用曲线积分求旋转曲面的面积

用曲线积分求旋转曲面的面积1第1页，共26页，2023年，2月20日，星期六作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。2第2页，共26页，2023年，2月20日，星期六先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3第3页，共26页，2023年，2月20日，星期六设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4第4页，共26页，2023年，2月20日，星期六L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：5第5页，共26页，2023年，2月20日，星期六命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L6第6页，共26页，2023年，2月20日，星期六命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L7第7页，共26页，2023年，2月20日，星期六下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转曲面的面积公式8第8页，共26页，2023年，2月20日，星期六直角坐标方程9第9页，共26页，2023年，2月20日，星期六y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：10第10页，共26页，2023年，2月20日，星期六y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：11第11页，共26页，2023年，2月20日，星期六参数方程12第12页，共26页，2023年，2月20日，星期六如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：13第13页，共26页，2023年，2月20日，星期六如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：14第14页，共26页，2023年，2月20日，星期六极坐标方程15第15页，共26页，2023年，2月20日，星期六如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：16第16页，共26页，2023年，2月20日，星期六我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

17第17页，共26页，2023年，2月20日，星期六L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心18第18页，共26页，2023年，2月20日，星期六如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心19第19页，共26页，2023年，2月20日，星期六下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20第20页，共26页，2023年，2月20日，星期六设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。

将L绕直线l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。

我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21第21页，共26页，2023年，2月20日，星期六L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线l旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线l的方程为ax+by+c=0。l22第22页，共26页，2023年，2月20日，星期六命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll23第23页，共26页，2023年，2月20日，星期六下面举几个例子来说明

命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成24第24页，共26页，2023年，2月20日，星期六例1求曲线y=x2(0<x<2)绕直线y=2x旋转的

旋转曲面的面积A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);25第25页，共26页，2023年，2月20日，星期六例2求y=x2(0<x<1)绕直线y=x-1旋转的

旋转曲面的面积A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int