立足作图新要求 推进素养入课堂- 基于一道作图题的思考 论文

立足作图新要求推进素养入课堂——基于一道作图题的思考摘要:几何作图作为一种重要的数学思维与数学语言，是思考和表达现实世界的重要工具。基于2022年版课标对尺规作图学习要求的变化，通过对一道作图题的命题思路以及学生错误进行分析,提出了增加学习机会、积累作图经验，发挥学生主体、感知作图原理，运用激励评价、促进作图迁移等教学策略。关键词：初中数学；作图；核心素养引言：“图形的性质”是初中数学课程“图形与几何”领域三大主题之一。尺规作图作为该主题的重要内容，不仅是一种数学语言，具有直观表征的特性，同时也是一种数学思维，是发展学生推理观念与空间观念的重要载体。义务教育数学课程标准（2022年版）对尺规作图提出如下的学业要求，“经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想像出通过尺规作图的操作所形成的图形,理解尺规作图的基本原理与方法,发展空间观念和空间想像能力。”［1］这与2011年版课程标准中所给出的“在尺规作图中,了解作图道理,保留作图痕迹,不要求写出做法”［2］存在明显的变化以及能力要求的提升。因而，如何将这样的变化落实于数学课堂教学之中，提高学生的空间观念是一线教师需要思考与实践的重要问题。一、问题的提出

评价作为教学的起点也是终点，具有反馈与改进教学的功能。这要求教师要善于分析、发现并利用评价过程中学生所存在的问题，及时对教学进行调整与完善。随着4月新版课标的颁布，以核心素养为导向的课程目标在各地中考以及期末测评中均有一定程度的体现。例如，黄山市2022年八年级数学期末试卷中的作图题就体现出这样的变化。如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.(1)在图1中以线段AB为一边，作一个菱形ABCD,且点C、D也为格点。(画出一个即可)(2)在图2中使用无刻度的直尺,作出线段AB的垂直平分线，并保留必要的作图痕迹。 图1图2

通过对条件的分析可以发现，本题的第（2）小题并不是常规的尺规作图，而是要求在网格图中使用无刻度直尺进行绘图。基于题目所呈现的条件来看，需要学生基于尺规作图的本质，利用所提供的格点或交点去作线段或直线。这不仅需要学生具有作图的基本技能，还需基于对垂直平分线定义的理解，逆向思考分析目标图形的形成过程，这无形提高了作图的灵活度与难度。从问题设置来看，命题在考查学生知识技能的同时更偏重于对方法本源性以及数学知识的综合性与应用性，体现出核心素养发展的导向目标。二、学生错误与因素分析

通过对学生的答题过程分析发现，完成质量并不高。对学生的错误回答进行统计归类主要包括以下三种情况。第一类是直接用尺规作图的方法完成，其错误的问题主要在于学生审题不清,自行随意添加条件。可见，题意的理解与分析是影响作图正确性的因素之一。但进一步对其错误进行探究可知，此类学生更希望能够套用自己较为熟悉的尺规作图思路与步骤。反映出学生的作图水平还处于模仿型的表层状态，并未理解作图操作背后的数学原理。第二种错误如图3所示，主要表现为利用线段AB作为对角线，构造矩形ACBD,连接DC,认为直线DC为所求。通过访谈以及文本分析可知，此类同学大多是因为概念不清所造成的，错误认为垂直平分线是经过线段中点的直线。但通过作法易证可知四边形ACBD是矩形，而不是正方形，因此对角线仅有相等且互相平分的性质，即直线DE与线段AB的交点M是线段AB中点,但直线DE与线段AB并不互相垂直。可见，学生概念内涵的精准性一定程度上影响了学生的作图水平。 第三类错误如图4所示，即通过构造Rt∆EDB≅Rt∆ABC，认为直线DE为所求。此种错误最为隐蔽,表现为学生误认为点M是线段AB中点。而事实上此画法仅能证明直线DE垂直线段AB于M。由图4不难证明Rt∆ABC≅Rt∆EDB(SAS)且由∠A=∠BED,∠A+∠ABC=90o,可以推出∠BME=90o,即DE⊥AB。进一步基于两角相等可知5 3Rt∆ABC~Rt∆EBM,且相似比为3，BM=5BC=3

5×4=12

5≠5

。则直线DE仅满足垂2直于线段AB，但交点M并不是线段AB中点。由其错误体现出此类学生已具有了逆向思考的方向性，但由于知识理解的不深入导致推理的错误。 图3图4

本问题的关键在于垂直平分线的定义。根据垂直平分线的判定“到线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上”可知,要想画出一条线段的垂直平分线,只需找到两个到线段两端点距离相等的点即可。按照此思路,结合第一种错误解法,不难得出构造一个以线段AB为对角线的矩形，如图5,通过画出对角线的交点M，可知其为线段AB中点，也是线段AB垂直平分线上的一个点。而对于另一个垂直平分线上的点的构造可以借助正方形的性质,通过构造正方形ABCD,可知其对角线交点N到A和B点的距离相等，进而推出直线MN就是线段AB的垂直平分线。同时，此题还可以利用中位线的知识进行解决。如图6所示通过构造一个Rt∆ABC,并以线段BC为对角线构造矩形DCEB，得对角线交点N，并以类似方法对矩形FAGB及对角线交点M进行给出。由线段MN为三角形的中位线，且MN//AC,可以推得。图5图6三、基于核心素养的作图教学策略

基于以上学生的错误以及正确思路分析不难看出,对知识本质的理解是影响学生作图水平最为重要的因素。而几何作图不仅是一种重要的数学语言，也蕴含着抽象、推理等数学思维，是思考和表达现实世界的重要工具。可见，几何作图教学不仅是发展学生空间观念、几何直观的重要载体，也是影响学生推理能力、应用意识、创新意识等核心素养发展的重要路径。因此，在教学时教师需要基于课标要求的新变化以及学生所存在的作图问题探索助力学生发展的教学策略。 1.增加学习机会,积累作图经验

虽然几何作图具有发展学生多样核心素养的功能，但从教材设计来看所提供的学习机会并不多。这也一定程度影响了学生作图经验的积累以及对作图原理的反思与总结。因而，在初中几何教学中，教师可以基于课标与教材所要求掌握的作图知识，运用变式理论，结合几何核心概念对教材问题进行改编与变换，创设问题链式的作图学习机会。引导学生在题意分析时围绕所涉及的几何图形概念内涵，对影响作图的核心要素进行分析。同时，也可以有效将几何画板等信息技术有效融入作图教学，通过教师课堂演示、学生课后操作等形式，感知并积累多样、直观的作图形式、方法等经验。 2.发挥学生主体，感知作图原理

为了有效解决学生关注作图过程与步骤这一错误，教学时可以发挥学生的主体作用鼓励其自主探究与建构。不妨将传统作图过程步骤的机械讲解更改为学生自主作图、小组交流作图思路以及典型方法汇报等形式。这样既注重了学生的学习结果，又注重学生的过程性获得，正确处理“动手”与“动脑”之间的关系,这对学生来说,在一定程度上比记住一个知识点更有长远意义.［3］通过引导学生经历思考作图的过程，不仅掌握有助于学生对基本作图步骤的把握，同时结合小组交流中的一法多图、一图多法的比较，有助于其对背后原理方法的思考与总结，促使学生感知作图的深层内涵，并逐步形成总结反思的学习品质。 3.运用激励评价,促进作图迁移

由于绘制目标图形的作图方法具有多样性，因此几何作图不仅有助于学生发散思维的发展，也是增进其创新意识的重要平台。而处于初中阶段的学生不仅思维非常活跃,且具有一定的表现欲，常常在课堂上对于同一个问题会给出多种不同的解答。因而，在教学时教师应把握学生的心理特征，运用评价的激励性功能，适时给予鼓励，激发学生的思维。这些生成性资源不仅为教师的课堂提供新鲜的素材,