2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为A． B． C． D．【答案】D【详解】抛物线可化为，∴抛物线的焦点在轴上，∵，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选D．2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.【详解】解：令双曲线方程得右边为0，可得，可得，即：双曲线的渐近线方程为，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法.3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为方程表示椭圆所以，解得，所以实数的取值范围为故选：D4．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】特称命题否定为全称命题即可【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：C5．如果质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为A．6 B．18 C．54 D．81【答案】B【分析】对求导，再把代入,从而可得时的瞬时速度.【详解】质点按照规律运动，，根据导数的物理意义可得，在时的瞬时速度为，故选B.【点睛】本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（）A．2.1 B．1.1 C．2 D．0【答案】A【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】故选：A．7．已知，，则“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】，时，，取“=”的充要条件是.因为时，不一定有，故选：B.8．椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆方程为，根据条件列方程求出，即可求出椭圆方程，当点为椭圆短轴端点时角最大，利用余弦定理可求得该角.【详解】设椭圆方程为，则，解得，则椭圆方程为，当点为椭圆短轴端点时角最大，此时，因为，故选：D.9．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出抛物线的焦点的坐标，分析可知点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，利用当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时取取最小值可得结果.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示，由抛物线的定义知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，因此点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，其最小值为点到点的距离（当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时），最小值为．故选：A.10．已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得的周长为，，进而等面积法求解即可.【详解】解：根据题意得,，因为过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点所以，根据椭圆定义得的周长为，不妨设三角形的内切圆的半径为，所以根据等面积法得，代入数据得故选：C11．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，以为直径的圆交直线于点B（不同于原点O），设的面积为S．若，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得的关系式，即求.【详解】依题意，得，∴点A到直线的距离，在中，∵，，∴，∵，∴，其中，∴，∴，即，得，∴或（舍）∴离心率为.故选：D.12．下列结论正确的个数为（）①已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为②若动点满足，则点的轨迹为双曲线；③动点到直线的距离减去它到的距离之差是2，则点的轨迹是抛物线；④点为椭圆的右焦点，点为椭圆上任意一点，点，则的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆交于，两点，点为的中点，直线的斜率为（为坐标原点），则椭圆的离心率为．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】设，由重心坐标公式可得，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立关系，求出离心率判断⑤.【详解】设椭圆的动点坐标，的重心，则，所以，，代入椭圆方程可得，故①正确；动点满足，即动点到定点与的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误；动点到直线的距离减去它到的距离之差是2，即动点到直线的距离与P到的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，故③正确；由M在椭圆内，如图，当且仅当共线时，取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设，可得两式相减可得，由题意可得，且，，所以则故⑤正确.所以正确的结论有4个，故选：D二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“为真”是“为真”的充分不必要条件；②“为假”是“为假”的充分不必要条件；③“为真”是“为假”的必要不充分条件；④“为真”是“为假”的必要不充分条件．【答案】①③【分析】利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可【详解】对于①，当为真时，都为真，所以为真，当为真时，至少有一个为真，则不一定为真，所以“为真”是“为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当为假时，中至少有一个为假，则不一定为假，当为假时，都为假，则一定为假，所以“为假”是“为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当为真时，至少有一个为真，所以不一定为假，而当为假时，为真，所以一定为真，所以“为真”是“为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当为真时，为假，则为假，当为假时，中至少有一个为假，所以不一定为假，则不一定为真，所以“为真”是“为假”的充分不必要条件，所以④错误，故答案为：①③14．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程是______.【答案】【详解】设,将代入求得.双曲线方程是15．在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点F，圆与轴相交于、两点．若为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，∴∴化为∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是故答案为16．已知抛物线C：的焦点为F，过F且倾斜角为的直线与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则_____．【答案】2：1【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2＝，求出A、B的坐标，然后求其比值．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝2px1，y22＝2px2，|AB|＝x1+x2+p＝，即有x1+x2＝p，由直线l倾斜角为60°，则直线l的方程为：y﹣0＝（x﹣），联立抛物线方程，消去y并整理，12x2﹣20px+3p2＝0，则x1x2＝，可得x1＝p，x2＝p，则|AP|＝4p，∴2.故答案为:2:1.【点睛】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．三、解答题17．已知集合，．(1)当时，求；(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，再利用并集的运算求解；（2）根据“”是“”的充分不必要条件，得到，然后分，讨论求解.(1)解：当时，．因为，所以．(2)因为“”是“”的充分不必要条件，所以．当时，符合题意，此时有，解得：．当时，要使，只需解得：，综上：．所以实数的取值范围．18．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线．命题曲线与轴交于不同的两点，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．【答案】或.【分析】分别求出命题、为真命题时的范围，根据复合命题真值表可得命题，命题一真一假，分真假和假真求出的范围，再求并集．【详解】解：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真时：，曲线与轴交于不同的两点，则△或，若真得：或，由复合命题真值表得：若为假命题，为真命题，，命题一真一假若真假：；若假真：实数的取值范围为：或．19．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（1）若的周长为16，求；（2）若，求椭圆的离心率.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.（2）设，则且.由椭圆定义可得.在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆:的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）为椭圆上一点，与轴相交于，且，若与椭圆相交于另一点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知条件：，，由此能求出椭圆的方程；（Ⅱ）由，知为的中点，设，则，由此利用韦达定理、弦长公式能求出的面积.试题解析：解：（I)由已知条件：，∴∴椭圆的方程为.(Ⅱ)由，知为的中点，所以设，则,又满足椭圆的方程，代入求得.∴直线方程为.由得.设，，则.∴，∴.说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理以及弦长公式的结果.21．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且点在上.（1）求的标准方程；（2）过点的直线与双曲线交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，将代入可得，进而可得的标准方程；（2）设直线，将其与联立得到关于的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得，进而可得直线的方程.【详解】（1）因为与的渐近线相同，可设将代入得，所以的标准方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线，联立方程组，消去可得，由得且.设，则因为是线段的中点，所以，解得，满足题意.所以直线的方程为，即.22．已知F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.（1）求抛物线C的方程；（2）设A(2，1)，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线y=x-2交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）x2=4y；（2）证明见解析，定点(2，2).【分析】(1)由题意知圆心必在，由相切即可知，结合已知圆的面积即可求出p=2，进而可求出抛物线的方程.(2)设，写出直线AB的方程与y=x-2联立，求出的横坐标，即可知的横坐标，进而可求出的坐标