2023届北京市高考数学（理）一轮复习模拟收官卷（一）

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（北京卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（2022·北京·潞河中学三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2022·北京房山·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则（

）A．5 B．3 C．5－4i D．3－4i3．（2022·北京·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（）A． B． C．或 D．4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设函数，其中.若，且相邻两个零点之间的距离大于，则（

）A． B．C． D．6．（2022·北京·模拟预测）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（

）（本题取）A．31 B．32 C．33 D．348．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值9．（2022·北京师大附中高二期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．10．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（

）A． B． C． D．大小不能确二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11．（2022·北京·清华附中模拟预测）函数的定义域为___________.12．（2022·北京市第十二中学三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为___________.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）若，请写出一组符合题意的___________.14．（2022·北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．①如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；③如果，那么函数没有零点；④如果那么函数的最小值为2．15．（2022·北京海淀·二模）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①；②；③，使得当时，总有④，使得当时，总有．其中，所有正确结论的序号是_________三、解答题（共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（2022·北京·清华附中模拟预测）在中，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．17．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.(1)求证：为中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求直线到平面的距离.18．（2022·北京·人大附中模拟预测）某家电专卖店试销三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周型数量（台）111015型数量（台）14913型数量（台）61112(1)从前三周随机选一周，若型空调销售量比型空调多，求型空调销售量比型空调多的概率；(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望；(3)直接写出一组的值，使得表中每行数据的方差相等．19．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，.(1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；(2)当时，证明：；(3)若对任意，不等式恒成立，求出的取值范围.21．（2022·北京·101中学三模）设正整数数列满足．(1)若，请写出所有可能的取值；(2)记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；(3)若为周期数列，求所有可能的取值.2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（北京卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（2022·北京·潞河中学三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，则.故选：D.2．（2022·北京房山·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则（

）A．5 B．3 C．5－4i D．3－4i【答案】A【详解】由题意知，，.故选：A.3．（2022·北京·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（）A． B． C．或 D．【答案】D【详解】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，，解得：.故选：D4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，由幂函数的性质知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，又，所以函数在上单调递减，故C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.故选：C.5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设函数，其中.若，且相邻两个零点之间的距离大于，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为函数相邻两个零点之间的距离大于，所以的最小正周期大于，所以，又，，所以，，则，即．，由，得．，．因为，所以取，得．，．故选：B．6．（2022·北京·模拟预测）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值，必有，公差，分3种情况讨论：①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，则，②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，，③，，是等差数列的前项和中的最大值，此时，，则，变形可得：，，而，则有，综合可得：.故选：A．7．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（

）（本题取）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】D【详解】经过天后，用户人数又小程序在发布时已有500名初始用户又小程序发布经过10天后有2000名用户即，可得……①当用户达到50000名时有即，可得……②联立①和②可得，即故用户超过50000名至少经过的天数为34天故选：D.8．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值【答案】D【详解】A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；D：如图，由等体积法可知，又，为定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：D.9．（2022·北京师大附中高二期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由广义杨辉三角形可得，故的展开式中，的系数为，解得.故选：C.10．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（

）A． B． C． D．大小不能确【答案】B【详解】构建如下图示的直角坐标系，令，，，，所以，可设，，且，，则，，所以.故选：B.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11．（2022·北京·清华附中模拟预测）函数的定义域为___________.【答案】【详解】由解析式知：可得，所以函数定义域为.故答案为：12．（2022·北京市第十二中学三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】【详解】解：己知双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故答案为：13．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）若，请写出一组符合题意的___________.【答案】、（答案不唯一）【详解】解：因为，，所以，所以，或，，不妨令、；故答案为：、（答案不唯一）14．（2022·北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．①如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；③如果，那么函数没有零点；④如果那么函数的最小值为2．【答案】②③【详解】对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误.对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确.对③：当时，函数，当时，函数；综上：如果，那么函数没有零点；故③正确.对④：由，则，当时，函数；当时，函数；故时，函数没有最小值；故④错误.故答案为：②③15．（2022·北京海淀·二模）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①；②；③，使得当时，总有④，使得当时，总有．其中，所有正确结论的序号是_________【答案】①②③【详解】因为，两式作差得，故为常数列，即，故，①正确；因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，又，故，使得当时，总有，③正确；，又，故，因为为常数，为单增数列，故当时，，，故④错误.故答案为：①②③.三、解答题（共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（2022·北京·清华附中模拟预测）在中，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．【答案】(1)(2)选择条件②,;选择条件③.(1)由余弦定理知，，因为，所以．(2)选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.17．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.(1)求证：为中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)（1）连接，交于点，则平面平面，又因为平面，平面，则，由于底面为正方形，所以点为的中点，因此可得为中点.（2）由（1）知是的中点.由于平面，所以，故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，设平面的法向量为，所以，故可设，平面的法向量为，平面与平面夹角为，则.（3）由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.,到平面的距离为.即直线到平面的距离为.18．（2022·北京·人大附中模拟预测）某家电专卖店试销三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周型数量（台）111015型数量（台）14913型数量（台）61112(1)从前三周随机选一周，若型空调销售量比型空调多，求型空调销售量比型空调多的概率；(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望；(3)直接写出一组的值，使得表中每行数据的方差相等．【答案】(1)(2)分布列见解析；.(3)（1）解：记事件为“型空调销售量比型空调多”，则；记事件为“型空调销售量比型空调多”，则；故若型空调销售量比型空调多，型空调销售量比型空调多的概率为.（2）解：由题可知，在第二周抽取型空调的概率为，第三周抽取型空调的概率为.的可能取值为0，1，2，故,,,故的分布列为：012则.（3）解：因为方差，且表中每行方差相等.所以其中，，，.观察数据：第一组15，11，10，；第二组：14，13，9，；第三组：12，11，6，.故可以将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除，即，则，，.则.故满足题意.19．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点；【详解】（1）解：由离心率可得，又由左、右顶点可得，所以，，所以椭圆的方程为：；（2）解：由（1）可得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，整理可得：，，即，可得，且，，，整理可得，可得或，符合，所以直线的方程为：或，所以直线恒过或（舍去），所以直线的方程为：，可得直线恒过点；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程，可得，设，，则，解得或（舍，所以直线恒过定点，综上所述：直线恒过定点．20．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，.(1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；(2)当时，证明：；(3)若对任意，不等式恒成立，求出的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)（1）当时，.设，则切线斜率.由切点性质，得，解得.所以点的坐标.（2）当时，，其中，则，令，其中，则，故函数在上单调递增，且，当变化时，变化情况如下表：10单调递减极小值单调递增由上表可知，.所以.（3）实数的取值范围.理由如下：方法一：（数形结合）在上恒成立，即.因而函数的图象在函数的图象上方.考虑函数图象在函数图象恰好有一个公共点的临界情形（如图所示），此时它们在交点处有一条公切线，设交点的横坐标为.又，由切点性质知，所以即，由得，所以即记，则