第二型曲线积分与复变函数积分 论文

第二型曲线积分与复变函数积分摘要：第二型曲线积分是多元函数积分学的重要组成部分，复变函数积分（又称复积分）是复变函数理论的基本组成部分，也是研究复变函数理论及其应用的最重要工具之一，它是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多性质要利用复积分来证明。复变函数积分与第二型曲线积分，柯西基本定理与格林公式有着本质的内在联系。本文主要阐述第二型曲线积分和复变函数的内在联系，全微分方程、积分与路径无关、调和函数的相通性等。关键词：第二型曲线积分；复变函数积分；格林公式；柯西基本定理TheSecondTypeCurvilinearIntegralandComplexFunctionIntegralAbstract:Thesecondtypecurvilinearintegralinanimportantconstituentpartofmultivariatefunctionintegralcalculus,Complexfunctionintegral(alsocalledcomplexintegral)isanessentialpartofthecomplexfunctiontheory,andisoneofthemostimportanttooloftheresearchaboutthecomplexfunctiontheoryandtheapplications.Itisanimportanttoolintheresearchofanalyticfunction,manypropertiesofanalyticfunctionwasprovedbyusingthecomplexintegral.Thereareessentialinnerlinksbetweencomplexfunctionintegralandthesecondtypecurvilinearintegral,CauchyfundamentaltheoremandGreen'stheorem.Inthispaper,wemainlyexpoundtheinternalrelationsbetweenthesecondtypecurvilinearintegralandthecomplexfunction,andargumentthephaseconnectivitybetweentotaldifferentialequation,integralhavingnothingtodowiththepath,harmonicfunctions..Keywords:Thesecondtypecurvilinearintegral;Complexfunctionintegral;Green'stheorem;Cauchyfundamentaltheorem1引言第二型曲线积分是多元函数积分学的重要组成部分，复变函数积分（又称复积分）又是复变函数理论的基本组成部分，也是研究复变函数理论及其应用的最重要工具之一，它是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多性质要利用复积分来证明。复变函数积分与第二型曲线积分，Cauchy基本定理与Green公式有着本质的内在联系。在区域内，复变函数积分与路径无关与实函数的第二型曲线积分与路径无关的含义类似，也等价于沿区域内任意闭曲线的积分为零。复变函数积分的值是否与路径无关，一、与被积函数的解析性有关；二、与使被积函数解析的区域是否单连通有关。特别的，实函数第二型曲线积分和复变函数积分与路径无关、全微分方程以及调和函数的相通性更是值得研究的话题。2第二型曲线积分2.1第二型曲线积分的概念® r r第二型曲线积分的研究是有它的物理背景的：假设一质点受力Fxy(,)=Pxyi+Qxyjur的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力Fxy(,)所做的功W.(这里假设pxy( ),Qxy( )在L上连续)，基于这个问题的考虑，我们有了下面第二型曲线积分的定义：定义1设平面上有光滑有向曲线C(A,B)二元函数fxy(,)在曲线C上有定义，将曲线C依次分成n个有向小弧[1]：¼AA0 1,¼AA1 2,,…,¼An-1An,其中A0=AAn=B。.uuuuur设第k个小弧¼Ak-1Ak的弦Ak-1Ak在x轴与y轴上投影区间的长分别是Dkx与Dky，在第k个小弧 uur

¼Ak-1Ak上任取一点Exhk k k)作和n nåFk(xhk k)×Dxk ， Fk(k,k)ky， （2.1.1）k=1 k1分别称为二元函数f(x,y)在曲线CAB(,)关于x与y的积分和。令l ()=max{Ds1,Ds2,L ,Dsn}。（Dks是第k个小弧¼Ak-1Ak的长）若当l ()®0时，二元函数fxy(,)在曲线CAB(,)关于x（或y）的积分和（2.1.1）存在极限xJ（或Jy），即n nl

lim()®0åk=1

f(ehk k)Dxk=Jx（或l

lim()®0åk=1

f(ehk k)Dxk=Jy），称xJ（或Jy）是fxydx（或fxydy）在曲线CAB(,)的第二型曲线积分，表为ò fxydx（或 ò fxydy）CAB(,) CAB(,)ur因此可得到，质点在平面力场F=((,),PxyQxy(,))的作用下，沿光滑有向曲线C由点A到点B，力场F所做的功W是Pxydx与Qxydy在曲线CAB(,)上的第二型曲线积分之和，即nW=l

lim()®0åP(ehk k)Dxk+l

lim()®0 Q(ehk k)Dykk=1= òPxydx+ òQxydyCAB(,) CAB(,)通常上式简写为W= òPxydx( ) + òQxydy （2.1.2）CAB(,) CAB(,)若L为封闭有向曲线，则记为òÑLPdx+Qdy或òÑABPdx+Qdy由弧长微分知，dx与dy分别是弧长微分ds在x轴与y轴上的投影。弧长微分ds的方向就是曲线CAB(,)的方向，则弧长向量微元ds=(dxdy)。于是，功W可写成向量形式的积分W= òFxy(,)×dsCAB(,)（2.1.3）类似的，可以定义三元函数PxyzQxyzRxyz沿空间曲线G对坐标的曲线积分，即组合形式为：òPxyzdx=

llim

()®0n

åk=1P(ehVk k k)DxkòQxyzdx=

llim

()®0n

åk=1Q(ehVk k k)DykòRxyzdx=

llim

()®0n

åk=1R(ehVk k k)DzkòPxyzdx+Qxyzdy+Rxyzdz，其中G是光滑空间有向曲线，三元函数PQR在G上连续。2.2第二型曲线积分的性质下面列举第二型曲线积分的性质[2](1)（方向性）对同一曲线，当方向由A到B改为由B到A时，每一小曲线段的方向都改变。即ò fxydy=- ò fxydyCAB(,) CBA(,)uuuuur因为Dkx与Dyk分别是第k-1和第k个有向的小弧¼Ak-1Ak的弦长为Ak-1Ak在x轴与y轴上的投影，当改变曲线C的方向时，Dkx与Dky要改变符号，所以第二型曲线积分也要改变符号。k k(2)（线性性质）若òLPdx+Qdyii =1,2,L ,)存在，ic为常数，则ò(åcPdxi i +(åcQdyi i 也i=1 i=1存在，且ò(k

åi=1cPdxi i+(k

åi=1cQdyi i k

=å i=1ci(òPdxi+Qdyi).òiLPdx+Qdy存在，则(3)（可加性）若有向曲线L是由有向曲线LL1 2,L,Lk首尾连接而成，且òLPdx+Qdyi=1,2,L,)也存在，且òPdx+Qdy k

=å i=1òiPdx+Qdy.(4)（积分不等式）设maxMÎLA(M)=K,曲线L的长度为L，则òLAM(r)×dr£KL.2.3第二型曲线积分的计算第二型曲线积分可以转换为定积分来计算定理1设平面曲线C:

ìïíïîy

x==

xtyt

()() ,tÎ [ab]，其中xt(),yt()在[ab]上具有一阶连续导数，且点A与B的坐标分别为(x(),y())与(x(),y()).又则Pxy( ),Qxy( )在CAB( )上连续，则沿C从A到B的第二型曲线积分bòCPxydx( ) +Qx( ,y)dy=òaéPxt( (),yt())()+Qxt( (),yt())()ùûdt.特别地，若曲线C由方程y=yx()给出，假定曲线C的起点A对应x=a，终点B对应x=b，当x由a连续地变到b时，对应点Mxy( )描出由点A到点B的曲线C，则bòCPxydx( ) +Qx( ,y)dy=òaéPxyx( ())+Qxyx( ())()ùûdx..若C为封闭的有向曲线，则记为òÑLPdx+Qdy。对于计算，可在有向曲线C上任意选取一点作为起点，沿有向曲线C所指定的方向前进，最后回到这一点。由此，对于第二型曲线积分的直接计算方法，可采用三个步骤：1、代：将L的参数方程代入被积函数；2、换：dx=xtdt() ，dy=ytdt() ；3、定限：下限——起点参数值，上限——终点参数值。下面我们通过几个例题来说明这种方法的应用例1计算òLxydx，其中L为抛物线2y=x从点yBA(1,1)到B(1,1)的一段。解若取x为参数，则L：»AO+BO»，yx»AO：y=-x，x:1®0，OBO»：y=x，x:0®1，\òxydxL 0=òxydx 1

+òxydxyx0

=òx(-x)dx+1òxxxA11=21òx32dx=4，yx25若取y为参数，则Lx=y2,y:1®1.所以òLxyx 1=ò1yyy22)dy=2 1

ò1y4dy=45例2计算òLxydx+xdy2，其中L为。（1）抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；（2）抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；（3）有向折线OAB，这里OAB依次是(0,0,1,0,1,1)( )( )解（1）若取x为参数Ly=x2,x从0变到1，原式1

=ò0(2xx×+x2×2)xdx 1

=ò02x3+2xdx3 1 3

=ò04xdx=4ò

1xdx3=1在（2）若取y为参数Lx=y2；y从0变到1；B(11,A)0,1()òLxydx+xdy21

=ò(2y2××+y4)dy= 1 4 4

ò04y+ydy=51

òydy4=1（3）原式=òOA2xydx+xdy2+òAB2xydx+xdy2OA上，y=0，x从0变到1.在òOAxydx+xdy21

=ò(2x×+x2×0)dx=0.AB上，x=1，y从0到1，òABxydx+xdy21

=ò(2y×+01)dy=1由此知：虽然路径不同，但积分值相同。例3计算曲线积分òCxdy-ydx，其中积分路径如图所示，B(0,-b)；（1）在椭圆x2 y+b2=1上，从Aa(,0)经第一、二、三象限到点a22（2）在直线y=bx-b上，从点Aa(,0)到点B(0,-b)a解（1）椭圆x2 y+b2=1的参数方程为：Bxa22ì

í

îx=acost，且起点A®=0，y=bsint终点B3p®=2，所以òLxdy-ydx3péëacostbcost-bsint(-asint)ùûdtò

2A(0)2p=ò0abdt=23abpy(2)线段AB的方程为：y=bx-b，起点A®a，a终点B®x=0，dy=bdxaxòxdyAB-ydx=ò0æçè

xb-bx+bdxö÷øoaa(,0到终点0

=òabdxb)=-ab(y>0)由起点00,0()例4计算òLydx+xdy（其中积分路径L为x2+y2=2x），B(2,0)的积分值[3]。解方法1I=òydx+xdy2æ=òçè2x-x2+×1-x2ö

÷dxø2x-xö

÷dx

÷

ø=2 æò 2ç ç

è1-(x-1)

2- 2

ò1-x-x)

2(1利用定积分第二类换元法作变量代换：x-1=sinq，则dx=cosqqI=2pcosq×cosqq-p1sinq×cosqqòp2òp2方法2I=òydxcosq=-p=0+xdypéëcost×cost++(1sint)(-sint)ùûdt=òp2p(cos2t-sin2-sintdt)=òp2=03复变函数积分3.1复变函数积分的概念定义2设L是复平面上可求长有向简单连续曲线，始点为a，终点为b，复变函数w=f(z)在L上有定义[4]，在L上引进分点系：a=z0,z1,L ,zk-1,zk,L ,zn=b.记l =1maxknz{¼k-1zk的弧长}，任取zkÎ z¼k-1zk，若极限nliml®0å f(zk)Dzkk=1存在且与L的分割方式及zk的取法无关，则称之为f(z)沿L的积分，记为nòf(z)dz=liml®0å f(zk)Dzk （3.1.1）k=1其中，f(z)称为被积函数，L称为积分曲线。有时，为了与实积分区别，也把（3.1.1）称为复积分。设z=+yizk=xk+yik,zk=xk+hki ，f(z)=uxy( )+vxy( )i，则（3.1.1）可改写为nòfzdz() =liml®0åéëu(xhk k)+iv(xhk k)(ûDxk+Diyk)k=1n=liml®0åéëu(xhk, k)Dxk-v(xhk, k)Dykùûk=1n+liml®0åéëv(xhk, k)Dxk+u(xhk, k)Dykùû.k=1右边的两个极限都是第二型曲线积分，所以òf(z)dz记

=òéëuxy()+vxyi( )(ûdx+idy)=òuxydxvxydx( ) ( ) +iòvxy( )+uxydy( ) .（3.1.2）注：它说明复积分(3.1.1)对应于一对实的第二型平面曲线积分。由于当,uv连续时两个第二型积分存在，因此当f(z)连续时，复积分（3.1.1）存在。若曲线L的参数方程为z=zt()=xt()+iyt(),:ta®b,则féëzt()ùû=uxtë(),yt()ùû+ivxtë (),yt()ùû,zt()=xt()+iyt().因为bòLuxydx( ) -v(x,y)dy=òaéuxt( (),yt())()-vxt( (),yt())()ùûdtbòLvxydx( ) +uxydy( ) =òaévxt( (),yt())()+uxt( (),yt())()ùûdt,所以由（3.1.2）òLfzdz()= b

òaéuxt( (),yt())+ivxt( (),yt())ùûéëxt()+iyt()ùûdt=bòféëzt()ùûztdt().由此可见复积分与第二型曲线积分的计算方法也是一致的，都是采用参数法。3.2复变函数积分的性质由于复积分和第二型曲线积分之间的关系（3.12），复积分也具有第二型曲线积分一样的性质[5]：(1)(线性性质)设a，b为常数fz()和gz()在L可积，则(z)dz;òLéëafz()+bg()ùûdz=aòLf(z)dz+bòLg(2)（方向性）òfzdz()=-òfzdz()，其中L-是L取反方向；，则(3)（可加性）设L由1L和L2组成，即L=L1UL2，且mL1IL2)=0òLf(z)dz=ò1f(z)dz+ò2f(z)dz;(4)（积分不等式）设fz()£M，(zÎL)，L的长度记为L，则òLf(z)dz£òLf(z)ds£ML.3.3复变函数积分的计算例1计算积分1dz,其中L是以0z为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.ò(z-z0)n解曲线L的方程可以写为z=z0+reqq:0®2,故dz2p=òireiqdq=i2pòe-in(-1)qdqò(z-z0)

n(reiq)

nrn-1-1)qqùúû.=ri 2pn-éêëòcos(n-1)qq-i2pòsin(n.当n¹1时，2pòcos(n-1)qq=11sin(n-1)q2p=0，n-02psin(n-1)qq=-n11cos(n-1)q2p=0，ò-0故n=1时，cos(n-1)qò(zdz0)

n=0(n¹1).当-z=1，sin(n-1)q=0.这时，ò1dz=iò2pq=2pi.C1是从原点到点(zz)n0（3.3.1）òÑz-10)ndzì=íî2pin=1.例2设(z0,n¹1.z0=+i的直线段，z=+( ixx) ,:0®1,是从原点到z=1 1的直线段，的直线段，计算积分òLzdz，（1）L=C1;(2)+C3.C3是从z=1 1到z0=+iL=C2解（1）z=xx,:0®1,的方程为z=+( ixx) ,:0®1,故òCzdz11

=òéë(1-ix)(1+i)ùûdx=2 1

òxdx=1.（2）C2的方程为y=0，即z=xx,:0®1,C3的方程为z=+iyy:0®1 1

+ò01(-iy)(idy)òLzdz=ò2zdz+ò3zdz1

=òxdx1 1=+2 òydy+i 1

òdy1 1=++=+i2 2.4格林公式与柯西基本定理4.1格林公式格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L的正向:设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时,区域D总在他的左边.若与L的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理2设D是xOy平面的闭区域[7]，其边界¶D由有限条光滑或分段光滑曲线组成[6]，Pxy(,)ÎC(D),Q(,)(1)ÎC((1)D),则ò¶DPxydx+Q(,)xydy=òòD¶Q-¶P)dxdy.（4.1.1）¶x¶y例1计算曲线积分òLx2-2)ydx+(3x+yey)dy.（1）L=L1+L2+L3：(2)L=L1+L2,其中1L：y=-1x+1，x:2®0；2L2：y=1-x2，x-:1®2；3L：y=0，x-:1®2；解（1）L=L1+L2+L3围城一条简单封闭曲线，取逆时针方向，设它所围城区域记为D，由格林公式x2-2)ydx+(3x+yey)dyé¶=òòD

êë¶x(3x+yey)-¶(x2-ù

2)ydxdyúûòL¶y= (3+2)dxdy=5(D)=5(p+1).òò

D4（2）注意到3L的方程为y=0，积分较易计算。因x+yey)dy=5(p+1),+ò2+ò3)(x2+2)ydx+(3ò14故ò1+Lx22-2)ydx+(3x+yey)dy=5(p+-òL3(x2-2)ydx+(3x+yey)dy4=5(p+- 2

òxdx2=5(p+-35p=4+2.44定理3设D是平面单连通区域，Axy(,)={PxyQxy(,)}ÎC(D)(1),则下述4个条件等价：（1）"(,)ÎD,P¶y=¶Q;¶x（2）沿D内任一段光滑的简单封闭曲线L，ÑLrAdrºÑLPxydx+Qxydy=0；（3）曲线积分òLrAdrºòLPxydx+Qxydy在D与积分路径无关；（4）存在函数uxy()使得du=Pxydx+Qxydyxy(,)ÎD，即表达式Pxydx+Qxydy是某个函数的全微分，这时uxy()(xy)=ò0,y0)Pxy()+Qxy()+C，(,xy)ÎD，其中，(x0,y0)是D内任一固定点，C为任意常数。推论若在区域D内du=Pxydx+Qxydy,，ABÎD，则B

òPxydx+Qxydy( )=Bòdu=uB()-uA()（4.1.2）例2计算曲线积分其中L是圆周x2+y2I=ò(ex-2xy-y2)dx-(x+y)

2dy，=2y上从O(0,0)到B(1,1)的一段有向弧.解Pxy(,)=ex-2xy-yQxy2 ）=-(x+y)

2.,¶P=-2x-2y=¶Q.¶y¶xO(0,0)沿x轴到A(1,0)，再沿与y轴平故所求曲线积分在xOy面内与路径无关，改取积分路径为行的直线段到B(1,1)。OA的方程为y=0，x:0®1，这时dy=0，AB的方程为x=1，y:0®1，这时dx=0.故I=òL(ex-2xy-y2)dx-(x+y)

2dy=òOA(ex-2xy-y2)dx-(x+y)

2dy+òAB(ex-2xy-y2)dx-(x+y)

2dy 1

=òxedx1

+òéë-(1+y)

2ùûdy=xe1-1(1+y)

31030=-1-7=-1033例3试证(2x+sinydx)+xcosydy是某个函数uxy()的全微分，并求出uxy().解法1（曲线积分法）Pxy(,)=2x+siny，Qxy）=xcosy¶P=cosy=¶Q，¶y¶x)，则由定理3可知(2x+sinydx)+xcosydy是某个函数uxy()的全微分，取(x0,y0)(0,0uxy()(xy)=ò0,0)(2x+sinydx)+xcosydy+C，所以，可得解法2（偏积分法）uxy() x=ò2xdx y+òxcosydy+Cydy，=x2+xsiny+C.du=(2x+sinydx)+xcos故对第一式关于x积分得¶=2¶xx+siny，¶=x¶ycosy，（4.1.3）uxy()=ò(2x+sinydx)+j()=x2+xsiny+j(),（4.1.4）其中，j()是仅依赖于y的任意函数，当计算关于x的偏导数¶u时，它被当做常数。现在只要计¶x算出j()便可计算出uxy()。把（4.1.4）代入（4.1.3）的第二式得xcosy+j¢()=xcosy，故由此得j()=C，因此uxy()j¢()=0y+C.=x2+xsin全微分方程定义3：若存在连续可微函数uxy()使得[8]+Qxydy( )，du=Pxydx( )则称微分方程

Pxydx+Qxydy=0为全微分方程或恰当微分方程，它的通解就是uxy( )=C.例4求微分方程éëcos(x+y2)+3ydxùû+éë2cos(x+y2)+3xdyùû=0的通解.解Pxy(,)=cos(x+y2)+3y，Qxy(,)=2cos(x+y2)+3x，¶P=-2sin(x+y2)=¶Q，¶y¶x故这个微分方程式一个全微分方程，所以有uxy() y=ò2cosydy2 x+òéëcos(x+y2)+3ydxùû=siny2+sin(x+y2)+3xy-siny2=sin(x+y2)+3xy,故原微分方程的通解为sin(x+y2)+3xy=C.4.2柯西基本定理一、柯西基本定理定理4（柯西基本定理）设D是区域，其边界¶D由有限条简单可求长闭曲线组成，fz()ÎAD()ÇCD()（即fz()在D内解析且在D连续）[9].则òDfzdz()=0（4.2.1）证明：设fz()在z平面内处处不解析，起积分值依赖于链接起点与终点的路径。得积分òÑ1dz=2pi¹0，z-z0由曲线C表示圆周：z-z0=>0.其中被积函数fz() 1=-z0在z平面上除去点0z处处处解析，但这个是多连通区域。由此可见，积分值与积分路劲是否无关，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关。其实，在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与积分路劲无关的问题。由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示，因此对于复积分与路劲无关的问题，我们很自然的会想到将其为实函数积分与路劲无关的问题来讨论。设fz()=+iv在单连通（即单连通区域）D内处处解析，且f¢()在D内连续。由于=0.（由格林公式）f¢()=ux+ivx=-iuy+vy，从而,uv有连续偏导数，且满足C-R方程：ux=vuyy=-vx，于是Ñfzdz()=Ñudx-vdy+iÑvdx+udy=òò(-Dvx-udy)s+iòò(uDx-vdy)s从而例5设G是正向简单封闭曲线，zÏG，òÑCfz=() 0.1d.n为正整数，计算积分0òÑ(z-z0)解(z-z0)

n在全平面解析，(-1)

n当且仅当z=z是不解析.若0z在G的外部，则由柯西积分定zz00理知ò(z-1ndz)=0.若0z在G内部，以0z为中心，充分小的d为半径作圆z0Bz(0,G的内部，及圆周d=){zz-z0<d}使它落在Cd={z:z-z0=d}，利用闭路连续变形原理知ò(z-1dz=òd(-10)

ndz ì=2pin=1.z0)

nzzí

î0,n¹1.（4.2.2）因此当且仅当0z在G内部且n=1时，òÑ10dz=2pi.z-z而当0z在G外部或n¹1时，（4.2.3）òÑ(z10ndz)=0-z1.例6计算积分ò2z-1

dzz，（1）G是圆周z=2；（2）G是圆周z-1=z2-2解经恒等变2z-1=z+(z-1)1 1+z2-zzz(-1)z-1z，故ò2z-1dz=òz11dz1+òzdz.（1）当G为圆周z=2时，z2-z-z=1和z=0都在G内部，由（4.2.2）知òz11dz=2pi,ò1dz=2pi,-z故ò2z-1

dzz=4pi.（2）当G为圆周z-1 1=2时，z=1在z2-G内部，z=0在G外部，根据（4.2.2）和（4.2.3）知11dz=2p,1òzdz=0,òz-故2z-1

dz=2pi.òz2-z注因为有理函数都可以分解为部分分式，因此有理函数沿闭路的积分一般可以用上述方法计算.例7设G为圆周z=2，计算积分I=1iòRezdz.2p1解法1Rez不解析，故上式不能直接使用柯西积分定理计算，但因为Rez=2(z+z)，在G上，zz=z2=4，即z=4，故zI=1iò1(z+zdz)=1æz 4+ö÷dzø2p24piòçèz=1iòzdz 1+pi1òzdz.4p因z在G及其内部解析，由柯西积分定理òzdz=0，又由（4.2.2），1

òzdz=2pi，故解法2z=2eqqI=+=2.q)()()dq:0®2,Rez=2cosq，故I=12pò(2cosq)(2eiq)¢dq=12pò(2cos2pi2pi 2=p2pò(cos2q+icossinq)dqqq)2=2.(ò

2pcosqq+i2pòcossin 2=p二、解析函数与调和函数的关系一个多元函数uxx(1 2,L,xn)若满足方程，(xxL,x)ÎW，（4.2.4）¶2u¶2+u+L¶2u=0则称uxx(1 2,L,xn¶x12¶x22¶xn21 2n)在W是一个调和函数.算子D=¶2¶2+¶x22+L¶2¶x12¶xn2称为调和算子.调和方程（4.2.3）可表示成D=0.解析函数与调和函数的关系：1、设fz()=uxy(,)+ivxy(,)，则当(,xy)ÎD时，D=0，D=0，即解析函数的实部和虚部都是调和函数.2、uxyvxy为任意2个调和函数，fz()=uxy(,)+ivxy(,)或fz()=vxy(,)+iuxy(,)不一定为调和函数。3、若D=0，D=0，且u和v满足C-R方程¶u=¶v，¶u=-¶v，¶x¶y¶y¶x则称vxy()是uxy()的共轭调和函数[10].例8常数k为何值时uxy()=y3+kxy2为调和函数？对这个调和函数，求解析函数fz()，使得uxy()=Refz()且f()=2i.解法1¶=2¶xkxy，¶2u=2ky，¶=3¶yy2+kx2，¶2u=6y，¶x2¶y2¶2u¶2u+¶y2=0Û2ky+6y=0Ûk=-3.¶x2故当k=-3时，uxy()=y3-3xy2是调和函数.由¶v=-¶u=-6xy,（4.2.5）¶x¶y关于y的积分得vxy()=ò(-6xydy)=-3xy2+j().（4.2.6）这里必须注意，对y求偏导数时把关