数值分析讲稿

数值分析讲稿第1页，共53页，2023年，2月20日，星期六求解的思想：

这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式,其形式为

如根据上面的条件来确定2n+2个系数显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.

先求插值基函数及，共有个2n+2，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件

第2页，共53页，2023年，2月20日，星期六

其中,,于是

可写成用插值基函数表示的形式

可知其满足

下面的问题就是如何求基函数及.第3页，共53页，2023年，2月20日，星期六确定基函数：可利用拉格朗日插值基函数

令

由Hermite插值条件有整理得

第4页，共53页，2023年，2月20日，星期六由于求导，得于是

第5页，共53页，2023年，2月20日，星期六同理，由可令于是,

结合,可得,从而

第6页，共53页，2023年，2月20日，星期六Hermite插值多项式是唯一的反证法.假设及均满足Hermite插值条件，令则有

于是,每个节点均为的二重根，但是不高于2n+1次的多项式，故,唯一性得证.第7页，共53页，2023年，2月20日，星期六Hermite插值多项式余项：仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若在内的2n+2阶导数存在，则其插值余项其中且与有关.

三次Hermite插值：考虑n=1的情形.此时可取节点及,插值多项式满足条件

第8页，共53页，2023年，2月20日，星期六

设相应的插值基函数为

它们满足条件根据Hermite插值的一般基函数表达式，可得到

第9页，共53页，2023年，2月20日，星期六第10页，共53页，2023年，2月20日，星期六于是三次Hermite插值多项式是余项为第11页，共53页，2023年，2月20日，星期六例:求满足及的插值多项式及其余项表达式。解:由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点及故其形式为其中A为待定常数，可由条件确定，通过计算可得

第12页，共53页，2023年，2月20日，星期六为了求出余项的表达式，可设其中为待定函数.构造显然,且，故

在内有5个零点(重根算两个),反复应用罗尔定理，得在内至少有一个零点,故第13页，共53页，2023年，2月20日，星期六于是余项表达式为式中位于和所界定的范围内.

第14页，共53页，2023年，2月20日，星期六Hermite插值的一般形式

设已知在节点上的函数值,及某些节点上的导数值,要求一个至多n+m+1次的插值多项式,满足条件与前面讨论类似，可证明是存在唯一的，其余项为

第15页，共53页，2023年，2月20日，星期六例：按下表求Hermite插值多项式解：解法一：由于插值条件有5个，故所求插值

多项式的次数不超过4.构造插值基函数及，使它们满足：（1）及都是4次多项式；

01201101第16页，共53页，2023年，2月20日，星期六（2）因为,故.又因为

,因而可设代入,可得，所以第17页，共53页，2023年，2月20日，星期六类似可求出因此所求Hermite插值多项式为第18页，共53页，2023年，2月20日，星期六解法二：因为0为二阶零点，故可直接设插值多项式为

代入插值条件,得方程组其解为所求插值多项式为第19页，共53页，2023年，2月20日，星期六§5分段低次插值

5-1多项式插值的问题

问题的提出

龙格(Runge)

函数,,取插值节点

为

则基于此构造的拉格朗日插值多项式为

第20页，共53页，2023年，2月20日，星期六满足如下性质:存在常数,使得:

当时,,否则发散.第21页，共53页，2023年，2月20日，星期六5-2分段线性插值分段线性插值:通过插值点用折线段连接起来逼近.设已知节点上的函数值,记,求一折线函数满足：1)，2),3)在每个小区间上是线性函数，则称为分段线性插值函数.第22页，共53页，2023年，2月20日，星期六由定义可知在区间上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间上为其中基函数满足条件

其形式是第23页，共53页，2023年，2月20日，星期六

分段线性插值基函数只在附近不为零,在其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质。

第24页，共53页，2023年，2月20日，星期六例：已知函数,在上取等距节点

.求分段插值函数及近似

值.解：分段线性插值基函数为：

0123451.000000.500000.200000.100000.058820.03846第25页，共53页，2023年，2月20日，星期六分段线性插值函数为：

精确值为.

第26页，共53页，2023年，2月20日，星期六分段线性插值的误差估计：若在上二阶连续可微，则分段线性插值函数的余项有以下估计

其中

.证：因在上，是

的线性插值，有又第27页，共53页，2023年，2月20日，星期六故所以，对任意，都有

分段线性插值简便易行,节点加密误差变小,且插值函数只依赖于本段的节点值,计算误差稳定.但在节点处插值函数不可微,光滑度不够.第28页，共53页，2023年，2月20日，星期六5-3分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数,满足:

代表区间上一阶导数连续的函数集合),2.3.在每个小区间上是三次多项式.

第29页，共53页，2023年，2月20日，星期六由两点三次Hermite插值多项式可知,在区间上

的表达式为若在整个区间上定义一组分段三次插值基函数及,则可表示为第30页，共53页，2023年，2月20日，星期六其中分别表示为第31页，共53页，2023年，2月20日，星期六同样可导出分段三次Hermite插值的误差估计为：

其中,

.分段三次Hermite插值函数是插值区间上的光滑函数，它与函数在节点处密合程度较好。

第32页，共53页，2023年，2月20日，星期六§6三次样条插值问题的提出:分段低次插值函数虽都有一致收敛性，但光滑性较差.早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上,在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.

它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点，即样点，上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到“数学样条”这一概念.第33页，共53页，2023年，2月20日，星期六三次样条函数:定义:是给定节点，若(1);(2)在每个小区间上是三次多项式，则称是节点上的三次样条函数.

若在节点上给定函数值

并成立

则称为三次样条插值函数.第34页，共53页，2023年，2月20日，星期六在区间上为三次多项式,故要确定4个待定系数,共有n个小区间,故应确定4n个参数.

由知,在节点处应满足连续性条件:共有3n-3个条件，再加上满足插值条件

共有4n-2个条件,故还需要2个条件才能确定.第35页，共53页，2023年，2月20日，星期六通常可在区间端点上各加一个条件(称为边界条件),可根据实际问题的要求给定.常见的有以下三种：

1°已知两端的一阶导数值，即2°已知两端的二阶导数值，即自然边界条件:

第36页，共53页，2023年，2月20日，星期六3°当是以为周期的周期函数时，则要求也如此,这时边界条件应满足

此时,这样确定的样条函数称为周期样条函数.第37页，共53页，2023年，2月20日，星期六三转角方程:构造满足:(1)(2)连续性条件+边界条件.

若假定则由分段三次埃尔米特插值公式可得其中是插值基函数。

第38页，共53页，2023年，2月20日，星期六现需确定，可利用及某一边界条件来确定。为了求出，我们考虑在上的表达式(这里:)第39页，共53页，2023年，2月20日，星期六于是,对求二次导数得从而,

同理，可得在区间上的表达式:第40页，共53页，2023年，2月20日，星期六及

由条件可得用除全式,并注意

上面方程可简化为:第41页，共53页，2023年，2月20日，星期六其中

此方程是关于未知数的n-1个方程，边界条件(1)：,则方程变为只含的n-1个方程，写成矩阵形式便是:第42页，共53页，2023年，2月20日，星期六第43页，共53页，2023年，2月20日，星期六边界条件(2):，则得两个方程

自然边界条件:

,则得两个方程:第44页，共53页，2023年，2月20日，星期六矩阵形式为:第45页，共53页，2023年，2月20日，星期六边界条件(3):周期性条件,则得到化简为其中

用矩阵形式表示为第46页，共53页，2023年，2月20日，星期六每个方程都联系三个在力学上解释为细梁在截面处的转角，故称为三转角方程.这些方程的系数矩阵对角元素均为2，非对角元素均为,故系数矩阵严格对角占优,从而可逆，方程组解唯一,求得各,从而得到.

第47页，共53页，2023年，2月20日，星期六三弯矩方程:三次样条插值函数有时用二阶导数值来表达