2022届江苏省无锡市江阴高级中学高三下学期期初考试数学试题（解析版）

2022届江苏省无锡市江阴高级中学高三下学期期初考试数学试题一、单选题1．若．设，则（）A．2i B．2 C． D．【答案】B【分析】根据求出，结合复数的乘法运算即可.【详解】由，得，所以.故选：B2．已知则等于（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，结合对应区间求即可.【详解】∵26>4，∴，又，∴.故选：C.3．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.4．曲线的方程是，则曲线的形状是（）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线【答案】B【分析】由方程的几何意义判断．【详解】方程表示动点到两定点的距离之和为4．而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆．故选：B．5．在下列命题中，假命题是（）A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB．若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥βD．若平面α∥平面β，任取直线lα，则必有l∥β【答案】C【分析】对于A：利用线面垂直的定义和面面垂直的判定定理进行证明；对于B：利用面面平行的定义进行证明；对于C：在正方体中取反例否定结论；对于D：利用线面平行的定义进行判断.【详解】对于A：根据线面垂直的定义，若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则这条直线垂直于平面β，又有面面垂直的判定定理，即可证明α⊥β.故A成立.对于B：若平面α内任一直线平行于平面β，则直线与平面β没有公共点，所以平面α与平面β没有公共点，所以α∥β.故B成立.对于C：如图示：在正方体中取面为平面α、面为平面β和直线为直线l，满足平面α⊥平面β，直线lα，但是l∥β.故C不成立.对于D：若平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，任取直线lα，则直线l与平面β没有公共点，所以l∥β.故D成立.故选：C6．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.【详解】解：连接，在正六边形中，，∴，∵正六边形的边长为2，∴，因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，所以当在上运动时，取得最大值，为，当移动到点时，取得最小值，为0．∴，，∴．故选：D.【点睛】7．已知且，则=（）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.【详解】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】依题意，当时，，，两式相减并化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，.，所以，所以的取值范围是.故选：A二、多选题9．若，，，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得.【详解】∵，，，∴，当且仅当时取等号，故A错误；由，当且仅当，即时取等号，故B正确；因为，当且仅当时取等号，故C错误；因为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BD.10．已知函数相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于点中心对称B．函数在区间上的值域为C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象D．若，则【答案】ACD【分析】化简函数解析式根据周期求出，利用正弦型函数的对称性判断A，根据正弦型函数在区间上的值域判断B，由图象的伸缩与平移变换判断C，由三角恒等变换后求值判断D.【详解】由题意，化简得，由题意知周期，得，所以，当时，，故A项正确；当时，，故，故B项错误；将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位，可得，故C项正确；由可得：，于是，故D项正确.故选：ACD11．已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（）A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2C．直线AB过定点 D．存在点N使为定值【答案】ACD【分析】设，由此据圆的切线性质表示出，则即可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，从而判断A的对错；利用表示出,由此可判断B的对错；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C对错；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D的对错.【详解】如图示：设，则，所以四边形PAMB周长为，当P点位于原点时，t取值最小2，故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为，故A正确；由可得：，则，而，则,故B错误；设，则方程为：，的方程为，而在切线，上，故，，故AB的直线方程为，当时，，即AB过定点，故C正确；由圆的切线性质可知,设AB过定点为D,则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则,则为定值，即D正确，故选：ACD.12．如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（）A．PQ的长度为定值B．三棱锥的外接球的半径长为定值C．三棱锥的体积为定值D．点M到AB的距离为定值【答案】ABD【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，进而判断A，B；根据，进而判断C；设交于R，则R为CQ的中点，取AB的中点N，然后证明四边形RBNM是平行四边形，进而证明，最后求得答案.【详解】如图，将图形还原为长方体，因为，所以（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即，易知，则.A正确；对B，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B正确；对C，，不为定值.C错误；对D，设交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因为M为PQ的中点，所以，而，故，所以四边形RBNM是平行四边形，则，因为，则.因为AB⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，则，所以点M到AB的距离为1.D正确.故选：ABD.三、填空题13．曲线在点处的切线方程为______.【答案】【分析】直接根据函数的导数的几何意义，求出函数在点处的切线方程的斜率为，进而求出切线方程【详解】对求导可得：则曲线在点处的切线方程的斜率为：又则切线方程为：故答案为：14．展开式中的系数为___________.【答案】60【分析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为60.故答案为：60.15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．【答案】【分析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.【详解】由题设，，又在R上的单调递增函数，∴恒成立，令，则，∴当时，则递减；当时，则递增.∴，故.故答案为：.四、双空题16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______.【答案】；

.【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；由，，代入中，即可取出最小值.【详解】设点，，.抛物线的焦点为点，由题意知，，，.故答案为：；.五、解答题17．已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式．（2）数列可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．【详解】（1）由题意得，，故，所以的通项公式为．（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得，所以．【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题．18．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为(1)求角B的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量夹角的坐标运算得到再由公式化简得到从而得到结果；（2）由三角形内角关系得到，根据角的范围求值域即可.【详解】(1)即解得（舍）(2)由（1）可知，即19．某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．(1)估计实验园的“大果”率；(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；(3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)6.【分析】（1）根据频率直方图计算果径达到36mm及以上组的频率和，即为所求的“大果”率（2）由分层抽样可得：抽取10个大果有3个，则“大果”个数可能取值为，并求对应概率，写出分布列，进而求期望.（3）由，应用不等式法求最大时的值.【详解】(1)由实验园的频率分布直方图得：，所以估计实验园的“大果”率为(2)由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个，从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，则的可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123所以.(3)由题设知：，而，，∴要使最大，则且，∴，故.20．如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.(1)求证：平面EAC；(2)求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，可得出，延长与交于点，可证明出，由中位线的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；（2）以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)证明：连接，与交于点，因为四边形是正方形，所以连接，因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，平面，则，因为，所以平面因为平面，所以延长与交于点，平面，则，为的中点，则为的中点，则，又，，所以，，，所以，所以连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，所以，因为，所以平面.(2)解：以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则，得，取，得．设平面的法向量为，则得，取，得．设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21．已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．【答案】(1)；(2)见解析.【分析】(1)由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；(2)设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可．【详解】(1)虚轴长为4，，即，直线为双曲线的一条渐近线，，，故双曲线的标准方程为．(2)由题意知，，，由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，，，联立，得，，，，直线的斜率，直线的斜率，，为定值．22．已知函数.(1)若关于的不等式恒成立，求实数的值；(2)设函数，在（1）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）分析可知，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值；（2）求得，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得存在唯一的极小值点，再分析出，结合二次函数的单调性可证得结论成立.【