动点问题之有迹可循 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选 动点问题之有迹可循

摘要：本文主要探讨中考题型：动点最值--动点的运行轨迹是圆的题型的解答过程关键词：动点问题、解答方法探索《课标》指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向学生，引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生理性精神的培养。事物的外在表象是复杂的，但若能探求其本质，就能达到化繁为简的目的，就可以让学生灵活掌握思维方法，取得深度的学习效果。教师在解题教学中，应重视对问题本质的探究，培养学生的直观想象、抽象思维、逻辑推理等数学学科素养，培养学生的数学学习能力，让核心素养的培养真正落地课堂。下面以动点问题中与圆有关的最值问题为例，探讨如何引导学生深度思维，促进学生深度学习。在培养学生的学科核心素养的教育理论下，所谓核心，即中心，事物之间的主要关系。那么，培养学生的数学核心素养也就是培养学生也抓住问题的中心，分析清楚题设和结论事物之间主要关系的能力。一、建立模型1、点圆最值模型（点在圆外）（1）模型提出：

如图1，点P是⊙O外的一点，点P到圆心O的距离OP=d,⊙O的半径为r,则⊙O上的点与点P的最长距离为，最短距离为图1图2图3图4（2）模型要素

动点在定圆⊙O上，定点P在定圆⊙O外；

（3）模型建立

如图2，过定点P和定圆的圆心O，作直线OP，直线OP与⊙O的交于点A、B，最长的距离为线段PA的长，最短距离为线段PB的长。（4）模型原理如图3，C为⊙O上不与A、B重合的任意点，在△OCP中，PC<CO+OP=r+d=PA，2022年安徽省中小学教育教学论文评选所以，P与⊙O上一点的最长距离为PA=r+d=rd=PB，，所以，点P与⊙O上一点同理，如图4，在△OCP中PC>COOP的最短距离PBd-r2、点圆最值模型（点在圆内）（1）模型提出：如图5，若点P是⊙O内的一点，点P到圆心O的距离OP=d,⊙O的半径为r,则⊙O上的点与点P的最长距离为，最短距离为图5图6图7图8（2）模型要素动点在定圆⊙O上，定点P在定圆⊙O内；（3）模型建立如图6，作直线OP，直线OP与⊙O的交于点A、B，线段PA的长为所求的最长距离，线段PB的长为所求的最短距离。（4）模型原理如图7，C为⊙O上不与A、B重合的任意点，在△OCP中，PC<CO+OP=r+d=PA，所以，P与⊙O上一点的最长距离为PA=r+d同理，如图8，在△OCP中，PC>CO OP=r d=PB，点P与⊙O上一点的最短距离PB=r d以上两个模型的本质都是构造三角形，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。3、线圆最值模型（1）模型提出：如图9，定直线l与元⊙O相离，圆心O到直线l的距离OM=d，⊙O半径为r,则⊙O上的点与直线l的最长距离为，最短距离为图9图10图11图122022年安徽省中小学教育教学论文评选（2）模型要素动点在定圆⊙O上，定直线l在定圆⊙O外；（3）模型建立如图10，过O点作直线l的垂线OM，垂线OM与⊙O的交于A、B两点，线段BM的长为所求的最长距离，线段AM的长为所求的最短距离。（4）模型原理如图11，C为⊙O上不与A、B重合的任意点，过C点作直线l的垂线段CH，因为，垂线段最短，所以，CH<CO+OM=BO+OM=BM,⊙O上一点到定直线l的最大距离为BM=d+r同理，如图12， AM+OA=OM<CO+CH∠AM<CH,⊙O上一点到定直线l的最短距离为BM=d-r二、模型应用1、模型直接应用（1）点圆最值模型直接应用如图13，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，以D为圆心，BD长为半径做⊙D，E是⊙D上一点，若AB=8，BC=6，则线段AE长的最小值为分析：图13图14图15第一步，抽象出点圆模型，确定模型的要素：☉D就是定圆，A是圆外的定点；第二步，应用模型，确定最值位置：如图14、15，连接A、D两点，线段AD与☉D的交点E，就是A、E两点之间的距离取得最小值的位置，第三步，根据已知条件，计算最值：根据条件构造直角三角形中，使用勾股定理：如图15，在RtΔABD中，AD=AB2+BD2=82+32=73，所以，AE=ADDE=733（2）线圆最值模型直接应用如图16，在▱ABCD中，BC=8，E是边AB上一点，且AE=2，P是以A为圆心，AE长2022年安徽省中小学教育教学论文评选为半径的⊙A上一点，连接BP、CP，若▱ABCD的面积为36，则△BPC的面积最小值为 图16 图17

分析：

第一步，转化，将三角形的面积最值转化为线段长的最值：如图16，在这个问题中，从三角形面积的计算公式1底高出发，△BPC的面积可以选BC为底，BC为定值，2则BC边上的高达到最小值时，△BPC的面积就达到最小，因此，本题的关键是求出BC边上的高的最小值，即P点到BC距离的最小值，

第二步，抽象出线圆模型，确定模型的要素：☉A就是定圆，BC是圆外定直线 第三步，应用模型，确定最值位置：如图17，根据模型就需要过A点向BC做垂线AH，垂线AH与☉A的交点P，就是P点到线段BC的距离取得最小值的位置，第四步，根据已知条件，计算最值：在▱ABCD中，AH=S=36=9，所以，PHBC82=AHAP=92=5，S=1×8 5×=1022PBC(min)222、模型高阶应用在点圆模型和线圆模型中，都有一个基本的要素是定圆，点圆模型中，确定最值的位置，需要作过定圆圆心和定点的直线；线圆模型中，确定最值的位置，需要作过定圆圆心作定直线的垂线。这个定圆（或定圆的圆心）就是这类问题的关键点。前两例中，这个定圆（或定圆的圆心）是明显存在的，如果定圆（或定圆的圆心）是隐藏的，那么，解决问题的关键就是根据线索，寻找出隐藏的定圆（或定圆的圆心）。（1）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索一：90°角 例3、如图18，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形所在平面作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为图18图19图202022年安徽省中小学教育教学论文评选分析：

第一步，此题中并未出现明显的定圆，因此，我们要进行逻辑推理，将隐藏的定圆抽象出来：因直径所所对的圆周角为90°，而∠BEC始终等于90°，所以，合情推理后，如图19，E点在以BC为直径的圆上，且BC的中点，即为圆心O；

第二步，抽象为点圆模型：如图19，☉O为定圆，F为圆外的定点，

第三步，应用模型：连接OF，OF与⊙D交于点E，线段EF的长即为所求的最小值，FO第四步，根据已知条件，计算最值：如图19，在RtΔFCO中，=CF2+OC2=32+42=5，所以，EF=OFOE=53=2.同样的思路，如图20，也可以求出EF的最大值为8。（2）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索二：定弦对定角 例4、如图21，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED=45°，点P是AB上一点，AP=1，则线段PE的最大值是分析：图21图22图23图24第一步，同样此题中也并未出现明显的定圆，因此，我们也要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，且是同弧所对圆心角的一半，在此题变化过程中，线段AB所对的∠AEB=1∠A0B=45°（点O为正方形2ABCD的中心），所以，合情推理后，可以直观想象到，如图22，E点在以O为圆心，OA为半径的圆上，

第二步，抽象为点圆模型：如图23，☉O为定圆，点P为定圆内一点

第三步，应用模型：如图23，连接OP并延长，与⊙O交于点E，线段EP的长即为所求的最值PO第四步，根据已知条件，计算最值：如图24，作OE∠AB，在RtΔPHO中，=PH2+OH2=12+22=5，所以，EP=OP+OE=5+22.（3）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索三：四点共圆例5、如图25，在边长为23的菱形ABCD中，C60，E、F分别是AB、AD上2022年安徽省中小学教育教学论文评选的动点，且AE=DF，DE与BF交于点P，连接AP。当点E从点A运动到B时，AP的最小值为图25图26图27图28分析：第一步，同样此题中也并未出现明显的定圆，因此，我们也要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上（这个四点共圆的判定定理，很直观、很好用，但在现行的沪科版教材中，已被删除，建议可以补上，以方便学生在答题中使用），根据已知条件，如图26，连接BD，易证，ΔABD和ΔCBD是等边三角形，在ΔDEA和ΔBFD中 ∠BPE是ΔBDF的外角AE=DF（已知） ∠∠BPF=∠DBP+∠BDP∠DCE=∠BDF=60° =∠ADE+∠BDPDC=BD =∠BDC=60°∠ΔDEC ΔBFD（SAS） ∠∠BPD=120°∠∠ADE=∠DBF ∠∠BCD+∠DPB=180°因在变化的过程中，BCDDPB180，所以，B、C、D、P四点在同一个圆上。第二步，抽象为点圆模型：如图27，又因不在同一条直线上的三点B、C、D已经确定一个圆，所以，此圆为定圆，点A为圆外一点。第三步，应用模型：如图28，连接AC，由菱形和圆的轴对称性可知，定圆的圆心在线段AC上，所以，当C、P、A三点共线时，PA的长就是所求的最值。第四步，根据已知条件，计算最值：如图28，由菱形的性质，易知，①ΔABC是顶角为120°的等腰三角形，所以，AC= 3AB=6；②ΔCBP是有一个内角为30°3的直角三角形，所以，CP= BC=3 3，所以，最小值AP=AC CP=6 3 32（4）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索四：到定点的距离等于定值例6、如图29，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB上的一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C,则A'C长的最小值2022年安徽省中小学教育教学论文评选为图29图30图31图32 分析：

第一步，此题中也并未出现明显的圆，因此，我们要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因到定点的距离等于到定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上。此题在变化的过程中，因折叠，MA´=MA,所以，可以合情推理，直观想象出：点A´在以M为圆心，MA为半径的半圆上，如图30

第二步，抽象为点圆模型：如图30，☉M是定圆，点C是☉M外的一点

第三步，应用模型：如图31、32，连接CM,CM与☉M交于点A´，此时线段A´C的长度即为所求。 第四步，根据已知条件，计算最值：如图32，可以利用特殊角度值，构造直角三角形来求出A´C的长度：过M点作MH垂直与CD的延长线，垂足为点H，在Rt△MHD中，MD=2，∠MDH=60°，所以，MH=3，DH=1，在Rt△MHC中MH=3，CH=5，所以，CM=()+52=27，所以，最小值A'C=27-2。三、动点问题解法四步曲数学学科核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析。这些数学核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。对动点问题解法的探讨，就很好的体现了，数学核心素养的六个方面的互相融合。 中考中的动点最值问题解答分四步：

1、第一步，找准动点的运动轨迹； 这一步是最为关键的一步，需要在数据分析、逻辑推理的基础之上，和运用直观想象，进行数学抽象，将动点的运动轨迹抽象出来。本文重点探讨的是动点的运动轨迹是圆的情况。那么，首先，要明确满足哪些条件，就可以推理出动点的运动轨迹。在初中阶段，动点是在定圆上运动的线索有：①定义：2022年安徽省中小学教育教学论文评选到定点的距离等于到定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，如例6。②定角对定