2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（北京卷）

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合，0，1，，，则A．，0， B．， C．，1， D．，2．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A． B． C． D．3．（4分）在的展开式中，的系数为A． B．5 C． D．104．（4分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A． B． C． D．5．（4分）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A．4 B．5 C．6 D．76．（4分）已知函数，则不等式的解集是A． B．，， C． D．，，7．（4分）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线8．（4分）在等差数列中，，．记，2，，则数列（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项9．（4分）已知，，则“存在使得”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）2020年3月14日是全国首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是A． B． C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）已知双曲线，则的右焦点的坐标为；的焦点到其渐近线的距离是．13．（5分）已知正方形的边长为2，点满足，则；．14．（5分）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．15．（5分）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）如图，在正方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．17．（13分）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面积．条件①：，；条件②：，．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．20．（15分）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值．21．（15分）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【解答】解：集合，0，1，，，则，，故选：．2．【解答】解：复数对应的点的坐标是，，则，故选：．3．【解答】解：的展开式中，通项公式为，令，求得，可得的系数为，故选：．4．【解答】解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，几何体的表面积为：．故选：．5．【解答】解：如图示：半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离最小时，连结，在上且，此时距离最小，由，得，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选：．6．【解答】解：不等式，即．由于函数和直线的图象都经过点、，如图所示：不等式的解集是，，，故选：．7．【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为，则，准线为为，不妨设，，设准线为与轴交点为，则，可得四边形为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段的垂直平分线，经过点，故选：．8．【解答】解：设等差数列的公差为，由，，得，．由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知，，，为最大项，自起均小于0，且逐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选：．9．【解答】解：当，为偶数时，，此时，当，为奇数时，，此时，即充分性成立，当，则，或，，即，即必要性成立，则“存在使得”是“”的充要条件，故选：．10．【解答】解：如图，设内接正边形的边长为，外切正边形的边长为，可得，，则，即，故选：．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则，所以，所以，所以函数的定义域为，故答案为：．12．【分析】根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．【解答】解：双曲线，则，则，则的右焦点的坐标为，其渐近线方程为，即，则点到渐近线的距离，故答案为：，．13．【分析】根据向量的几何意义可得为的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由，可得为的中点，则，，，故答案为：，．14．【分析】由两角和差公式，及辅助角公式化简得，其中，，结合题意可得，解得，即可得出答案．【解答】解：其中，，所以最大值为，所以，即，所以，所以，时均满足题意。15．【分析】由两个企业污水排放量与时间的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为．对于①，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力为，乙企业的污水治理能力为．由图可知，，，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强，故④错误．正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）根据正方体的性质可证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，先求出平面的法向量，再利用，以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．解法二：设正方体的棱长为，易知，结合勾股定理和余弦定理可求得，再求得；设点到平面的距离为，根据等体积法，可求出的值，设直线与平面所成角为，则，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，，，设直线与平面所成角为，则，，故直线与平面所成角的正弦值为．解法二：设正方体的棱长为，则，，，，由余弦定理知，，，，设点到平面的距离为，，，，设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．17．【分析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理求出，再结合，即可求出的值，（Ⅱ）由正弦定理可得，再根据三角形的面积公式即可求出．选择条件②（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出的值，（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，联立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．选择条件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，18．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式直接求解即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；（Ⅲ）直接写出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件，“该校女生支持方案一”为事件，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件，则；（Ⅲ）．19．【分析】（Ⅰ）求得的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得，，进而得到切线的方程；（Ⅱ）求得切线的斜率和方程，分别令，，求得切线的横截距和纵截距，可得三角形的面积，考虑的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）的导数，令切点为，可得切线的斜率为，，，切线的方程为；（Ⅱ）曲线在点，处的切线的斜率为，切线方程为，令，可得，令，可得，，由，可知为偶函数，不妨设，则，，由，得，当时，，递增；当时，，递减，则在处取得极小值，且为最小值32，所以的最小值为32．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为，设，，，，可得直线的方程为，直线的方程为，分别令，求出，，代入化简整理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）椭圆过点，且，则，解得，，椭圆方程为，（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为，由，消整理可得，△，解得，设，，，，，，则直线的方程为，直线的方程为，分别令，可得，，，，故．21．【分析】（Ⅰ）由，即可知道不满足性质．（Ⅱ）对于任意的和，满足，，必存在，可得满足性质①；对于任意的，欲满足，即可，必存在有一组，使得它成立，故满足性质②．（Ⅲ）先用反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明也是等比数列，即可．【解答】解：（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立，对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小值，如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时与前提矛盾，如有两项与同时取得绝对值最小值，那么必有，此时，与前提条件矛盾，所以