

利用〃4-x)=/(x),且周期为2,可得〃-6=/(力，得/图=/1*

【详解】

•.•/(4—x)=/(x),且周期为2,

/./(-X)=/(%),又当xe[-3,-2]时，/(x)=(x+2)2,

故答案为：7

4

【点睛】

本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.

【解析】

先求导f\x)=6根(2x+一2e;广(0)=6加一2,再根据导数的几何意义，有了'(0)=-4求解.

【详解】

因为函数f{x)=m(2x+以-2ex,

2v,

所以f'(x)=6m(2x+1)-2e,/(0)=6加一2,

所以6〃z-2=-4,

解得〃？=_；.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.

15.2

【解析】

由偶函数性质可得=解得。=-1,再结合基本不等式即可求解

【详解】

令/⑴=/(-1)得a=-l,所以/(力=廿+/，22,1心，=2,当且仅当x=0时取等号.

故答案为：2

【点睛】

考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题

16G

10.---

2

【解析】

由余弦定理先算出C,再利用面积公式5=,。。豆118计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得〃=a2+c2-2accosB，即3=4+。2一2。，解得c=l,

故ZVLBC的面积S=—acsinB=】叵.

22

故答案为：昱

2

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.详见解析

【解析】

选择①，利用正弦定理求得。，利用余弦定理求得，，再计算8。边上的高.

选择②，利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出c,再求BC边上的高.

选择③，利用余弦定理列方程求出c,再计算8c边上的高.

【详解】

选择①，在A4BC中，由正弦定理得，一='一,

sinAsinB

a币

即V21_百，解得a=2；

由余弦定理得//=6?+。2-2accosB，

即=22+c2-2x2xcxg,

化简得。2一2。—3=0,解得c=3或。=一1（舍去）;

所以8C边上的高为h-csinB=3x^~=22m.

22

选择②，在AABC中，由正弦定理得一乙二—^,

sinAsinC

ac

又因为sinA=3sinC,所以------二—:一，即Q=3C；

3sinCsinC

由余弦定理得〃2=tz2+c2—2accosB，

即=(3c『+c、2—2x3cxcxg,

化简得7c2=7,解得c=l或c=—l(舍去)；

所以BC边上的高为h=csinB=Ix^^-=

22

选择③，在AABC中，由〃一。=2,得〃=c+2；

由余弦定理得Z?2=4+H-2QCCOSJB,

即(近)=(c+2『+c?-2x(c+2)xcx；,

化简得d+2c—3=0,解得c=l或c=—3(舍去)；

所以8C边上的高为h=csinB=lx正=@

22

【点睛】

本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.

18.(1)n=13;(2)证明见解析

【解析】

(1)根据为,%，八成等比数列，有结合公差dHO，4=25,求得通项，再解不等式qN0.

111(11、

(2)根据(D——=7曾,寿7-三二=一二荷'i齐宝，用裂项相消法求和，然后研究其单调

性即可.

【详解】

(1)由题意，可知。；|=4々|3，

即(4+10d)-=4+12d),

/.d(2«,+25d)=0.

又q=25,4/0,d=—2»

/.an=-2n+27.

.,.-2n+27>0,

〃W13.5,

故满足题意的最大自然数为〃=13.

(2)]=]=_ir_J____

anan+l(一2鹿+27)(—2"+25)2(—2“+27-2n+25)

_lf±__L_]11

=----1------

5(25-2/1+25J5050-4/?

从而当12时，(=一'-+―1—单调递增，且1,>0,

“5050-4/?

当〃213时，7；,=-—+—1—单调递增，且］<0,

5050-4〃

所以几几,

由工2=3，几=-不知不等式成立•

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

1

19.(1)a.=3〃(〃=1,2,…)，bn=3〃+2"(/i=1,2,•••)；(2)-n(n+1)+2"-1

【解析】

试题分析：(1)利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差

数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列｛2｝前n项和.

试题解析:

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

d=-..-=*^——1.Aan=ai+(n-1)d=ln

33

设等比数列｛bn-an｝的公比为q,则

nln

Abn-an=(bi-ai)q=2-1,；・bn=ln+2Tl

(n)由(I)知bn=ln+2n-i,•・,数列｛In｝的前n项和为(n+1),

17n

数列｛2n-1｝的前n项和为1x2_L2n-1,

1-2

•••数列｛bn｝的前n项和为；S=+1)+2"-1

n2

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.

20.(1)8⑵[A]

【解析】

(D利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosB的值，进而求得B的大小.

(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得工的表达式，进而求得上的取值范围.

aa

【详解】

(1)由题设知，2sin3cosB=sinAcosC+sinCcosA,

即2sin3cos5=sin(A+C),

所以2sinBoosB=sinB,

即cos8=1,又・.・()<〃

2

式

所以3二丁.

3

,、y/3.1.

(2)由题设知，jsinC_sin(120。-.)_丁0$4+2如A,

asinAsinAsinA

即£=立L_+l,

a2tanA2

J3

又△A8C为锐角三角形，所以300<A<90。，即tanA>火

3

所以°＜总＜6吗(、高+*，

所以2的取值范围是2).

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.

21.(1)为=之9(2)证明见解析

2

【解析】

123nn

(1)------+-------+--------+•"+-------=7»①当时，

2。1-52a2-52a3T2an-53

123〃一1Yl—1

年r市r—十…+七二？=亍,②两式相减即得数列｛叫的通项公式；⑵先求出

14_4r_i______\_2

(3〃+5)(3〃+8)313〃+53〃+8,,再利用裂项相消法求和证明.

44+1

【详解】

123nn

(1)解.------+-------+-------+・,・+-------=—,(T)

2q—52g-52%—52an-53~

当〃=1时，4=4.

123n-1n-1

当〃>2时,------+-------+-------+•,・+--------=----,②

三」2q-52a.-52an_.-53-

由①-②，得4,=即产(〃22),

因为4=4符合上式，所以4,=卫宇.

144(11>

(2)证明：-----