2023年云南考研数学一试题及答案

2023年云南考研数学一试题及答案

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

，/1、

1.的斜渐近线为（)

A.y=x+e

y

c.y=xD.

【答案】B.

【解析】由已知则

1

lim—=limIn(e=Ine=1

…x…I

limy—x=limxlnIn

yx+—

所以斜渐近线为e.故选民

2.若旷“+。¥'+6）=0的通解在（-8,+8）上有界，则（）,

A.a<0,b>0B.fl>0rb>0

c.fl=0,b<0D.o=0rb>0

【答案】D.

【解析】微分方程y"+ay'+by=°的特征方程为r2+or+b=0.

①若02-40<0,则通解为

V4b-a2V4b-a2

y(x)=e_£jr(C1cos------------x+C2sin-------------”)

2八n八一)“用_2产2斗工

第。2-4b>0,则通解为12+2J\22].

2Alny(X)=(C+C*)^--x

③若Q,一4〃：0,则通解为,122X.

_g>0

由于y(x)在(一8,+8)上有界，若2,则皿中X—+8时通解无界，若

—£<o

2,则IS③中XT—8时通解无界，故Q—0.

0=0时，若">0，则「12=5通解为

y(x)=(Ci(:osVbx+C2sin\bx)在(-8,+8)上有界

。=0时，若b<0,则32=土拈，通解为y(x)=c。倔r+Cze-Vfe,在

(-8,+8)上无界.

综上可得。=0">0.

p=2t+|t|

3.设函数y=/(x)由参数方程1y确定，则().

A.「(X)连续，/(。)不存在B.f(。)存在，f(X)在X—。处不

连续

(：/(2)连续，广(。)不存在D./(°)存在,/(X)在X=。处

不连续

【答案】C

limy=lim|(|s/nt=0=y(0)

【解析】x-0r-0，故「(X)在“=°连续.

Itlsint.

r(0)=lim吧2t+|“=°

X

JT—O

sint+tcost

t>0

3

0f=0

—sint-tcQSt「＜0CCC八

t=0时，*=0；亡＞0时，x＞0；

，＜。时，xV。，故/'（x）在x=0连续.

sint+1cost

32

f'+(0)=limlim

X节9

x-0t-o

-sint-tcost-0

r'-(0)=lim

X

jir

故广（0）不存在.故选c.

coQOQOGO

2%2K

4.设%<“n

，且与”=1收敛，”=1绝对收敛是"=1绝对收敛的

).

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A.

BB

E（0n-%）E（＞0-Qn）

【解析】由已知条件可知”=1为收敛的正项级数，进而”=1绝对

收敛.

QO

n

小绝对收敛,则由I，“卜n4-on\<|bn-an|+|an\

设n=l与比

QO

£b«

较判别法，得。=1绝对收玫;

go

设Eb"绝对收敛，则由M川=nl<lbn-an|+|bn\与

B

比较判别法，得”=1绝对收敛.故选A.

5.设A,B,C均为〃阶矩阵，ABC0,记矩阵

0A\IABC\/EAB\

BCEJ\0H/IB0)rrr

的秩分别为「1，「2,「3,贝ij()

A/I4r2*3B.r1<r3<r2c.r3<ri<r2D

r2<r1<r3

【答案】B

【解析】由矩阵的初等变换可得

0A\f-ABC0\/00

BC£/IBCE/IBCE

ABABA

00E),故、=rG48)+r(E)=n+r(AB)

EAB\/EAB\

AB0IUH0

,故

四口（力仁卜+仁卜+®）

综上，比较可得B正确.

6.下列矩阵不能相似对角化的是（）

022120

003a03

B\

【答案】D.

【解析】由于A.中矩阵的特征值为1,2,3,特征值互不相同，故可相似对角化.

B.中矩阵为实对称矩阵，故可相似对角化.

11a-11a

020-2E=000

002000

c.中矩阵的特征值为1,2,2,且',故可

相似对角化.

/

1

0

0

D.中矩阵的特征值为1,2,2,且'

可相似对角化.

选D.

1

5=2

3

7.已知向量,

可由°1，02线性表示，也可由"「'2线性表示，则y=(

)

3

k3,keR

4

A.\/

/\

—1

k1,keR

2

c.1/

【答案】D.

【解析】设【+k2a则

ki+k2a2-k3夕i一2=°,对关于*七的方程组的系数矩阵作初

iMk3,

等变换化为最简形，

解得

TrrT

(k1,/f2,lf3,k4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-lrl,0)=(3-3C,-l+C,l-GC)

,故

Y=

1-C1

gai+k2a2=(3-3C)«I+(C-1)«2=5(1-C)=k5,keR

8(1-C)8

8.设X服从参数为i的泊松分布，则E'(|X-E(X)|)=().

112

A.eB,2c.e

D.1

【答案】c.

尸,八.

p(X=k]=^r(k=Q,l,2,-)

【解析】方法-由已知可得，上，E(X)=1,故

8

F(|X-E(X)|)=E(|X-l|)=^^J-e-i

k=0

co

故选C.

8QO

k

苴92x_1V1x"+ix—1

x乙(A+l)!—x

方法二由于*=o,于是《=ik=l

因此

V*kxiY1x(eJ-x-1j(x-l)e*+1

gE二心…!

P{X=A}=4(k=0,L2,)二八T

由已知可得k!故

88

E(|X-E(X)|)=E(|X-l|)=e-i+e-i^i^-=

Jrsiir*l

…eTSX夕2+1

故选c.

9.设X1，X2,…，X"为来自总体N（〃1，°2）的简单随机样本，丫1，丫2,…，Fm为来自

x」£x,

N（u2。2）nJ

总体I产2'’的简单随机样本，且两样本相互独立，记，=1

聚£力给合工如方^^(田

1=1,/=1,1=1,则

()

2S?

—y-F(n,m)

C.、2D.

2S\

—y-F(n-l.m-l)

【答案】D.

（n-1闾5-1闾

【解析】由两样本相互独立可得02与202相互独立，且

（”1冏（吁1湿，

—^2-1-xKn-l）—2小〜/（mT）

（一祝

―Ta-/（«-1）2S：

------------5------------=-Y*F（n-l,m-l）

因此2。2/（小1），故选D.

io.己知总体X服从正态分布N（4，°?）,其中o>0为未知参数，”1,*2为来自总

体X的简单随机样本，且°°|Xi一X2|为。的无偏估计、则。一（）.

“yjln

A.2B.2c.yD.

y/2n

【答案】A.

【解析】由与Xi,X2为来自总体X的简单随机样本，Xi,“2相互独立，且

X1~N（〃,o2）,X2~N皿吟,

因而“1一*2~'（°，2。2）,令yXL-X21所以y的概率密度为

/•心)y_上_

2202

y/2nyj2a9

所以

£(四)=(\y\-f=-=-e_^dy=2f■^=e_£dy;隼

J_84Tny/2o220J。2ayff4ay/n

又由oa|X1-X2|^a的无偏估计可得,即

E(G=O£(|X1-X2|)=OI

.、2o

aE(\Y\)=a^=o

G=-

解得2,故选A.

二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.当x-0时，f(x)=ax+bx2+/n(l+x)与g(x)=ex'-cosx是等价无穷

小，则ab=

【答案】-2【解析】由题意可知,

l=lim华|=】imax+bx2+/“(i+x)

"(x)…ex2-cosx

ax+bx2+x-yx2+o(x2)

=lim---------------------7------------

x-ol+x2+o(x2)—[1—yx2+o(x2)]

(a+l)x+(b-y)x2+o(x2)

=lim--------=-------------------

yx2+o(x2)

2-2

于是Z即。=-1/=2,从而M=-2.

12.曲面z=x+2y+，n(l+x2+y2)在(()，())处的切平面方程为

【答案】x+2y-z=0【解析】由于z=x+2y+/n(l+x2+y2)在点(°，°，°)

处的法向量为

—”»=(l+l+x?x2+y2.2+i2+vx&2，T)­(127

从而曲面2=8+2犷+/"(1+*2+y2)在(0,0)

处的切平面方程为

x+2y-z-0

13.设/(x)是周期为2的周期函数，且/'(x)=l—x,xw[。，1],

8

r(x)oncosnnx,2a2尸

n=l则”=1

【答案】。【解析】由题意知,

r12

%=2(l-x)cosnirxdx=—sinxdsinnnx

o

2

」xsin…sinnnxdx

nn0nnJQ

GO

22(1-cosnn)£02"=

-5—7cosnnx

n2n20一”2”2

于是”=1

00

1

i(1-cos2ZJTT)=O

E2n2n2

n=l

92

f(x)dx=0

14.设连续函数/(x)满足“x+2)-/(*)=*,

o,则

(f(x)dx=

1

2

【答案】【解析】

.3

f(x)dx=f(x)dx-[f(x)dx=ff(x)dx-ff(x)dx-[f(x)dx

ioi

CfMdx

-ffWdx

2Jo

»-2=f]i

f(t+2)dt-If(x)dx=

0J。0

15.已知向量

,若则中用十月=

11

【答案】方【解析】丫"1="】叫叫+〃2。加1+〃3吗。1=3g=£<T1=1

i

丫7。2=*1。22+42吗町+43a弼2=3仁2=1。2=-3七二一1；

TT7b_】

Ya3=k1a[ai-¥k2a^a^k3ala3=3k3=pa3=-l*3=-j

11

16.设随机变量X与丫相互独立，且~（1’3）'、见2,2）则

P[X=Y]=

1

答案】彳【解析】P{x=y}=P{x=o,y=o)+P(x=i,y=i)

-P[X=Q]P[Y=Q}VP{X=1}P(Y=1)

=rc0)+rc0)4.

三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

设曲线y(X)(X>°)经过点(1,2),该曲线上任意一点P(X)至轴的距离等

于该点处的切线在y轴上的截距.

(1)制二y(x)；

“x)=fyCQdt

(2)求函数在(。，+8)的最大值.

【解】(1)曲线y(x)在点(x,y)处的切线方程为Y-y=y'(x)(x-x),于是切线

在V轴上的截距为y-y'(x)x,由题意可知x=y-y'x,即'xy'，此为-

阶线性微分方程，根据通解公式可得

j-e/_：d*dx)=x(c+/-；dx)=Cx-xlnx

将八1)=2代入上式得C2,即y=x(2-lnx)

y(x)=ft(2-lnt)dt

⑵由(i)知i,于是y'(x)=x(2-lnx),

y,,(x)=1-Inx

令y'(x)二°,解得唯一驻点xe2,y"(e2)=-l<0,故

g2~22

y(e2)=Jt(2-lnt)dt=t2\^Intdy=e4-l--yInt+(^dt

=e4-1-e"；(e4-1)=1e，-看

18.(本题满分12分)

求函数7(X，y)=(JT2)aT3)的极值.

7^=-2xy-3x2y4-5x4-f^-=2y-x2-x3勿。

【解】由已知可得°x”‘,dy，由I

(0,0),(1,1),信，瞿)

解得驻点为1327].

离—+20/熹=_2X_3X2筋=2

在(0,0)处，A=0,B=0,C=2,AC-B2=Q,

取y=x,于是/'(*/)=&-*2)0-4)=“一/)(*-*3),从而在(0,0)

的领域内f(x,y)>0.

y=-rx2f(x,y)=(y-x2)(/-x3)=-4x2(-1*2-*3)

取'2,于是'v2'2\从而在

(0,0)的领域内/(Xj)V。，从而/'(xj)在点(0,0)处不去极值;

在(1,1)处，A-12,fi=-5,C=2,于是4C—B?=-IvO,故(1,1)不是极

大值点

/210\,100cc8cr,c28c

|5,方|A=-z=->Q,B=--^,C=2AC-B2=-^>Q

在I327)处，273,于是27

(2HIJZJlOA__4_

I3'27J是极小值点，极小值/13'27J729.

19.(本题满分12分)

已知有界闭区域口是由x2+y21,z—0,x+z1所围的，X为n边界的外侧,

/=2xzdydz+zcosydzdx-^-yzsinxdxdy

计算曲面积分£

【解】由高斯公式，有

]=02xzdydzA-zcosydzdxVyzsinxdxdy

E

=JJJ(2z-zsiny+/sinx)dv

a

由于n关于xOz坐标面对称，一zsin»+ysinx是关于y的奇函数，因此

fjj(—zsiny+ysinx)dv=0

n,所以

l=2fffzdv=2ffdxdyfzdz-fj"(l-2xi-x2)dxdy

n*2+y2il小十/01

2

=jr+ftxdxdy=n^--^ff{x2^y2)dxdy

x2+y2<lx2+y2<l

dQel

="+/\P3dp一旦_

o4

20.(本题满分12分)

设函数/.（X）在【一Q,aI上有二阶连续导数.

⑴证明：若"0）=0,存在“（_凡0）,使得广⑹二官丁⑷+八一叨；

（2）若/'（x）在（一。，。）上存在极值，证明：存在?，€（一。，。），使得

【证明】（1）将/（X）在、0二°处展开为

公)=/(0)+((0)*+5^=/(0»+匕^

其中6介于0与X之间.

分别令x__Q和x—0,则

厂(»

f(-a)=/'(O)(-a)+—2]--a«1<0

/'«2"2

r(a)=/'(O)(a)+—27—0<<2<a

两式相加可得

r«)+尸&)

f(-a)+/(a)=o2------2------

又函数/'(X)在I一。，a1上有二阶连续导数，由介值定理知存在(七

[<1，0"(一。,。)使得

r'(")+r«2)

—h~^寸⑹

艮/")二和(-。升/(。)]

即U.

(2)设/'(X)在X。处取得极值，则/'(X。)。.

将/‘(X)在X。处展开为

r'(6)(X-Xo)2r'(6)(XTo)

f(X)=/(x°)+r(x°)(XT。)4---2，---=/(^o)4--21--

其中6介于x。与x之间.

分别令x__a和x_a,则

r«])(a+xo)2

-a=x

f()/(o)+21-a<ql<x0

尸仇乂…。)？

=

f(0)/(*o)+21x0<f/,<a

两式相减可得

r'Q)2)(Q-Xo)2r‘(％)(Q+Xo)2

f(a)-/(-o)=——q--------------------------

所以

尸仇）—。）？广（办）（。+X0）2

|/(a)-/(-o)|=

-2T

22

I/"(^)I(O+XO)ir^2)i(fl-x0)

-2+2

£仁乎U[(a+xo)2+(aro)2](|ry)|=max(|r'(/)Lir«2)l))

<J£l!llLl(fl+Xo)+(a_Xo)J2=2fl2|r，(z/)|

/厂5）1之』1/（。）一/（一。）1

即乙U.

21.（本题满分12分）

设二次型r（Xi，X2，X3）=x：+2x?+2x：+2xiX2-2xiX3

/。/必）='””：+2“3

（1）求可逆变换x—Py,将「（*1，、2/3）化/0\/2，丁3）,

（2）是否存在正交矩阵Q,使得x—Qv时,^f（x1,x2,x3）化为f（yi,y2%）.

【解】（D由配方法得

，

/（XVX2，X3）=XJ+2X|+2X|+2X1X2-2X1X3

22

=（X1+X2—*3）+（*2+*3）.

/。”2，九）可””*“户：+。2+%）2

-1

1

0

Z2+Z2

=12

规范形为

Zi=y100

o11y

^z=y2+y3

ooi

Z2

23=y32

令l，则）时，规范形为，

故可得

时/（X1，X2,X3）化为”2，丁3）,可逆变换x二Py,其中

1—1—1

010

001

11-1

4=120

-102

(2)二次型/(Xl，X2，X3)的矩阵为\

1-A11-1

H-AE|=12-A2-A0

-1002-A

1-A101-A10

=(2-A)12-A1=(2-A)22-A1

-10001

=A(2-A)(A-3)=0

所以4的特征值为“1二°，入2=2,43=3.

100

B=011

011

二次型‘°

3)的矩阵为

1-A00

|fi-A£|=01-A1=A(1-A)(A-2)=O

011-A

所以8的特征值为「1二°，r2=l,r3=2

故4，B合同但不相似，故不存在可逆矩阵C使得C-B.

若存在正交矩阵Q,当x-Qv时,

x=Qy

TTTT

f（xltx2,x3）=xAx^^yQAQy=yBy即Q『4Q=Q-14Q=B,

即A,8相似,矛盾，故不存在正交矩阵Q,使得x二Qy时，八门