西北工业大学附属中学2019届高三下学期模拟训练（4）数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精陕西省西北工业大学附属中学2019届高三下学期模拟训练（4）数学（理）试题含解析西工大附中2019届模拟训练（四)理科数学一､选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。已知集合，则()A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求出，由指数函数的性质求出，由交集的运算求出．【详解】解：因为所以所以故选：B【点睛】本题考查交集及其运算，指数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.已知是虚数单位，若，则的值是（）A。 B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简为，再利用两个复数相等的充要条件求出、的值，即可得到的值．【详解】解：若，则，,,．故选：．【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，两个复数相等的充要条件，属于基础题．3.设为非零向量,则“存在负数λ，使得”是“”的（)A.充分而不必要条件 B。必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得．反之不成立，非零向量,的夹角为钝角,满足,而不成立．即可判断出结论．【详解】解：，为非零向量，存在负数,使得,则向量，共线且方向相反，可得．反之不成立,非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立．，为非零向量，则“存在负数,使得”是”的充分不必要条件．故选：．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数且对任意的，都有,若函数，则(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数的图象关于直线对称,可知，代入即可得到选项.【详解】根据函数对任意的，都有,可得函数的图象关于直线对称,故有，，故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,考查余弦函数的性质，属于中档题。5。若为所在平面内任一点，且满足,则的形状为（)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】由,推出，可知的中线和底边垂直,则为等腰三角形.【详解】∵,∴，∴，∴的中线和底边垂直，∴是等腰三角形．故选：A.【点睛】考查向量运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础,考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.6。设集合，那么集合中满足条件的元素个数为（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】将的取值分为两组：，，，中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，3个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合中满足条件“”的元素个数．【详解】解：集合，集合满足条件“”，设,，①中四个元素中有1个取值为0,另外3个从中取，取法总数有:,②中的四个元素中有2个取值为0,另外2个从中取，取法总数有:，③中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从中取，取法总数有：，④中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：，集合中满足条件“"的元素个数为：．故选：．【点睛】本题考查满足条件的集合中元素个数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，属于中档题．7.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上,点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B。C. D。【答案】D【解析】【分析】由图形可知，，在直角中，由勾股定理可求，结合即可得出．【详解】由图形可知:，,在直角中，由勾股定理可得：，,，．故选：D【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题。8。已知是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线左支交于点，已知是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是（）．A。 B。2 C。 D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得,选C.考点:双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b，c的方程或不等式,再根据a，b,c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9。已知等比数列,且，则的取值范围是(）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，由，，可得，解得．可得．可得．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出．【详解】解：设等比数列的公比为，，，，解得．．．．，．的取值范围是：．故选：．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10.函数在区间的图像大致为（）．A。 B.C。 D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性,在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A。点睛：本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题,着重考查了分析问题和解答问题的能力.11。如图，在三棱锥中，两两互相垂直,且，设点是底面三角形内一动点，定义：,其中分别是三棱锥的体积。若且恒成立,则正实数的最小值是(）A。 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等关系，解之即可．【详解】解：、、两两垂直，且．，．,即，恒成立，，解得正实数的最小值为．故选:．【点睛】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．12。已知函数，且，若当时，，则的取值范围是（）A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的解析式和,求出的值，再画出的图象，结合图象和，求出的范围,可得出，构造函数，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】解：，，,，解得，，画出函数的图象，如图所示，时，，由图象可知，，则，,解得，，构造函数，其中，则二次函数在区间上单调递增,当时，，可得.综上所述，的取值范围是.故选：A．【点睛】本题考查了分段函数和函数图象应用以及不等式的性质，关键是求出的值，画出函数的图象，属于中档题二､填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题卡上)13.已知中的_________。【答案】【解析】【分析】可看做6盒子，每个盒子都放有、、，3个元素，从每个盒子中取一个元素的组合问题，再利用组合公式计算可得;【详解】解：因为，可看做6盒子,每个盒子都放有、、，3个元素，从每个盒子中取一个元素的组合问题，要得到，有两种取法，①取1个与5个，②取2个与4个；则所以故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式系数问题，关键是对问题进行转化，属于中档题.14.连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（6个面分别标有)，现定义数列，是其前项和，则的概率是________。【答案】【解析】分析】分析知:抛掷5次得3分，包括得5次中向上面上的点数是3的倍数发生4次，用次独立重复试验中恰好发生次的概率的概率公式即可．【详解】解：知：抛掷5次得3分，包括得5次中向上面上的点数是3的倍数发生4次，由于的概率为,故其概率为:，故答案为：．【点睛】本题考查次独立重复试验中恰好发生次概率,互斥事件的概率公式，是一个综合题，解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字，一般不会丢分，属于基础题．15。若变量，满足则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值,表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最小值即可．【详解】解：约束条件不等式组表示的平面区域如图所示,当直线过点时,取得最小值，由，可得时,在轴上截距最小，此时取得最小值．故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值，属于基础题．16。已知函数，若命题“，且,使得”是假命题,则实数的取值范围是。【答案】。【解析】试题分析:根据题意分析可知，问题等价于命题“，且，使得”是真命题，当时，问题等价于，设，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，当时，问题等价于，若:,∵,∴，故不等式显然成立，若：则，综上实数的取值范围是.考点：1.命题及其关系;2。导数的运用;3.恒成立问题.三､解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17。已知在中内角，,的对边分别为，，且．（Ⅰ）求角的值;（Ⅱ）若的外接圆半径为1，求面积的最大值．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析:（I）先运用诱导公式化简,再运用正弦、余弦定理求解；（II)借助正弦定理及基本不等式即可获解．试题解析：解：（Ⅰ），∴,由正弦定理得,即,结合余弦定理，有，∴．（Ⅱ）,解得,所以,(当且仅当时取等），所以．18.某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：),随机选择了名同学进行调查，下表是这名同学的日睡眠时间的频率分布表：（1）求的值,若，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；（2）统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是)作为代表，若据此计算的上述数据的平均值为，求的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在小时以上的概率。【答案】（1），图形见解析；（2)，．【解析】【分析】(1)由题意可得，当时,对应的频率为，故对应的频率为，故频率0。2对应的频数为，0.08对应的频率为，故可得到完整的频率分步表，由此画出频率分步直方图．（2）由题意可得，且，由此求得和的值，从而求得学生的睡眠时间在7小时以上的频率．【详解】解：(1)由题意可得，当时，对应的频率为,故对应的频率为,故频率0。2对应的频数为，0。08对应的频率为．故表格中的数据分别为：序号分组（睡眠时间)频数(人数）频率1,60。122，100。203，0.44，0。25,40.08频率分步直方图为：（2）由题意可得,且，即，且，解得，．故学生的睡眠时间在7小时以上的频率等于．【点睛】本题主要考查频率分布表和频率分布直方图，用样本的频率估计总体的频率，体现了数形结合的数学思想,属于基础题．19。如图,四棱锥的底面是边长为的正方形，底面,分别为的中点。（1）求证：平面；（2）若,试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在,确定点的位置;若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明详见解析;(2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】【分析】（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题取PD中点M,利用三角形中位线性质得，再结合平行四边形性质得四边形EFMA为平行四边形，从而得出EF∥AM,(2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系,求出待定参数【详解】证明:(1）取PD中点M,连接MF、MA，

在△PCD中，F为PC的中点，∴，正方形ABCD中E为AB中点，∴,∴,故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD,∴EF∥平面PAD；（2）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2），B(0,1,0），C（1，1，0）,E（0，，0），F（,,1）,由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0),假设存在Q满足条件：设，∵，∴,，λ∈，设平面PAQ的法向量为，由,可得，∴，由已知：，解得:,所以满足条件的Q存在,是EF中点．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一,破“建系关",构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四，破“应用公式关”．20。已知椭圆的左､右焦点分别为,椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2)设点是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明:直线过定点.【答案】（1）；（2）过定点．【解析】【分析】（1）依题意可得轴，从而得到，再根据过点，得到方程组,解得即可；(2)当直线的斜率不存在时,设，,则，，由，得，当直线的斜率存在时,设的方程为，，，，，联立，得，由此利用韦达定理、斜率公式能证明过定点．【详解】解:（1）依题意椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点，所以轴，所以,解得，所以椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时，设,，则,,由，得，解得,当直线的斜率存在时，设的方程为,,,,，联立，得，,，，,,，，由，，得，,，则，解得。过定点．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理、斜率公式、直线方程、椭圆性质的合理运用,属于中档题．21。已知函数。(1)求函数的图象在处的切线方程；（2）求证：当时，.【答案】(1)，（2）证明见解析;【解析】【分析】(1）求出导数，可得切点坐标及切线的斜率,代入点斜式，可得曲线在处的切线方程；（2）猜测：当，时，的图象恒在切线的上方，只证：当时，，又，即，即可．【详解】解：（1）因为,所以，由题设得,，在处的切线方程为．（2），，在上单调递减,在上单调递增，所以，所以在，上单调递增，所以，，．过点,且在处的切线方程为，故可猜测:当，时,的图象恒在切线的上方．下证：当时，，设，,则,，在上单调递减，在上单调递增，又，，，，所以，存在，使得，所以，当，，时，;当，时，，故在上单调递增,在,上单调递减，在上单调递增，又，，当且仅当时取等号，故．令，则,所以在上单调递增，在上单调递减，所以,所以恒成立，即，即，当时，等号成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题．22。在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，曲线的参数方程为为参数）。（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；（2）点与点关于轴对称,求曲线上的点到点的距离的取值范围。【答案】（1)根据将极坐标化为直角坐标；根据消参数得普通方程，再根据圆心到切线距离等于半径得切线斜率或,最后根据将直线点斜式化为极坐标方程（2)先得，再根据圆的性质得曲线上的点到点的距离的最小值为，最大值为，即可求取值范围【解析】试题分析：对于问题（1）可以先求出点的直角坐标以及曲线的普通方程，利用直线过且与曲线相切,即可求直线的极坐标方程；对问题（2)可以先根据点与点关于轴对称,求出点的坐标，再求出点到圆心的距离