二面角的求法 论文

二面角的求法摘要：高中阶段有关二面角求法题型有两种：有棱二面角、无棱二面角，求解二面角一般有两种思路：通过定位出二面角平面角来求解二面角，不须定位平面角利用二面角的等价性质来求解.本文依据这两种解题思路根据不同的解题类型总结出了求解二面角的13种方法.关键词：二面角；平面角；棱；定位；方法

1.引言

二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一，在历年高考中几乎都要涉及.尤其是在数学新课改的大环境下，要求对二面角求法的掌握变得更加灵活.二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面位置关系的一个汇集点.研究二面角的求法，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机.在求解二面角的问题中，通常首先要定位出二面角的平面角，而这也是学生在解题中感到最为陌生和棘手的问题.特别是若二面角的楞隐而不露其解题的难度又会增大.本文从二面角的概念定义入手，通过分类求解二面角的题型类别，探寻二面角的解题思路，并对二面角求解方法加以总结归类.1.1二面角的相关概念新教材[1]在二面角中给出的定义如下：ABlB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角图1O

O的平面角的概念：A二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO,BOl，则AOB为二面角l的平面角. 2.二面角的求解方法

对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：

一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角

二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角

三、“算”：计算出该平面角

由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现1棱”再进一步定位二面角的平面角.

2.1.1直接法对于图形中已有二面角的平面角，只要加以证明PE认定，然后可直接计算求解.例1[2]如图2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分线DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.解：由PE=EC,PB=BC知PCBE,且PCDE,可ADC知PC面BDE.因BD⊆面BDE可得BDPC.由PA面ABC,BD面ABC知BDPA，且BDPC知BD面PAC.又因DE,DC⊆面PAC,故知BDDE,BDDC.于是可知∠CDE是二面角E-BD-C图2B的平面角.由PA=AB=1得PB=BC= 2.因PA面ABC,BCAB,有BCPB,可得PC=2.在RT∆PAC中，∠ACP=30,可得在RT∆CDE中，∠CDE=60.所以二面角E-BD-C的大小为60 2.1.2定义法

根据二面角平面角的定义，其解题步骤一般既是：定棱，找点，连线，解答。即：在二面角棱上选择恰当的点，过此点作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性质选择公共棱的中点连接得到二面角；在两个平面为共底且对应全等的三角形，可以选择公共垂足连线得到二面角的平面角等。例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面P角P-BC-A的大小. 解：作BC中点D，连接PD,AD.因

PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.ACP-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知DAD=PD=2,在RT∆PAD中，PA21图3BcosPDAPD2AD22PDAD.2所以二面角P-BC-A的大小为6022.1.3三垂线（逆）定理法根据三垂线定理及其逆定理，如图4所图4P示在半平面内找一点P，作PO面于O,并从垂足O作棱的垂线OA交棱于A点，l 连接PA,则∠PAO就是二面角l的平面角.AOl例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为面A1B1C1D1中心，求二面角O1AC1D1的大小.解：在正方体ABCDA1B1C1D1中B1D1A1C1,且A1C1B1D1,B1D1C1面A1B1C1D1,故B1D1AC1，B1D1A1C1A1D1O1又A1C1,AC1面AC1A1,可知B1B1D1AC1A1ADMC过D1作D1MAC1于M，连接O1M则由三垂线（逆）定理可知D1MO1为二面角BO1AC1D1的平面角.不妨令AA12，于是，有图52,O1M6，D1M26,OO133可得cosDMO1O1M1所以二面角O1AC1D11D1M2的大小为60 3.1.4垂面法

如果空间中有与二面角的棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角. 上述结论可进一步引申：

推论1：空间中存在分别与二面角的两个半平面垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.3例4如图6，二面角l内一点P到两个半平面、的距离分别为、12.到棱的距离为l10,求二面角l的大小.B解：作PA于A,PB于B,由PA、PPB确定的平面交于C点,记llC.C由PA,PB而l，易知l图6APAlPBl且PA,PB可得l.则ACB是二面角l的平面角.又PA,1PB2,PC10利用和角的余弦公式可求得cosACBcos(ACPPCB)22从而，知二面角l的大小为45.评注：以上四种方法是求解二面角的常用方法，也是在解决有棱二面角的通用方法.对于方法4，下再给出解决无棱二面角的一个例子.例5如图7,在正三棱柱ABCA1B1C1中,截面A1EC侧面AC1,若AA1A1B1,A求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的大小.C解:设A1CAC1G.因为面A1C1G与面BGAC1重合,由题意面A1C1G面A1EC，而1A为面A1EC与面A1B1C1相交于棱上一点且A1面A1C1G，所以面A1C1G为所求二面角的一垂图7EC1面，GA1C1为所求二面角的平面角.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1A1B1,可知1AB1GA1C145故所求二面角的大小为45.2.2.1法向量法4若二面角l两个半平面,的法向量分别为 n1,n2且知道二面角l为锐角（钝角），则cos

n1

n2(cos

n1

n2),其中为二面角l的平面角.

n1

n2

n1

n2例6如图15,在矩形ABCD外存在一点P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.解:由题意建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，设面PAC的法向量为

n1(x1,y1,z1),arccoszCDy面PCD的法向量

n2(x2,y2,z2)P则有由

n1PBn1PC0

n1)1,0,1(0A及n2PDn2PC0n2(2,1,0)B0得x图15cos

n1

n2105105.

n1

n2注意到B-PC-D为钝角，故B-PC-D的大小为3.2.1向量法

在中结论1可以进一步引用向量的方法解决定理1设二面角l为，l于E，BFl于F，则，有BLA,Al,B,Bl;AEz EAFBcos

EA

FBA5A图19MylxFEB图18文[5]给出另一结论： 定理2如图19，空间任一条直线L,A,B是直线L上的两个点，M是空间任一点,MNL于N,则

NM

AM

AM

AB

AB2

AB 利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N坐标的判断.例6[5]如图20,已知正方形ABCD和矩形EzNACEF坐在平面相垂直，AB2,AF1,M是线段EF中点，求二面角A-DF-B的大小.解:如图建立空间直角坐标系MFBCxyz，则A(2,20,),B(,020,),DxCAyD(20,0,),F(2,2)1,.图20作AMDF于M,BNDF的延长线于N,则

MA与

NB所成的角的大小与二面角A-DF-B的大小相等.,23)2)

MA

DA

DM

DA DADF

DF2

DF(,023

NB

MADB

DN

DB DBDF

DF2

DF(2,2,33cos

MA

NB1

MA

NB2故二面角A-DF-B的大小为60.6 小结

评注：本文给出了二面角的相关求法以及一些例题，对于二面角的解题策略按照求作二面角的平面角和无需定位二面角的平面角两种思路来分别加以介绍.本文试图按照这两种思路分二面角的两种题型加以说明概括. 这13种方法动用了数学上的集中解题思想：转化思想、类比思想、建构图像思想、将维思想等，下对以上这些方法和思想进一步加以归类，以便于后来者研究和总结.参考文献:

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