浅谈新课标全国卷导数命题背景

-z.浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学局部容，我们来研究下近几年高考真题的本质：例1.〔2014卷〕函数，求证：假设在上恒成立，求的最大值与的最小值第〔1〕问很简单，求导后容易得到结论第〔2〕问我们令，则，由⑴知，，故在上单调递减，从而的最小值为，故，的最大值为.接下来b最大值肯定在*等于0处取到，代入*＝0，我们发现出现了的情况，只用初等数学我们无法求解，其实此题就用到了微积分里两个重要极限之一，接下来我们来证明一下这个结论令＝，由导数定义得＝＝，则＝＝＝＝1，则显然第〔2〕小问里b的最小值就是1评注：此题结合了极限进展命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导数的定义，很多教师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.高等数学里还有个重要极限就是，稍后我们进展讨论.上面两个极限是导数与微分的容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔中值定理：，曲线弧〔方程为〕是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，则弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的拉格朗日中值定理：如果函数f(*)满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)可导。则：在(a,b)至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式成立柯西中值定理：如果函数f(*)及F(*)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)可导；(3)对任一*∈(a,b)，F'(*)≠0则在(a,b)至少有一点ξ，使等式成立其中，在柯西中值定理里当b→a时，我们会得到求取不定式极限的洛必达法则：(1)当*→a时，函数f(*)及F(*)都趋于零；(2)f'(*)及F'(*)都存在且F'(*)≠0，则有注：洛必达法则也可以证明极限，上下求导便可得下面我们来看一道用洛必达法则命制的高考题例2.〔2011新课标全国卷〕函数，曲线在点处的切线方程为。〔Ⅰ〕求、的值；〔Ⅱ〕如果当，且时，，求的取值围。第一问很简单，求导后解方程易得a＝1，b＝1第二问进展别离参数，可得，令，求两次导后得到在〔0，1〕单调减，在〔1，+〕单调增，由洛必达法则得＝＝0，，所以k〔-，0〕，取k＝1代回原命题也成立，所以k〔-，0]评注：此题原解法分类讨论极其复杂而且*些步骤不容易想到，显然这份标准答案是命题人结合洛必达法则得出答案后强行凑给考生看的，假设我们站在命题人的高度看问题，任何复杂的题目都会不堪一击.值得注意的是，新课标全国卷连续考了两年洛必达法则：例3.〔2010新课标全国卷〕设函数＝〔1〕假设＝0时，求单调区间〔2〕假设当≥0时，≥0，求的取值围此题第二问可以用洛必达法则求解，留做习题在学习完微分中值定理后，我们就会接触到由柯西中值定理推导出的泰勒公式，它在近几年高考中的命题地位比洛必达法则还要高高等数学里和的泰勒展开式特别优美：＝〔1〕＝〔2〕〔1〕式中我们对右边的幂级数求导发现它的导函数就是本身，我们都知道导函数是其本身的只有，所以和右边是相等的，证明它过程太复杂，所以我们不做证明，下面我们用一种不太严谨的方法来证明〔2〕式的弱命题令＝,(-1,1)则其前n项和＝＝＝学习等比数列的和时我们就知道，当公比(-1,1)时，其前n项和是收敛的，有＝，即＝，〔-1，1〕两边同时积分得＝即＝--，＝，〔-1，1〕令＝-，得＝〔-1，1〕则泰勒公式怎么考呢？最简单的考法之一就就是舍去展开式一些项，把等号变为不等号以函数放缩形式考察对〔1〕式舍去第三项及其之后，得≥1+，R〔3〕对〔2〕式舍去第三项极其之后，或者对〔3〕式两边取对数，得≤*，〔-1，+〕〔4〕对〔4〕中令1+＝，上式便可加强为1-≤≤〔5〕〔3〕〔4〕〔5〕式均当且仅当＝1时取等号，我们将其称为泰勒不等式或者根本函数不等式，另外细心的同学也发现例3中的函数＝便是的泰勒展开式取前3项后加上个参数a，所以此题的命制背景就是洛必达法则+泰勒公式，如果你知道的泰勒展开，则此题答案一眼就看得出来是a≤，所以对于学有余力的同学，提前学习一些微积分对高考是大有裨益的注：补充泰勒展开式以及对应不等式＝〔6〕，舍去第二项及其之后得≤，当且仅当*＝0取等，由〔6〕也可以证明极限，请读者自行证明下面我们来看一道例题，此题在微积分的课本里经常当作经典例题或习题，而命题人直接就拿出来当压轴题考察学生例4.证明：＜＜分析：左右都是和，中间的也将其拆做和的形式，证明通项不等关系即可证明：注意到＝，故只需证＜＜即可，由〔5〕式令*＝显然成立评注：使用泰勒不等式时要注意不等号方向，并且此题也可以通过定积分的几何意义证明，证明过程留做习题前面我们提到后面我们会证明极限，接下来我们用根本函数不等式≤来给出精彩的证明对原命题取对数，即只需证明，注意到≤，当且仅当*＝0取等，则当*趋近于0，即趋近于时，有，即＝1这几个根本函数不等式可以衍生出一大批高考题，下面我们挑几道进展分析：例5〔2013新课标全国卷II〕〔1〕设*＝0是〔2〕证明：当m≤2时，≤来轻松秒杀.因为≤+-1，故≥--+1，当+＝1取等，令＝--+1，求导易得在〔0，+〕单调增，在〔-m，0〕单调减故＝＝2-m≥0，即≥0，故，证明：-≥1，则≥1，由不等式≤，得≤＝≤+=两边同时加1得原命题.评注：此题结合了根本不等式推论之一≤，在了解泰勒不等式时也需要对课本知识牢牢掌握.例6〔2014新课标全国卷一〕，证明：＞＞0，考虑到≥0，因为最小值在*等于e处取到为-，所以≥0，考虑到前面的放缩