实验MATLAB的数学运算学时

实验MATLAB的数学运算学时第1页，共90页，2023年，2月20日，星期六2.1.3矢量的各种运算

矢量的各种运算加减运算数乘运算乘积运算数量积矢量积混合积第2页，共90页，2023年，2月20日，星期六1、矢量的加减运算A=x1i+y1j+z1k,B=x2i+y2j+z2k;A±B=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k;2、矢量的数乘运算A=x1i+y1j+z1k;ρA＝（ρ

x1）i+（ρ

y1）j+（ρ

z1）k;3、矢量的数量积运算A=x1i+y1j+z1k,B=x2i+y2j+z2k;AB=x1x2+y1y2+z1z2;MATLAB提供了dot函数专门进行这项运算。C=dot(A,B)C=dot(A,B,dim)%注意，参与运算的向量的维数必须相同，此时，作为维数的dim参数可以省略。第3页，共90页，2023年，2月20日，星期六4、矢量的矢量积运算A=x1i+y1j+z1k,B=x2i+y2j+z2k;MATLAB提供了cross函数进行矢量积运算。C=cross(A,B)C=cross(A,B,dim)第4页，共90页，2023年，2月20日，星期六5、矢量的混合积运算A=x1i+y1j+z1k,B=x2i+y2j+z2k;C=x3i+y3j+z3k;MATLAB提供了函数det()专门进行矢量混合积的运算。其实就是求一个方阵的行列式值。第5页，共90页，2023年，2月20日，星期六2.2矩阵和矩阵运算2.2.1矩阵的表示1、矩阵的一般输入方式>>A=[-1013;0124;00-10;-9203]A=-1013012400-10-9203第6页，共90页，2023年，2月20日，星期六2、矩阵的等差输入方式（1）等差－－行矢量输入>>t=0:0.1:0.6t=00.10000.20000.30000.40000.50000.6000（2）等差－－矩阵输入>>a=[1:0.1:0.6;1.1:0.1:1.7;1.2:0.1:1.8;1.3:0.1:1.9;1.4:0.1:2.0]a=

1.00001.10001.20001.30001.40001.50001.60001.10001.20001.30001.40001.50001.60001.70001.20001.30001.40001.50001.60001.70001.80001.30001.40001.50001.60001.70001.80001.90001.40001.50001.60001.70001.80001.90002.0000第7页，共90页，2023年，2月20日，星期六3、零矩阵元素全是0的矩阵称之为零矩阵。B=zeros(n)%输出n阶零方阵B=zeros(m,n)%输出m×n阶零矩阵B=zeros([m,n])%输出m×n阶零矩阵B=zeros(d1,d2,d3…)%输出多维零数组B=zeros([d1d2d3…])%输出多维零数组B=zeros(size(A))%输出一个与矩阵A行列数相同的零矩阵>>zeros(2,3)>>b=zeros(3,5,2)％行列组>>b=zeros(3,5,2,3)仔细体会下列指令执行后的输出结果：第8页，共90页，2023年，2月20日，星期六5、单位矩阵MATLAB中利用eye()函数构造单位矩阵。Y=eye(n)%输出n阶单位方阵Y=eye(m,n)%输出m×n阶单位矩阵B=eye(size(A))%输出一个与矩阵A行列数相同的单位矩阵6、全1矩阵元素全是1的矩阵称之为全1矩阵。B=ones(n)%输出n阶全1方阵B=ones(m,n)%输出m×n阶全1矩阵B=ones([m,n])%输出m×n阶全1矩阵B=ones(d1,d2,d3…)%输出多维全1数组B=ones([d1,d2,d3…])%输出多维全1数组B=ones(size(A))%输出一个与矩阵A行列数相同的全1矩阵第9页，共90页，2023年，2月20日，星期六7、对角矩阵主对角线以外元素全部为0的矩阵称为对角矩阵。MATLAB中利用diag()函数构造对角矩阵。diag()函数格式如下：X=diag(v,k)%v为主对角线向量，k为控制参数X=diag(v)v=diag(X,k)%提取矩阵X当中的某条对角线的内容v=diag(X)out=blkdiag（a,b)%组建分块对角矩阵下面执行如下指令，体会输出结果：第10页，共90页，2023年，2月20日，星期六①先执行a=diag(1:5,0)，再执行v=diag(a,0)；②先执行a=diag(1:5,1)，再执行v=diag(a,-1)；③先输入a=[12;20]；再输入b=[68;6-2]；再执行c=blkdiag(a,eye(3),b)；8、随机矩阵利用MATLAB可以生成随机矩阵。随机矩阵分为两种：①均匀分布随机矩阵②正态分布随机矩阵。第11页，共90页，2023年，2月20日，星期六（1）rand()构造均匀分布随机矩阵元素值∈（0，1）B=rand(n)%输出n阶均匀分布随机方阵B=rand(m,n)%输出m×n阶均匀分布随机矩阵B=rand([m,n])%输出m×n阶均匀分布随机矩阵B=rand(d1,d2,d3…)%输出多维均匀分布随机数组B=rand([d1d2d3…])%输出多维均匀分布随机数组B=rand(size(A))%输出一个与矩阵A行列数相同的均匀分布随机矩阵（2）randn()构造正态分布随机矩阵元素平均值为0，方差为1，标准差为1。B=randn(n)%输出n阶正态分布随机方阵B=randn(m,n)%输出m×n阶正态分布随机矩阵B=randn([m,n])%输出m×n阶正态分布随机矩阵B=randn(d1,d2,d3…)%输出多维正态分布随机数组B=randn([d1d2d3…])%输出多维正态分布随机数组B=randn(size(A))%输出一个与矩阵A行列数相同的正态分布随机矩阵第12页，共90页，2023年，2月20日，星期六9、魔块方阵特点：①相同阶的模块方阵其特征和相等，为（1＋…＋n2)/n;②模块方阵的每行元素和、每列元素和以及主对角线元素和与特征和相同。MATLAB中用magic()函数构造模块方阵。格式为：Magic(n)n>2第13页，共90页，2023年，2月20日，星期六输出一个模块方阵>>a=magic(4)a=16231351110897612414151求模块方阵的特征和>>sum(1:4^2)/4ans=34计算模块方阵的列矢量和>>sum(a)ans=34343434计算模块方阵的行矢量和>>sum(a')'ans=34343434计算模块方阵的主对角线和>>sum(diag(a))ans=34第14页，共90页，2023年，2月20日，星期六10、Hilbert方阵特点：元素的值等于元素行列数之和减1后取倒数。MATLAB中利用hilb()函数构造Hilbert方阵。H=hilb(n)%构造一个n阶Hilbert方阵(n<15)Y=invhilb(n)%构造一个n阶Hilbert逆方阵(n<15)第15页，共90页，2023年，2月20日，星期六11、Hadamard方阵特点：①其转置矩阵和自身的乘积等于单位矩阵的阶数倍。②hadamard方阵的阶数必须是4的倍数，且不能为0。MATLAB中用hadamard（）函数构造Hadamard方阵。>>H=hadamard(4)H=11111-11-111-1-11-1-11>>H*H'ans=4000040000400004第16页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>H*inv(H)ans=100001000010000112、Hankel方阵该方阵是矩阵中的特殊矩阵，用来判断相同最小实现的维数时使用。MATLAB中用hankel()函数构造Hankel方阵。格式如下：第17页，共90页，2023年，2月20日，星期六H＝hankel(c)%c表示hankel矩阵的第一列矢量；H=hankel(c,r)%c同上，r表示hankel矩阵的最后一行行矢量。c和r重叠的元素取c所对应的值。>>c=[5678];>>r=[1234];>>hankel(c)ans=567867807800800

0>>hankel(c,r)ans=567867827823823413、Vandermonde方阵Vandermonde方阵也是特殊矩阵。若存在矢量v，v中各第18页，共90页，2023年，2月20日，星期六元素为c1、c2、c3…

、cn，此时，Vandermonde方阵中(i，j)元素为cin-j，其数学表达式为：MATLAB中用vander()函数构造该矩阵。格式为：A=vander(v)V为Vandermonde方阵中的第n-1列矢量。>>k=[4:7];>>A=vander(k)A=641641125255121636613434971第19页，共90页，2023年，2月20日，星期六14、Toeplitz矩阵若存在矢量c，c中各元素为c1、c2、c3…、cm;存在矢量r，r中各元素为r1、r2、r3…、cn;此时，Toeplitz矩阵的表达式如下：toeplitz(c,r)>>r=[1:5];>>a=toeplitz(r)a=1234521234321234321254321toeplitz(r)%表c=r第20页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>c=[4:7];>>b=toeplitz(c,r)b=4234554234654237654215、freqspace矩阵用该矩阵可以构造频率响应的间隔。调用格式如下：[f1,f2]=freqspace(n)%输出等间隔的频率响应矩阵，n表示矩阵阶数，f1,f2表示矩阵输出的行、列矢量。当n为奇数时，f1=f2=[(-n+1):2:(n-1)]/n；当n为偶数时，f1=f2=[(-n):2:(n-2)]/n。第21页，共90页，2023年，2月20日，星期六[f1,f2]=freqspace([m，n])%输出等间隔的频率响应矩阵，n对应行矢量f1的阶数；m对应列矢量f2的阶数。当m或n为奇数时，计算对应f=[(-n+1):2:(n-1)]/n；当m或n为偶数时，计算对应f=[(-n):2:(n-2)]/n。f=freqspace(N)%输出值为单位圆上的等间隔值。f为一维矢量，f=0:(2/N):1。N为偶数时，矢量f包括(n+2)/2个元素；当N为奇数时，f包括(n+1)/2个元素。f=freqspace(N,’whole’)%输出值为单位圆上的等间隔值。一维矢量f=f=0:(2/N):[2(N-1)]/N]。>>[f1,f2]=freqspace([45])f1=-0.8000-0.400000.40000.8000f2=-1.0000-0.500000.5000第22页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>f=freqspace(4,'whole')f=00.50001.00001.500016、linspace矩阵用该矩阵可以构造等间隔的线性矢量。调用格式如下：y=linspace(a,b)%输出(a,b)区间100个等分元素；y=linspace(a,b,n)%输出(a,b)区间n个等分元素；>>y=linspace(1,10,7)y=1.00002.50004.00005.50007.00008.500010.00002.2.2矩阵的运算第23页，共90页，2023年，2月20日，星期六1、矩阵的加减运算2、矩阵的乘法3、矩阵的转置(如果一个矩阵是复数矩阵，则输出的转矩是原矩阵的共扼转置矩阵）>>A=[123;456;789]4、矩阵的幂Ak=AA…A,是A的k次方幂。调用格式：C=A^k第24页，共90页，2023年，2月20日，星期六5、矩阵的除法分为左除和右除两种。矩阵左除A\B表示方程A*X=B的解A-1×B;矩阵右除A/B表示方程X*B=A的解A×B-1;>>A=[12;34]A=1234>>B=[56;78]B=5678>>C=A\BC=-3.0000-4.00004.00005.0000>>D=A/BD=3.0000-2.00002.0000-1.00006、行列式调用格式为：det(X)X为输入方阵；第25页，共90页，2023年，2月20日，星期六7、逆矩阵调用格式为：inv(X)X为输入方阵；8、矩阵的迹矩阵的迹指矩阵主对角线元素的和。调用格式为：trace(X)X为一般矩阵，不一定是方阵；2.2.3矩阵的操作1、矩阵的合并将相关矩阵重新组合以得到新的矩阵。调用格式如下：C=cat(dim,A,B)%dim=1表示以列为基准进行合并；dim=2表示以行为基准进行合并。第26页，共90页，2023年，2月20日，星期六C=vertcat(A1,A2,…)％等效于dim=1C=horzcat(A1,A2,…)％等效于dim=2>>a=[12;34];>>b=[67;89];>>c=cat(1,a,b)c=12346789>>horzcat(a,b)ans=12673489第27页，共90页，2023年，2月20日，星期六2、矩阵的累积乘积设A=（aij)m×n调用格式：B＝cumprod(A)>>A=[123;456;789];>>B=cumprod(A)第28页，共90页，2023年，2月20日，星期六3、矩阵的累积求和设A=（aij)m×n调用格式：B＝cumsum(A)>>A=[123;456;789];>>B=cumsum(A)第29页，共90页，2023年，2月20日，星期六4、矩阵的最大元素和最小元素C=max(A)%求每列元素的最大值构成的行向量；C=max(A,B)%求A,B中最大元素构成的矩阵；C=min(A)%求每列元素的最小值构成的行向量；C=min(A,B)%求A,B中最小元素构成的矩阵；5、矩阵元的升序排列由sort(A)函数执行B=sort(A,dim)%dim=1进行列元素升序排列；dim=2进行行元素的升序排列；B=sort(A)％与sort(A,dim)dim=1的功能完全相同。>>A=[987;123;546]>>B=sort(A,1)；>>C=sort(A,2)；第30页，共90页，2023年，2月20日，星期六6、矩阵元素的求和与求积B=sum(A,dim)%dim=1进行列元素求和；dim=2进行行元素求和；B=sum(A)%与sum(A,dim)dim=1的功能完全相同。C=prod(A,dim)%dim=1进行列元素求积；dim=2进行行元素求积；C=prod(A)%与prod(A,dim)dim=1的功能完全相同。>>A=[987;123;546]A=987123546第31页，共90页，2023年，2月20日，星期六7、矩阵的上下三角部分B=tril(A,k)%矩阵的下三角形部分输出，k为主对角线控制参数；B=tril(A)％与B=tril(A,k)k=0效果相同；C=triu(A,k)%矩阵的上三角形部分输出，k为主对角线控制参数；C=triu(A)％与C=triu(A,k)k=0效果相同；>>A=[123;456;789]A=123456789>>tril(A)ans=100450789>>triu(A,-1)ans=1234560898、矩阵的旋转MATLAB软件利用flip()函数进行矩阵旋转，调用格式如下：第32页，共90页，2023年，2月20日，星期六B=flipdim(A,dim)%对矩阵进行指定的旋转，dim=1时对输入矩阵进行上下翻转；dim=2时，对输入矩阵进行左右翻转；B=fliplr(A)%对输入矩阵进行左右翻转；B=flipud(A)%对输入矩阵进行上下翻转；B=rot90(A)%对输入矩阵进行逆时针90°旋转B=rot90(A,k)%对输入矩阵进行逆时针k倍90°旋转>>A=[123;456;789]A=123456789>>fliplr(A)ans=321654987第33页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>flipud(A)ans=789456123>>rot90(A,3)ans=7418529632.3数组和数组运算2.3.2数组的运算1、数组的加减运算数组的加减运算和矩阵及矢量的加减运算完全一致。其含义是不同维数的对应元素直接进行和差运算。2、数组的乘法数组的乘法与矩阵的乘法有着本质的区别。数组乘法第34页，共90页，2023年，2月20日，星期六等于数组对应元素的乘积。表达式：C=A.*B举例：>>A=[311;325;417];>>B=[230;141;201];>>C=A.*BC=6303858073、数组的转置表达式如下：第35页，共90页，2023年，2月20日，星期六C=A.’（注意，如果A为复数矩阵，则转置不会是共扼的，元素仅仅是互换位置而已）>>C=[1+i12-8i;31-4i6;-24-3-6i]C=1.0000+1.0000i1.00002.0000-8.0000i3.00001.0000-4.0000i6.0000-2.00004.0000-3.0000-6.0000i>>D=C.'D=1.0000+1.0000i3.0000-2.00001.00001.0000-4.0000i4.00002.0000-8.0000i6.0000-3.0000-6.0000i4、数组的幂数组A的k次幂等于数组相对应元素的k次幂。表达式：C=A.^k。第36页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>A=[23;45]^3A=1161532042695、数组的除法数组的除法也分为左除和右除两种。左除定义第37页，共90页，2023年，2月20日，星期六右除定义>>A=[1:3;2:4;3:5];>>B=[112;316;-12-3];>>C=A./BC=1.00002.00001.50000.66673.00000.6667-3.00002.0000-1.6667第38页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>D=A.\BD=1.00000.50000.66671.50000.33331.5000-0.33330.5000-0.60006、数组的自然对数对数组X中的每个元素求自然对数。调用格式：Y=reallog(X)7、数组元素分别求幂这种方法可以对数组中的不同元素求不同的幂。调用格式：Z=realpow(X,Y)%X、Y必须同维，Y中的数据作为X数组对应位置上元素的幂次值。这样，realpow(X,X)=X.^X这个结论十分有用。第39页，共90页，2023年，2月20日，星期六8、数组的平方根运算求数组每个元素的平方根。Y=realsqrt(X)2.3.3数组的操作1、数组的关系运算在MATLAB中，数组的关系运算是一系列特殊的运算，关系运算是对数组相关元素进行关系比较。当数组的关系成立时，输出值为真，用1表示；当数组的关系不成立时，输出值为假，用0表示。共有如下运算符：<><=>===~=第40页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>a=[12;34]a=1234>>b=[0-2;43]b=0-243>>a>bans=1101>>a<bans=00102、数组的逻辑运算在MATLAB中，数组的逻辑运算也是一系列特殊的运算。逻辑运算是对数组相关元素进行逻辑关系比较。当数组的逻辑关系成立时，输出值为真，用1表示；当数组的逻辑关系不成立时，输出值为假，用0表示。注意，MATLAB中只要一个元素不为0，就认为它在逻辑上代表”真“，视为逻辑1。第41页，共90页，2023年，2月20日，星期六共有如下逻辑运算符：&|～>>a=[12;34];>>b=[0-2;43];>>a&bans=0111>>a|bans=1111>>~bans=10003、实数数组的判别MATLAB中用isreal()函数判断数组是否为全实数数组。调用格式：y=isreal(A)。如果数组A全为实数构第42页，共90页，2023年，2月20日，星期六成，输出值为真，即y=1;否则，y=0。4、数组的质数判别>>A=[12345;678910]A=12345678910>>y=isprime(A)y=0110101000MATLAB中用isprime()函数判断数组中对应位置的元素是否是质数。调用格式y=isprime(A)。如果数组A中有质数存在，则对应位输出值为真，否则为假。第43页，共90页，2023年，2月20日，星期六5、组合数组MATLAB中用perms()函数生成元素排列数组，格式如下：P=perms(v)%v为输入矢量对输入的矢量元素进行排列组合，生成组合数组。>>p=perms([123])p=321312231213123132第44页，共90页，2023年，2月20日，星期六2.4线性代数这一节的内容涉及线性方程组、特征值与特征向量、二次型、稀疏矩阵、范数理论等有关内容。2.4.1线性方程组1、矩阵的标准型矩阵在经过一系列的行列变换后，可以化成阶梯型的标准矩阵。MATLAB中利用函数rref()实现这一原本极为复杂的变换过程。调用格式为：R=rref(A)通过这一变换可以反映出行列式的许多性质，比如行列式的秩、线性方程组解的结构、对应矩阵的特征值等。第45页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>A=[1025;186.3;45.655]A=10.00002.00005.00001.00008.00006.30004.00005.600055.0000>>rref(A)ans=100010001可以看出，此处矩阵A的秩为3。2、矩阵的秩MATLAB中利用rank()函数求得矩阵的秩。调用格式为：k=rank(A)第46页，共90页，2023年，2月20日，星期六3、矩阵的范数在MATLAB中利用norm()函数求矩阵或者矢量的范数。调用格式为n=norm(A)%只计算矩阵的2范数，与下面p=2的效果相同；n=norm(A,p)%根据p的不同，用来计算矩阵的不同范数。P=1为1范数，即矩阵A列矢量和的最大值；P=2为2范数，即为矩阵A的最大奇异值；P=-inf,为负无穷范数，即行矢量和的最小值；P=ing,为正无穷范数，即行矢量和的最大值；第47页，共90页，2023年，2月20日，星期六P=‘fro’时，计算矩阵A的Frobenius范数；不同范数的数学含义如下：范数形式相关含义n=norm(A)max(svd(A))n=norm(A,1)max(sum(abs(A)))n=norm(A,2)max(svd(A))n=norm(A,-inf)min(sum(abs(A’)))n=norm(A,inf)max(sum(abs(A’)))n=norm(A,’fro’)Sqrt(sum(diag(A’*A)))第48页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>A=[1025;186.3;45.655]A=10.00002.00005.00001.00008.00006.30004.00005.600055.0000>>n1=norm(A)n1=56.2160>>n2=norm(A,inf)n2=64.6000>>n3=norm(A,'fro')n3=57.4983第49页，共90页，2023年，2月20日，星期六2.4.2特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量设P为一个数域，A为P上的n阶方阵，若存在数λ∈P及n维非零列矢量x∈Pn，使得Ax=λx，则称λ是A的一个特征值，x是属于λ的一个特征向量。MATLAB中利用eig()函数求解矩阵的特征值和特征向量。调用格式如下：d=eig(A)%d为A的特征值组成的向量；[V,D]=eig(A)%V为输出的特征向量矩阵；D为输出的特征值矩阵；[V,D]=eig(A,’nobalance’)%输出的特征值和特征向量没有经过提高特征值精度的balance()函数的处理。第50页，共90页，2023年，2月20日，星期六矩阵的广义特征值和特征向量：设P为一个数域，A为P上的n阶方阵，若存在数λ∈P及n维非零列矢量x∈Pn，使得B-1Ax=λx，则称λ是A的一个广义特征值，x是属于λ的一个广义特征向量。广义特征值和特征向量的求解见下面的函数调用：d=eig(A,B)[V,D]=eig(A,B)

[V,D]=eig(A,B,flag)flag为’chol’时，对矩阵进行Cholesky分解；flag为’qz’时，对矩阵进行QZ分解；>>A=[122;1-11;4-121]；第51页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>d=eig(A)d=1.0000-0.0000+1.0000i-0.0000-1.0000i>>[V,D]=eig(A)V=0.9045-0.7255-0.72550.3015-0.2176-0.0725i-0.2176+0.0725i-0.30150.5804-0.2902i0.5804+0.2902iD=1.0000000-0.0000+1.0000i000-0.0000-1.0000i第52页，共90页，2023年，2月20日，星期六第53页，共90页，2023年，2月20日，星期六2、矩阵的相似变换设P为一个数域，A为P上的n阶方阵，引入一个相似变换矩阵T，使得B=T-1AT，称为矩阵的相似变换。如果A为对称矩阵，则会有B=A，且有T=I。MATLAB中利用balance()函数进行矩阵的相似变换。调用格式如下：[T,B]=balance(A)%求解矩阵的相似变换矩阵和输出矩阵B=balance(A)%直接输出相似变换后的输出矩阵第54页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>A=[0.51006600;30010.03;900.12700];A=1.0e+003*0.00050.10006.60000.30000.00100.00000.09000.00012.7000>>[T,B]=balance(A)T=4.00000008.00000000.5000B=1.0e+003*0.00050.20000.82500.15000.00100.00000.72000.00162.7000

第55页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>p=poly(A)%求得矩阵A的特征方程系数p=1.0000-5.0000-28.000064.000042.0000>>roots(p)%求得方程的根，即求得A特征值ans=7.4965-4.33882.3839-0.54174、矩阵的特征值条件数矩阵的条件数用来判断特征值是否为多重特征值。如果矩阵的特征值条件数较大，则矩阵具有多重特征值。[V,D,s]=condeig(A)%输出矩阵的特征向量、特征值和条件数c=condeig(A)%只输出矩阵的条件数第56页，共90页，2023年，2月20日，星期六>>[V,D,s]=condeig(A)V=-0.2206-0.2984-0.6754-0.61690.48490.7560-0.36810.72000.33280.5786-0.6351-0.1846-0.77810.06740.0700-0.2588D=7.49650000-4.338800002.38390000-0.5417s=1.66672.03581.9861

2.4720这一结果在上面解特征方程的根时已经结出来了，现在大家可以对比一下，看看结果是不是完全一致。第57页，共90页，2023年，2月20日，星期六9、矩阵的Jordan标准型并不是任意一个复数矩阵都能相似于一个对角矩阵，但是，任意一个复数矩阵却可以相似于一个被称为Jordan标准型的矩阵。什么是Jordan标准型呢？设λ为复数，形如第58页，共90页，2023年，2月20日，星期六的mi级矩阵（mi>1）称为一个Jordanz块，则把下面的准对角矩阵称为一个Jordan矩阵。任意一个复矩阵A都相似于一个Jordan矩阵，即存在可你矩阵V，使得V-1AV=J。MATLAB中利用jordan()计算矩阵的Jordan标准型，函数的调用格式如下：J=jordan(A)第59页，共90页，2023年，2月20日，星期六[V,J]=jordan(A)>>A=[310;-4-10;4-8-2]A=310-4-104-8-2>>[V,J]=jordan(A)V=02.00001.00000-4.000003.111113.3333-3.1111J=-200011001第60页，共90页，2023年，2月20日，星期六2.4.3矩阵的分解在实际工程计算中，由于矩阵的阶数很大，使得矩阵的运算十分困难，因此需要在保持阶数不变的情况下，将复杂的矩阵分解为若干便于工程计算的矩阵。1、Cholesky分解设P为一个数域，A为P上的n阶对称正定方阵，如果矩阵A是对称矩阵，可以将矩阵A分解为如下形式矩阵R称为矩阵A的Cholesky分解。第61页，共90页，2023年，2月20日，星期六MATLAB中利用chol()函数计算矩阵的Cholesky分解矩阵，函数的调用格式如下：R=chol(X)[R,p]=chol(X)%p为返回值，如X为一个正定矩阵，则返回p=0。>>X=pascal(4)X=1111123413610141020>>[R,p]=chol(X)R=1111012300130001p=0>>B=R.'*RB=1111123413610141020第62页，共90页，2023年，2月20日，星期六2、LU分解设P为一个数域，A为P上的n阶方阵，可以将矩阵A分解为如下形式这种分解称为LU分解。MATLAB当中用函数lu()来计算矩阵的LU分解矩阵。调用格式如下：[L,U]=lu[X]%这个调用格式是最常用的第63页，共90页，2023年，2月20日，星期六[L,U,P]=lu[X]%L、U含义同前，P被称为置换矩阵，且有关系LU=PX。>>X=rand(4)X=0.26180.70090.43190.94550.59730.96230.63430.91590.04930.75050.80300.60200.57110.74000.08390.2536>>[L,U]=lu(X)L=0.43820.41600.49301.00001.00000

0

00.08251.00000

00.9560-0.26811.0000

0第64页，共90页，2023年，2月20日，星期六[L,U,P]=lu[X]%L、U含义同前，P被称为置换矩阵，且有关系LU=PX。>>X=rand(4)X=0.26180.70090.43190.94550.59730.96230.63430.91590.04930.75050.80300.60200.57110.74000.08390.2536>>[L,U]=lu(X)L=0.43820.41600.49301.00001.00000

0

00.08251.00000

00.9560-0.26811.0000

0第65页，共90页，2023年，2月20日，星期六U=0.59730.9623

0.63430.91590

0.6711

0.75070.52640

0

-0.3212-0.48090

0

0

0.5622>>L*Uans=0.26180.70090.43190.94550.59730.96230.63430.91590.04930.75050.80300.60200.57110.74000.08390.25363、QR分解设P为一个数域，A为P上的n阶方阵，可以将矩阵A进行正交三角分解，分解为酉矩阵Q和上三角矩阵R的乘第66页，共90页，2023年，2月20日，星期六积，其中上三角矩阵R为矩阵A可以表示成为A=QR，称为QR分解。MATLAB中用qr()函数计算矩阵的QR分解矩阵，调用格式为：[Q,R]=qr(A)%这个调用格式是最常用的[Q,R,E]=qr(A)%Q、R含义同前，E被称为置换矩阵，