【例题讲解】二项式的幂（杨辉三角）例7_第1页
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二项式的幂（杨辉三角）杨辉(南宋）杨辉三角杨辉三角简介杨辉三角一六一五二十十五六一一五十十五一一四六四一一三三一一二一一一一杨辉三角简介杨辉三角的基本特征：（1）它的第一项与最后一项（左右两端）都是数字1．（2）位于中间的数为其上一行中与其相邻两个数之和．（3）三角形成左右对称排列．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数等．例（1）（a＋b）n展开式中项数共有______项．（2）写出（a＋b）5的展开式：（a＋b）5＝________．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24＋10×23﹣10×22＋5×2﹣1．1112113113……（a＋b）1……（a＋b）2……（a＋b）3………………例（1）（a＋b）n展开式中项数共有______项．解答（1）观察图形发现，杨辉三角形中每行的数的个数与对应的二项式展开后的项数相同，可知（a＋b）n展开式中项数为n＋1项．故答案为:n＋1；n＋11112113113……（a＋b）1……（a＋b）2……（a＋b）3………………＝a2＋2ab＋b2＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a＋b2项3项4项分析比对应的二项式的幂指数多1，例（2）写出（a＋b）5的展开式：（a＋b）5＝

．解答故答案为：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5．1112113113……（a＋b）1……（a＋b）2……（a＋b）3＝a2＋2ab＋b2＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2＝a＋b＝1×a＋1×b＝1×a2＋2ab＋1×b2＝1×a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3

＋1×b44641151010151……（a＋b）4……（a＋b）5＝1×a3＋3a2b＋3ab2＋1×b3＝1×a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4

＋1×b5a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5（2）根据图形规律，（a＋b）5展开式中项数为6项，的6个数，分别为1，5，10，10，5，1，各项的次数均为5，且按字母a降幂排列，可知（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，且展开式中的系数为三角形中的第6行例（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24＋10×23﹣10×22＋5×2﹣1．解答（3）观察代数式，发现有6项，最高次数是5，系数分别为1，5，10，10，5，1，原式＝25+5×24×（﹣1）＋10×23×（﹣1）2＋10×22×（﹣1）3＋5×2×（﹣1）4＋（﹣1）5＝（2﹣1）5按照2的次数由大到小排列的，＝1．1112113113……（a＋b）1……（a＋b）2……（a＋b）34641151010

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