拉格朗日中值定理与高考数学

拉格朗中定理与考学[1]

拉格朗日中值定理：若函数

f

满足如下条件：（i）

f

在闭区间

[,]

上连续；（）

f

在开区间

(a)

内可导；则在

一点

，使得

f

'

fb

、证明

ff或成（其中）[2]

例2007年高考全卷I0）设函数

f

（Ⅰ）证明：

f

的导数

f'

；（Ⅱ）证明：若对所有

x

，都有

f

，则

a

的取值范围是

(

（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当

x

时，对任意的

a

，都有

f()当x0时问题即转化为

a

e

对所有恒立令

G

f

，由拉格朗日中值定理知

内至少存在一点

（从而

得f

'

f

，即

f

，由于f

上是增函数，让得

f

f

的值范围是

(2]

min评注：第(小题提供的参考答案用的是初数学的方即令

g

，再分a

和a

两种情况讨.中，

a

又要去解方程

g

但这有两个缺点首

22ga22ga先，为什么的值范围要以

为分界展开其，方程

g

求解较为麻烦但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻二、证明

g

g

(b),

成立例年四川卷第题）已知函数

f,

（Ⅰ）求函数

f

的最大值；（Ⅱ）设

2a，证明：g

b)ln2

（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有

g'g

a2

a2

a2

由拉格朗日中值定理得，存在

a,

a2

,,2

，使得

a

2ln

bb•••bln2a2评注：对于不等式中含有

g

a2

的形式，我们往往可以把ga和对和b22运用拉格朗日中值定.

两次三、证明

f1

x1

2

成立[3][4]

例：(26年川卷理第22题)已知函数

f

2

x(f

的导函数是

f

对任意两个不相等的正数

x,x1

2

，证明：

11,222112a211,222112a2（１）当

a0

时，

f12

f

x12

（２）当

4

时，

f'

1

f'2

1

2

证明）妨设

xx，证f12

f2f12

f1

．由拉格朗日中值定理知，存在

,22

1x2

，则

1

且fxf2f2

'

2

x•12

，

xf12f•21

又f

'

(x2

2a2

，

4af''x32

当

a

时，

f

所

f

'

)

是一个单调递减函数故

f

从而

f

2

f

1f22

f

1

成立因此命题获证．（２）由

f

2

2

x得f

'

(x2，g2

则由拉格朗日中值定理得：

g

1

2

g

'

(x)12下面只要证明

a时

,有g

有

g

4ax

，即证a时，

2

4x

4恒成立这等价于证明的小值大于4由于

2

4233xx

4

，当且仅当

3

2

时取到最小值，又

a43

4

，故

a4

时，

2

4x2

恒成立所以由拉格朗日定理得：

x

1

x

2

(x)g1

x1

2

评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较.而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流.现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要.四、证明

f2

x1

f

x2

x1

2

成立例2008年全国卷22题）设函数f（Ⅰ）求的单调区间；

f

x2x

（Ⅱ）如果对任何

x，有

，的值范围

11'（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当

x

时，显然对任何

a

，都有

f

；当

x

时，ff由拉格朗日中值定理，知存在

，使得

ff

f

'

由（Ⅰ）知f

'

，从而

f

''

x

令

f

''

得，

所以在

上，

f'

的最大值

f''max

13

在

上，

f'

的最大值

f

f'max

13

从函数

f'

在

上的最大值是f.由知，当时fmax

的最大值为

f

11.以，的大值f.了使fmaxmax

恒成立，应有f

所以

a

的取值范围是

,

评注：这道题的参考答案的解法是令

g

再证明函数

g

的最小值g

这与上述的思路是一样的.首先参考答案的解法中有个参数

a

要对参数

a

进min行分类讨论其为了判断

g

的单调性还要求

g'

的解,这个求解涉及到反余弦

a

较为复.用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨.次体现了高观点解题的优越性.五、证明

f)

成立中

f

）例年安徽卷题）设

af

alnx

（Ⅰ）令

F

内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当

时，恒有

xln2aln

（Ⅰ）略；

2222（Ⅱ证明证

f

x

由于x

f

由拉格朗日中值理得，存在

f

f

'

题程知

f

'

2xlnxx

，所以f''

flnxf''令22xx故f'e111e1

所以

f

min

f从又x，则

f

成立，从而当

x

时，

x

2

xalnx

成立评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中

F

内的极小值

F

得到F以f

f

的最小值

f

fln

2

xlnx

但如果没有（Ⅰ难到利min用

F

来判断

f

的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问.六、证明

f1x1

或

f12x12

其xx12

）例年辽宁卷理题）已知函数

f(x)

12

2

1)lna（Ⅰ）讨论函数

fx)

的单调性；（Ⅱ）证明：若

a

，则对任意

x2

，

x1

2

，有

f()f(x)1212

（Ⅰ）略；（Ⅱ）

f()f(x)11

f

'

由（Ⅰ）得，

f

'

ax

所要证f()(x1212

成立，即证

f

'

a

下面即证之.令

g

，所以

.而g

在

R

恒成立也

,x2

，

x2

，故

则

，即

f

'

a

，也即f()(x1212

评注这道（小存在两难点首先有两个变量

x1

其次

的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数

g

为什么考虑函数

g

？很多考生一下子不易想而且

g

的放缩也不易想拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定是解决函数在某一点的导数的重要工.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求.然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求但初等数学的方法往往计算量较这时，用拉格朗日中值定理交易解充分体现了高等数学的优性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴从以上六道题目与参考答案不同的解法中可感受到高等数学对初