人教版高中数学选修4-5课时教案

选修4_5不等式选讲

课题：第01课时不等式的基本性质

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远

者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中

息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方

怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒

子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形？”等,都属于不等关系的问题,需要借助

不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式

等）和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的

关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实

际问题出发,说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)

克糖,则糖水更甜了,为什么?

bbmbmb

分析：起初的糖水浓度为,加入m克糖后的糖水浓度为,只要证>即可。怎么

aamama

证呢?

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0

abab0

abab0

得出结论：要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b。(对称性)

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>ca>c。

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d．即a>b,c>da+c>b+d．

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc．

⑤、如果a>b>0,那么anbn(nN,且n>1)

⑥、如果a>b>0,那么nanb(nN,且n>1)。

三、典型例题：

例1、已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d．

cc

例2已知a>b>0,c<0,求证：

ab。

四、练习：

五、作业：

选修4_5不等式选讲

课题：第02课时含有绝对值的不等式的解法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上,

本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类：一类是解不等式,另一类是证明不等式。下面分

别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式）,关键在于去掉绝对值符号,化

成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.

请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0

在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义,不等式xa的解集是

{x|axa},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a,a）,如图

所示。

a图1-1a

如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义,不等式xa的解集是

{x|xa或xa}

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并

集。如图1-2所示。

–aa

图1-2

同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。

二、典型例题：

例1、解不等式3x1x2。

例2、解不等式3x12x。

方法1：分域讨论

★方法2：依题意,3x12x或3x1x2,（为什么可以这么解？）

例3、解不等式2x13x25。

例4、解不等式x2x15。

解本题可以按照例3的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到

1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所以x在2的右边,与2的距离大于等于2（＝（5

－1）2)；或者x在1的左边,与1的距离大于等于2。这就是说,x4或x1.

例5、不等式x1x3>a,对一切实数x都成立,求实数a的取值范围。

三、小结：

四、练习：解不等式

1、22x11.2、413x10

3、32xx4.4、x12x.

5、x22x416、x21x2.

7、xx248、x1x36.

9、xx1210、xx42.

五、作业：

选修4_5不等式选讲

课题：第03课时含有绝对值的不等式的证明

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于

绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab

aa

（3）abab（4）(b0)

bb

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？

aa

实际上,性质abab和(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；

bb

而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明abab对于任意实数都成

立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数,a和a哪个大？

显然aa,当且仅当a0时等号成立（即在a0时,等号成立。在a0时,等号不成立）。同

样,aa.当且仅当a0时,等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中,常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例1、证明（1）abab,（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.

如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果,有abbabb,就是,abba。

所以,abab。

例2、证明ababab。

例3、证明abacbc。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段ABACCB.当且仅当C在A,B之间

时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c＝0（即C为原点）,就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义,给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来

证明。

cc

例4、已知xa,yb,求证(xy)(ab)c.

22

证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

cc

xa,yb,

22

cc

∴xaybc（2）

22

由（1）,（2）得：(xy)(ab)c

aa

例5、已知x,y.求证：2x3ya。

46

aaaa

证明x,y,∴2x,3y,

4622

aa

由例1及上式,2x3y2x3ya。

22

注意：在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方

向相同的不等式。

三、小结：

四、练习：

cc

1、已知Aa,Bb.求证：(AB)(ab)c。

22

cc

2、已知xa,yb.求证：2x3y2a3bc。

46

五、作业：

链接：不等式的图形

借助图形的直观性来研究不等式的问题,是学习不等式的一个重要方法,特别是利用绝对值和绝

对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式,往往能使问题变得直观明了,帮助我们迅速而准

确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时,能否准确地把握不等式的图形,从而有效地解决问

题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。

1．解不等式x1x2x1。

题意即是在数轴上找出到1与2的距离之和不大于到点1的距离的所有流动点

123

x。

首先在数轴上找到点1,2,1（如图）。

123

xxx

31122

-10123

从图上判断,在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到与的距离和正好是

1212

1,而到的距离是2(x1)1x(1x2)。

3

现在让流动点x由点向左移动,这样它到点的距离变,而到点与的距离增大,显然,合乎

1312

要求的点只能是介于1与1之间的某一个点x。

311

2

由(1x)(2x)x(1),可得x.

11113

再让流动点x由点向右移动,虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加,但

2123

两相比较,到与的距离的和增加的要快。所以,要使这种点合乎要求,也只能流动到某一点x而

122

止。

2

由(x1)(x2)x(1),可得x4.从而不等式的解为x4.

22223

2．画出不等式xy1的图形,并指出其解的范围。

先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：

x0,y0,xy1.

其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成。

同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式xy1的图形是以原点O为中心,四个

等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。

探究：利用不等式的图形解不等式

1.x1x11;2．x2y1.

A组

1．解下列不等式：

1

（1）23x（2）13x47

2

1

（3）2x4x1（4）x22xx

2

x2

2．解不等式：（1）2x1x1（2）1

x1

3．解不等式：（1）x1x23（2）x2x130.

4．利用绝对值的几何意义,解决问题：要使不等式x4x3<a有解,a要满足什么条件？

sss

5．已知Aa,Bb,Cc.求证：

333

（1）(ABC)(abc)s；（2）ABC)(abc)s.

6．已知xa,ya.求证：xya.

x

7．已知xch,yc0.求证：h.

y

B组

abab

*****8．求证.

1ab1a1b

ab

*****9．已知a1,b1.求证：1.

1ab

1

10．若,为任意实数,c为正数,求证：2(1c)2(1)2.

c

1

c22

1c

（2222,而c22）

c2

选修4_5不等式选讲

课题：第03课时指数不等式的解法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

二、典型例题：

1

例1、解不等式2x22x3()3(x1)

2

解：原不等式可化为：2x22x323(x1)∵底数2>1

∴x22x33(x1)整理得：x2x60

解之,不等式的解集为{x|-3<x<2}

例2、解不等式3x1183x29。

解：原不等式可化为：332x293x180

2

即：(3x9)(33x2)0解之：3x9或3x

3

2

∴x>2或xlog

33

2

∴不等式的解集为{x|x>2或xlog}

33

例3、解不等式：ax22xax4,(a0且a1)

(当a>1时x(,1)(4,)当0<a<1时x(1,4))

1

例4、解不等式：()x234x(-1<x<3)

2

三、小结：

四、练习：

五、作业：

选修4_5不等式选讲

课题：第04课时对数不等式的解法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

二、典型例题：

例1、解不等式log(x1)2。

x3

x10x10

解：原不等式等价于x31或0x31解之得：4<x≤5

x1(x3)2x1(x3)2

∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}

例2、解关于x的不等式：log(43xx2)log(2x1)log2,(a0,a1)

aaa

解：原不等式可化为log(43xx2)log2(2x1)

aa

1

2x10x

21

当a>1时有43xx201x4x2

2

43xx22(2x1)3x2

（其实中间一个不等式可省）

1

2x10x

2

当0<a<1时有43xx201x42x4

43xx22(2x1)x3或x2

1

∴当a>1时不等式的解集为xx2；

2

当0<a<1时不等式的解集为x2x4。

例3、解关于x的不等式5logx1logx。

aa

解：原不等式等价于

1logx0

a5logx0

Ⅰ：5logx(1logx)2或Ⅱ：a

aalogx10

5logx0a

a

解Ⅰ：1logx1

a

解Ⅱ：logx1∴logx1

aa

当a>1时有0<x<a当0<a<1时有x>a

∴原不等式的解集为{x|0<x<a,a>1}或{x|x>a,0<a<1}

x4x

例4、解不等式xlogax。

a2

解：两边取以a为底的对数：

9

当0<a<1时原不等式化为：(logx)2logx2

a2a

1

∴(logx4)(2logx1)0logx4∴a4xa

aa2a

9

当a>1时原不等式化为：(logx)2logx2

a2a

∴(logx4)(2logx1)0

aa

1

∴logx4或logx∴xa4或0xa

aa2

∴原不等式的解集为{x|a4xa,0a1}或{x|xa4或0xa,a1}

三、小结：

四、练习：

解下列不等式

1．log(x23x4)log(2x10)(-2<x<1或4<x<7)

11

33

2．当0a1,求不等式：log(logx)0(a<x<1)

aa

3．a1,0b1,求证：alogb(2x1)1

1x

4．log0,(a0,a1)(-1<x<0)

a1x

5．a1时解关于x的不等式log[a2x2x(ax2x1)1]0

a

(a2,xlog2；1a2,xlog2；a2,x)

aa

22

五、作业：

选修4_5不等式选讲

课题：第05课时无理不等式的解法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

1、无理不等式的类型：

f(x)0

定义域

型

①、f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)

g(x)0

g(x)0

②、f(x)g(x)型f(x)0或

f(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)0

③、f(x)g(x)型g(x)0

f(x)[g(x)]2

二、典型例题：

例1、解不等式3x4x30

3x40

解：∵根式有意义∴必须有：x3

x30

又有∵原不等式可化为3x4x3

1

两边平方得：3x4x3解之：x

2

1

∴{x|x3}{x|x}{x|x3}

2

例2、解不等式x23x243x

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：

43x0

x23x20

Ⅰ：x23x20Ⅱ：

43x0

x23x2(43x)2

4

x

3644

解Ⅰ：1x2x解Ⅱ：x2

63533

x

52

6

∴原不等式的解集为{x|x2}

5

例3、解不等式2x26x4x2

2x26x40

解：原不等式等价于x20

2x26x4(x2)2

x2或x1

x2{x|2x10或0x1}

0x10

特别提醒注意：取等号的情况

例4、解不等式2x1x11

1

2x10x1

解：要使不等式有意义必须：2x

x102

x1

原不等式可变形为2x11x1因为两边均为非负

∴(2x11)2(x1)2即22x1(x1)

1

∵x+1≥0∴不等式的解为2x+1≥0即x

2

例5、解不等式x21ax1(a0)

例6、解不等式32xx11

解：定义域x-1≥0x≥1

原不等式可化为：x113x2

两边立方并整理得：(x2)x14(x1)

在此条件下两边再平方,整理得：(x1)(x2)(x10)0

解之并联系定义域得原不等式的解为{x|1x2或x10}

三、小结：

四、练习：解下列不等式

1．2x33x55x6(x2)

2．3x3x33xx3(x3)

513

3．41x2x(x1)s

2

4．(x1)x2x20(x2或x1)

15

5．2xx11(1x)

2

五、作业：

选修4_5不等式选讲

课题：第06课时含有参数不等式的解法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

二、典型例题：

例1、解关于x的不等式logxloga

ax

1(logx1)(logx1)

解：原不等式等价于logx即：aa0

alogxlogx

aa

∴logx1或0logx1

aa

1

若a>10x或1xa,

a

1

若0<a<1x或ax1。

a

例2、解关于x的不等式23x2xm(2x2x)

解：原不等式可化为24x(1m)2xm0

即：(22x1)(22xm)0s

1

当m>1时122xm∴0xlogm

22

当m=1时(22x1)20∴xφ

1

当0<m<1时m22x1∴logmx0

22

当m≤0时x<0

例3、解关于x的不等式x24mx4m2m3

解：原不等式等价于|x2m|m3

当m30即m3时x2mm3或x2m(m3)

∴x3m3或xm3

当m30即m3时|x6|0∴x6

当m30即m3时xR。

例4、解关于x的不等式(cot)x23x21,(0)

2

解：当cot1即(0,)时x23x20∴x>2或x<1

4

当cot1即=时xφ

4

当cot(0,1)即(,)时x23x20∴1<x<2

42

例5、满足3xx1的x的集合为A；满足x2(a1)xa0的x的集合为B。

1、若AB求a的取值范围

2、若AB求a的取值范围

3、若A∩B为仅含一个元素的集合,求a的值。

解：A=[1,2]B={x|(x-a)(x-1)≤0}

当a≤1时B=[a,1]当a>1时B=[1,a]

当a>2时AB

当1≤a≤2时AB

当a≤1时A∩B仅含一个元素

11

例6、方程asin2xcosxa0,(0a1,0x)有相异两实根,求a的取值范围。

22

解：原不等式可化为2acos2xcosx10,令：tcosx则t[1,1]

设f(t)2at2t1又∵a>0

18a01

a

f(1)2a08

a0

f(1)2a20a1

a1

111

11a或a

4a44

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1

1．log2x(a)logx10

1a1

22

111

当a1或1a0时()ax()a

22,a1时x

111

当0a1或a1时()aax()a

22

2．A{x|3xx1}B{x||x1|a,a0}若AB

求a的取值范围(a≥1)

a

3．a23x2xa,(a0)(x0)

2

4．xlogax1a2x,(a0)

(当0a1时a2xa2,当a1时xa2或0xa2)

1

5．当a在什么范围内方程：x2(loga4)xlog2a10有两个

242

1

不同的负根(0,)(4,42)

4

6．若方程x2(m2)x5m0的两根都对于2,求实数m的范围。5,4

选修4_5不等式选讲

课题：第07课时不等式的证明方法之一：比较法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、典型例题：

例1、设ab,求证：a23b22b(ab)。

例2、若实数x1,求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x23x41x2x42x2x22x3

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

13

=2(x1)2[(x)2].

24

13

x1,从而(x1)20,且(x)20,

24

13

∴2(x1)2[(x)2]0,

24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变换？

例3、已知a,bR,求证aabbabba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称,不妨设ab0.

ab0

,从而原不等式得证。

aabbabbaabbb(aabbab)0

2）商值比较法：设ab0,

aaabba

1,ab0,()ab1.故原不等式得证。

babbab

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走,另一半时间

以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走。如果mn,问甲、乙两人谁

先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t,t。

12

要回答题目中的问题,只要比较t,t的大小就可以了。

12

解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t,t,根

12

ttSS2SS(mn)

据题意有1m1nS,t,可得t,t,

222m2n21mn22mn

2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2

从而tt,

12mn2mn2(mn)mn2(mn)mn

其中S,m,n都是正数,且mn。于是tt0,即tt。

1212

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn,甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设f(x)2x21,pq0,pq1.求证；对任意实数a,b,恒有

pf(a)qf(b)f(paqb).（1）

证明考虑（1）式两边的差。

pf(a)qf(b)f(paqb).

＝p(2a21)q(2b21)[2(paqb)21]

＝2p(1p)a22q(1q)b24pqabpq1.（2）

pq1,pq0,

(2)2pqa22pqb24pqab

2pq(ab)20.

即（1）成立。

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x2与x2x1；（2）x2x1与(x1)2.

2a

2．已知a1.求证：（1）a22a1;（2）1.

1a2

abc

3．若abc0,求证aabbcc(abc)3.

4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)

=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)

2

b2b2

=-(a-b)23a0(当且仅当d＝b时取等号)

33

∴a4-b44a3(a-b)。

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

6．已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

7．如果x>0,比较x12与x12的大小．

8．已知a≠0,比较a22a1a22a1与a2a1a2a1的大小．

9．设x1,比较x3与x2-x+1的大小．

说明：“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”

的常用方法。

阅读材料：琴生不等式

例5中的不等式pf(a)qf(b)f(paqb)有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸函

数有着密切的关系,也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数f(x)的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数x,x,都有

12

xxf(x)f(x)

f1212.（1）

2