高考数学总复习配套教案8.3直线与平面的位置关系

第八章

立体几何初步

第

课时

直线与平面的位置关系(2)（文）～页（）104106考情分析了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；除了熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理外，还要考虑面面垂直的性质和作用．

考点新知要注意线线垂直、线面垂直以及面面垂直的转化．可以按照要证明的目标重新整理知识点必修练改)直线l与面α不直，则在平面α内直线l垂直的直线40有________条．答案：数解析：证在平面内l在面α的射影垂直的直线与l垂，所以足题意的直线有无数条．原创)已知AB是共线的三点，直线垂于直线和AC直线直于直线AC则直线mn的置关系是_．答案：行解析：为直线m垂于直线AB和AC，所以m垂直于平面ABC同理，直线n垂直于平面ABC根据线面垂直的性质定理得m(必习题改)列命题：①一条线在平面内射影是一条直线；②在40平面内射影是直线的图形一定是直线在同一平面内的射影长相等线相等两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数．答案：0解析一直线在平面内的射影以是一个点①是错的在面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错；④然也是错的，所以正确的个数为(必修习题编)如图，AB是的径PA垂于O所的平面C42圆O上不同于A、B的一点，则图中直角三角形的个数________．答案：4解析：为是的径，所以AC⊥，ACB是角三角形；由PA⊥平面ABC可得PA⊥ABPA⊥AC，所PABeq\o\ac(△,与)直角三角形；因为⊥平面ABC，且BC

平面ABC，所以PA，又BCAC，∩ACA，所以BC⊥面PAC.而

平面PAC，所以⊥PC，△是角三角形；故直角三角形的个为4.必修2P习16改编△所平面外一点为在面ABC内射42影．若到△ABC三距离相等，且在△ABC的部，则O是ABC的心；若⊥，⊥AC则O是△ABC的________；

若，PB，PC与面所成的角相等，则O是△ABC________心．答案：(1)内(2)垂(3)外解析：(1)Peq\o\ac(△,到)三距相等，且Oeq\o\ac(△,在)ABC的部，可知Oeq\o\ac(△,到)ABC三距离相等即eq\o\ac(△,是)的心(2)由PO⊥平ABC且BC平得PO，又⊥，与是面POA内条交直线，所以⊥平面POA从而⊥同理ACBO以Oeq\o\ac(△,是)ABC的垂心PAPBPC与面成的角相等得eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)POC，从而OA＝＝，所以eq\o\ac(△,是)ABC外心．直与平面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都直，我们就说直线垂于平面α，记作aα，直线叫平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂．结：过点有且只有一条直与已知平面垂直，过一有且只有一个平与已知直线垂直．直与平面垂直的判定定理：如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂于一个平面，那么这两条直线平．[备课札记]

2222222222例1常州期末调)如图，在四棱锥中⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥ABAB＝2AD＝，CD＝3，直线底面ABCD所角为°，点MN分别是PA、的点．求证：MN平面PCD；四形MNCD是角梯形；DN⊥平面证明：因点M、N分别是、PB的点，所以MN因为∥AB，所以∥CD.又CD

平面PCD，

Ë

平面，所以∥面PCD.因AD⊥，CD∥AB所以CD⊥AD.因为PD底面ABCDCD平ABCD所以⊥PD.因为AD∩PD＝D，所⊥面PAD.因为MDÌ平面，所以CD⊥又MN∥，MNCD，所以四边形MNCD是角梯形．因PD底面ABCD所以∠PAD就是直线PA底面ABCD成的角，从而∠PAD°.在eq\o\ac(△,Rt)中，AD，PD＝，＝2，＝2.在直角梯形MNCD中MN＝ND＝3CD＝3＝＋（CD－）＝6从而DN＋＝，所以DN在eq\o\ac(△,Rt)中＝DB6，是的点，则DN又PBCN＝，以DN平面备变（师享(2013·南调如图，在正三棱柱BC中，AA＝2AC，、、分为线11段ACAACB的点．1证：∥平面ABC；证：⊥面BDE.1证明：(1)取的中点，连结AG、FG.因为F为CB的点，所以FG=CC.1

222222在三棱柱ABCAB中，AA=，为AA的中点，所以∥EA.1111所以四边形是平四边.所EFAG.因为EFË平ABCAGÌ平，所以EF∥平面ABC.因在正三棱柱ABC－AB中，AA⊥平面，平ABC所以AA11⊥因为为AC的点BA＝BC所以BD因为AAAC＝AAAÌ平AAC平面A以BD⊥平A.1111因为CEÌ平A，所以BDCE.1111根据题意，可得EB＝＝ABCB3AB1所以EB＋＝B从而∠EB＝°，即⊥EB.11因为BDEBBBD平面BDE,平BDE，所以C⊥面1例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A′A，点、、、C分别为AA、AA′1111的三等分点，将矩形纸片沿、CC折如图②形状(正三棱，若面对角线⊥BC，1求证：A⊥.11(图①)(图②证明：AD∥BCBD∥AC交D，AD∥C，BD∥AC交于D11111连结BDDD(如图)，11∵ACBD为形，111∴ABD111又AA⊥面ADBC，111∴AA⊥1又D⊥面A，∴⊥.111又AB，1∴⊥面BC，∴AB⊥11又BDCA∴⊥AC.1

22(2013·泰期在三棱锥SABC，SA平面ABC，SA＝ABAC＝，点是BC边中点，点是段上点，且AE3DE点M是线段SD上点，求：BCAM若AM⊥面SBC求证EM∥平面证明：∵＝AC，是BC的点∴AD⊥BCSAAD∩＝A

SA⊥平面ABC平A

⊥平面ADAM平面S

BC⊥AM.∵AM⊥平面SBCAM，设SA＝＝＝1则BC，＝，∵3SA⊥ADAMAD＝MD·SD，＝SM，SM＝，又AE＝3DE，2∴∥，又ME平ABS

平面，故EM∥平面ABS.例3在正三棱柱B中点D是BC的点BCBB1若是CC上任一点，求证：AP不可能与平面BCCB垂直；111试棱上一点M，使⊥AB.1证明：反证法假设⊥平面BCCB，1因为BC平B，所以AP⊥BC.1又正三棱柱ABCAB中CC⊥APCC＝平面ACCACCÌ平1111ACCA，所以⊥平面ACCA.111而平面ACCA，以BCAC，这eq\o\ac(△,与)ABC是正三角形矛盾．1故不能与平面BCCB垂．1M为CC的中点．1证明：∵在三棱柱B中，＝BB，∴四形BCCB是方形．1111∵M为CC的中点是BC的点△BD≌△BCM∠D∠CBM，1∠BDB＝∠CMB.1

ππ∵∠BBD＋∠BDB＝，CBM＋∠BDB＝，11∴⊥1∵△ABC是正三角形是的点，∴AD⊥∵平ABC平面BBC，平面ABC∩面BBCC＝，ADÌ平ABC，111∴AD⊥平面BBC.1∵BMÌ平BBC∴AD⊥BM.1∵AD∩D＝D，∴⊥平面D.1∵平面ABD，∴⊥AB.11备变（师享在正方体ABCD-ABD中，、别是CDAD中．11111求：AB⊥；1求：AE⊥；棱上否存在点，使⊥面AEP，若在，确定点P的置；若不存在，1说明理由．证明：结AB，，∵ABAB，AB⊥BC，AB∩＝B1111∴AB⊥面ABCD，又BFÌ平面A，以⊥1111证明：AD中M连结FM，BM，⊥，又∵FMAE∩FMM，⊥平面BFM又BF平面BFM∴AE解：存在，P是CC的点．易证PE，故ABE、四共面．11由(知AB⊥AEBF∩AEA，∴⊥面AEB，即⊥面11【示例】(本题模拟高考评分标准，满分分由平面α外点引面的三条相等的斜线，斜足分别为、B、C，O为ABC的外心，求证⊥α.学生错解证明因为△ABC的心以OA＝OC因为PAPB，公，所以，POB，△都等，所以∠POA＝POC＝°，所以⊥审题引导：要OP⊥，需记垂于α内条相交的直线，由图形易知，可考虑证垂ABC的两条边，注意到图中的等腰三角BC，不准找到证题途径．规范解答：证：取的点D，结、OD∵PBPCOBOC∴BC⊥，⊥，(5分又平面PODOD平，且PD∩D∴BC⊥平面分∵POÌ平POD，∴⊥同理AB分又AB是α内两条相交直线，∴⊥α.(14分)错解分析∠POA∠POB∠POC(2013·苏锡常镇调研已知l，是两不同的直线αβ是个不同的平面，有下列四个命题：

①若lβ，且⊥，l⊥α；②若lβ，且∥，则l⊥；③若lβ，且⊥，则l∥；④若α∩＝，l，则l∥则所有正确的命题是．填号答案：解析：于，当l与、的交线不垂直时l与不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对③④，l能在α内所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.青岛模拟改如图所示bc在面内a∩c＝bA，且aa，⊥c∈D∈b在线段AB上D均于A△ACD的状是________．答案：角三角形解析：ab，⊥c，∩＝，⊥面ABC∴AD⊥，eq\o\ac(△,故)ACD为角三角形．已矩形ABCDAB＝1＝将△沿矩形的对角线BD所的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的_______．(填序号①存某个位置，使得直线与线BD垂；②存某个位置，使得直线与线CD垂直③存某个位置，使得直线AD与线直；④对意位置，三对直线“与BDAB与CDAD”不垂直．答案：解析：出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①过点A作AEBD，垂足为E过点作CF⊥BD垂足为，图(中，由边、不等可知点E、不合．在(2)中，连结CE若直线AC与线BD垂直，∵AC∩AE＝A，BD平面，∴BD⊥，与点E、F不合相矛盾，故①误．对于②若ABCD∵ABAD，AD∩D∴AB平面ADC∴ABACAB<BC可存在这样的等腰直角三角形得线与线CD垂②正确．对于③若AD⊥BC∵DC⊥BCAD∩DC＝，∴⊥面ADC，∴BCAC.知＝2＝，BC>AB∴不存在这样的直角三角形∴③误由上可知④错误，故正确的说法只②.如，在锥体中ABCD是长为1的形，且＝°＝＝2PB＝，、分是BC、PC的点．证明AD⊥面

1111111111证明：AD中G，连结PG、BG、因为PA＝，有AD，eq\o\ac(△,在)ABD中＝，∠＝°，故△为边三角，因此⊥AD，∩＝G，所AD⊥面AD⊥，AD⊥GB.PB∥EF得AD⊥EF，而∥，得⊥DE.又∩DEE，平面，平面DEF所以AD⊥面如，在直三棱柱ABCABC中已知ACB°，M为AB与AB的点，111N为B的点．11求：MN平面AAC；1若AC＝AA，证：⊥面ABC.1证明：(1)连AC，因为M为AB与的点所以M是AB的点．又N为111棱BC的点，所以∥AC又AC平面AACCMNË平AAC，所以MN∥平面AAC.11由AC＝AA，四边形AAC是方形，所以AC⊥A因ABCAB是11111三棱柱，所以CC⊥平面ABC.因为BCÌ平ABC，所以CC⊥因为∠ACB＝°，1所以AC⊥BC.为∩ACC，所以BC平面AACC，以BCAC又AC平11AACC，MNAC，所以⊥ACMN⊥BC.又BC∩A＝，以MN⊥面A11111如⊥圆O所平面AB圆的径是上点⊥PCAF⊥，给出下列结论：①AEBC；②⊥PB；AFBC④AE⊥平面PBC，其中真命题的是．填序号答案：②④解析：AE

平面PAC，BC⊥AC⊥PA

AE⊥，故①正确，②AE⊥PB，⊥PBEFPB，故②确，③若AFBC故错误，①知正．

⊥面PBC，则AFAE与知矛盾

22(2012·福建莆田模拟)图，在三棱锥P－中eq\o\ac(△,，)PAC，△ABC分别是以AB为直角顶点的等腰直角三角形AB现给出三个条件：①＝；⊥；③平⊥平面试中意选取一个作为已知条件，并证明⊥平面ABC；解：(解法选取条件①，在等腰直角三角形ABC中∵＝，∴BC＝，＝又∵PAAC，∴PA∴PAB中＝，＝2.又∵PB，∴AB＋PB∴∠PAB＝90，即⊥AB.又∵PAAC，AB∩＝A，，包含于平面，∴PA平面(解法选取条件②，∵PBBC又⊥，且∩ABB∴BC⊥平面PAB.∵PA真含于平面，∴BC又∵PAAC，且∩ACC，