结构化学郭用猷第二版课后习题答案第二章到第五章

第二章原子结构

习题

2.1氢原子薛定娉方程中的能量E包含哪些能量？

2.2令河rf,(p)=23》(仇夕)=2(r)9(6)①®)

将单电子原子的薛定四方程分解为3个方程。

2.3氢原子薛定骋方程是否具有形为收=(l+”)e»的解？若有，求a、b和能量及

2.4若取变分函数为。=e-w,式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量和波函数。

2.5取变分函数为0=e-”,式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量，并与其1s态能量

对比。

2.6分别求氢原子k电子和2s电子离核的平均距离卜),并进行比较。

2.7求氢原子2P电子离核的平均距离⑺。

2.8波函数必(有多少节面？用方程把这些节面表示出来。这些节面将空间分成儿个区域？

2.9验证氢原子波函数九和巴凡是正交的，匕凡和％,也是正交的。

2.10求氢原子2p和3d电子几率密度最大值离核的距离r0

2.11求氢原子2Pz电子出现在6445。的圆锥的儿率。

2.12求氢原子电子出现在的圆锥内的几率。

2.13比较氢原子中2Px和2Pz电子出现在相同半径圆球内的儿率大小。

2.14比较H中2s电子，He卡中2s电子和He(Is%)中2s电子能量的大小。

2.15求氢原子第2电离能。

2.16实验测得O7卡的电离能是867.09eV,试与按量子力学所得结果进行比较。

2.17实验测得C5+的电离能是489.98eV,试与按量子力学所得结果进行比较。

2.18不查表，求％4的角度部分。

2.19不查表，给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)

⑴2Px(2)3s(3)3px(4)4分少

2.20求氢原子2小电子出现在pG,兀/3,兀/4)和p2亿兀/6,兀/8)两处的儿率密度之比。

2.21一H原子波函数有一个径节面，两个角节面，该波函数的主量子数〃和角量子数/各是多少？

2.22以p3组态为例，证明半充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。

2.23以p6组态为例，证明全充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。

2.24证明对于仅是尸的函数的s态灯(/=0),径向分布函数0“可以写作

D"卜)=4病上：

2.25求处于1s态的H原子中的电子势能平均值。

2.26试求氢原子波函数％$的

(1)径向分布函数极大值的半径；

(2)儿率密度极大值半径；

(3)节面半径。

2.27画出氢原子轨道4/43〃2的角度分布图。

2.28画出原子轨道〃0V的角旋分布图在xy平面上的截面图

2.29画出原子轨道取户的角度分布图

2.30求角动量工的3个分量在直角坐标系中的算符£,、£,、

2.31氢原子中处于2幺的电子，其角动量在x轴和歹轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值；若

没有，求其平均值。

2.32氢原子中处于2Px的电子，其角动量在轴和z轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值。

2.33氢原子中处于2p,的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？

2.34氢原子中处于34V，的电子，测量其角动量z分量，得什么结果？

2.35氢原子中处于〃=q%u+。2%1（）（忆％2”都是归一化的）电子，其人和前有无确定值?若有，

求其确定值；若没有，求其平均值。

2.36氢原子中，函数〃=C1%IO+C2〃2U+。3〃31T（〃，匕10，%11，〃3汀都是归一化的）所描述的状态，请给

出其

（1）能量的平均值（以火为单位），能量-（出现的儿率；

（2）角动量的平均值（以方为单位），角动量3方出现的儿率；

（3）角动量z分量的平均值（以方为单位），角动量z分量2%出现的几率。

2.37氢原子中，函数〃=。|%凡+C2%八+。3〃4人（〃，%外,%外,〃4八都是归一.化的）所描述的状态，请

给出其',

（1）能量的平均值（以R为单位），能量-微出现的几率；

（2）角动量的平均值（以方为单位），角动量0%出现的几率；

（3）角动量z分量的平均值（以方为单位），角动量z分量2%出现的儿率。

2.38匕必和〃=%2。+%22中哪些是方的本征函数，哪些是乙2的本征函数，哪些是£二的本

征函数。

2.39函数x+8，X-%是否是算符二的本征函数？若是，本征值是多少？

2.40求氢原子中处于%2i的电子，其角动量，与z轴的夹角。

2.41求氢原子3P电子的总角动量了与z轴的夹角。

2.42氢原子中1=2的电子的自旋角动量与轨道角动量的相对方向有哪些？

2.43用氨原子变分法结果求Li原子的第2电离能。

2.44由氢原子基态能量的实验结果为-79.0eV,求Is电子间的屏蔽系数。

2.45用斯莱特规则求Be原子基组态能量。

2.46求N原子第1电离能。

2.47求C原子第1电离能。

2.48写出Be原子基组态的行列式波函数。

习题详解

2.1氢原子薛定谬方程中的能量E包含哪些能量？

答：氢原子薛定丹方程中的能量E包含电子相对于原子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引

能。

2.2令必尸,&8)=/?(尸)丫(仇夕)=尺什)。(6冲(8)将单电子原子的薛定港方程分解为3个方程。

解：将叭r,仇。)=火(r)丫(仇。)带入定谓方程

,a/2a、ia,.八a、ia22mr~

{—(r2—)+--------(sing——)十-^[E-V(r)]}RY=O(1)

dr3r厂sinOaer1sin20d。2

r1

两边乘以收，且移项，得

乂a)+审(E/=-{--———(sin^—)+―—-^]Y

Rddr力Ysineaeaeysirrea之

令两边等于同一常数夕，于是分解为两个方程：

色(Y且火)+丝二(E—P)火=£火(2)

drdrn

id.ia2y.

------(Sin^—)---,=BoY(3)

sinSae36sin3d(/)~

再令y(令夕)=0(6)①(夕),带入方程(3)

’1①二3[sin畔a。]+—i^。a联~①+侬①=0

singHOd0sin20

两边除以y,移项得

2

id.30Qia中

---------(sin0—)+0=-------

Osineaeae①sirrea。

两边乘以sin?8得

sin。d,.八3€)、o-2132C)

(sin6——)+，sin~0--

~0~d0①d(p2

今两边等于同一常数1),于是又可将方程(4)方程分解为下列两个方程

--———(sin^-0)4-/?sin20=v(5)

sin。d6dd

d1、

——<!>=一〃①(z6)

d(p2

这样我们将关于“(r,仇。)的方程⑴，分解成火⑺,0(6)和①(8)三个常微分方程(2),⑸和(6),于

是,解方程⑴归结为解方程(2),(5)和(6)。

2.3氢原子薛定谭方程是否具有形为-=(l+")e"的解？若有，求。、6和能量从

证明如下：由于“只是r的函数，故方的本征值方程为

力21d/24、„

2me广dr

t七小〃2d“2m,E2me1C

或者T~+--—+——

drrdrh2

hrbrhlhr

式中=ae~_3(1+ar)”"=ae~-be~-abreT

dr

续=-abe-hr+b2e-hr-abe-br+ab2e-hr=-2abe"+b2e-br+e-hr

dr2

代入且除以e』

2

2mEe_I2meEar2mee2mee%

—2ab+b2+ab2r4---------------2ab++,+=0

rr力2方h24密片4码方,2

上式为恒等式，所以有：

.,,2mE2m,e2a八

-4ab+b27+—+—£~-=0(1)

ft24%£。力2

+也粤=onb?+邛=0⑵

方2方2

2a-26+2'"£=0⑶

4乃£0方

,,2me2a八

(1)-(2)得:-4abH----------7=0,即z>=&J

4在0%一8%方-

4

力2/n2e4me_R_

将b代入(2),E=-e

1284&2方2

2me

222

2wee_2mee2m,e

将b代入(3),2a=2b—

4%方28%力24西方24庇0^

2

mee1

a------'~7

8密方/2a0

»,R=4

式中&=-

"一32万&2%2

1

2。()

2.4若取变分函数为。=e-“，式中。为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量和波函数。

Hi//dT

解:

〃*照-222ar

J7=je®,4"24r-4兀\re~dr

根据积分公式^xne^a'dx=—

oa

有［r2e-2codr=二^1

」(2a)34〃

2ar

\re-dr=-^~=1

J(2a)24a7

因为丝=—这”，

dr

2d、e1

Hi//dr=jc”{一H------)一}ear^r2dr

rdr4在

2万方22I(2-lar14%力2f

------a[redr-\--------are~lardr-—Lre2ardr

九,叫。J

27rh214加1__d1

------a~2■—+------a-

r4〃£0〃

me4ame4

万方217ih21e21

------------1------

2mea4/a2

万方21万力21e21

-------1----------2

^Hy/dr2mama4fae242e

ee0工上唐+心-----a------a2------a

7t

^y/dr2m«me4码2me4在。

/

2

d一E方..2夕八1

-----=0，a=­匕

—=——a4把c方2

dame4冗£。

y二e"

将〃归一化得到:

为22

E222-R

2me1642£。2方44雁04兀£尸32%&2方216^£0^32万&2方2

2.5取变分函数为0=e-k,式中a为变分参数，试用变分法求H原子的基态能量，并与其1s态能量

对比。

解：氢原子的哈密顿算符为

力2(『।2d)/

//=--V2--—

2m4密尸2mdr~rdr4密厂

[①*方①"

；

%=-[r—①-①--八---

式中J①*①d?=\e~2a，4加2dr=4兀'r2e2arldr

135・・・(2〃-1)hr

按积分公式：\xlne-m2dx

02a7

e-a"=4〃/9“一—2ae"

'①*方①以=^2-d\————)e-ar2-4^r2dr

J2medr~mjdr4^r0r

按积分公式

1

4a

2

3万力兀1e

f①H①dT2a4与a3h2

*J----—.-------a-

J①④dr71712?

2a\2a

令要=0,得到：a=m：/

da18炉片方4

4(4

lmemee

E----1--2--%[Wc力2、R=32/府,

QQ

=--7?=—£,=0.849£,

3r〃r3〃1sIs

因EVO,E}x<0故£>稣.

2.6分别求氢原子15电子和2s电子离核的平均距离卜）,并进行比较。

解：1s电子：

⑺=—人dr

兀a。J

积分公式，

na

2s电子:

2

〈I」公2-—)rV2r/2tfMr

'/32万若%

=^-ye~raQdrJre~,>a<idr+-^-^^re~,a()dr

13!__1_4!15!

2%(，)42a：8a；(—)6

44a。

_6%24%5x4x3x24。

2-8~

=(3-12+15)%=6%

2.7求氢原子2P电子离核的平均距离⑺。

解：三个2。轨道上的电子离核的平均距离相等，下面用2n求解

甲”=」=(,产淅仔。)郎。

p-4历a。

6=\中细内邛户stnedrdBd</>

2.8波函数匕心有多少节面？用方程把这些节面表示出来。这些节面将空间分成几个区域?

解：径向节面：〃-/-1=3-2-1=0；角度节面：/=2

%,2,o=%"，=°](>)2r2e-r,^Ocos26-1)

•81J6)&

3cos20—1=0,cos20=—,cos。=±0.577

3

仇=54.7°,%=125.3°

这2个角度节面将空间分成3个区域。

2.9验证氢原子波函数以和％凡是正交的，匕p,和％八也是正交的。

证明：(1)也和巴幺是正交的：

dT=f-^(—)3/2e-r/<%.—)5/2re-r/(2a«)cos^-r2sinedrdOd(t)

J一：442兀/

i上

—)4r2e24cossin0drdOd(!)

[3rzr

(—yr％2a°dr\cQS0s\n0dO

0。o

|SIf

=27----产--------fsinedsine=O

4万0(」)4/

2«o

•/jsin0dsin0=—sin20=0

、oL2Jo

(2)5**-PFx和匕'^夕ry是正交的：

J-2p,夕2p、"c二J’22%sin^cos^recos。•尸2sin0drdOd(p

i

=jr4e如sin20cos(p-CQS0drdOcl(p

2乃“8_Lr

=jcos^t/^jsin2OcQsOdOj/<4e与dr

000

=0

24

(•/Jcos(pd(p=[sin湾=0)

o

2.10求氢原子2p和3d电子儿率密度最大值离核的距离丫。

解：(1)三个2夕电子几率密度最大值离核的距离相同，下面用2“求解。

=—^(-1产版“3。)cose

p：4岳a。

P=1"2八『=3(')中""。。cos20

32〃aQ

细=—(―)5<2r-—r2cos20=0

dr32%Q°a()

1

(2r-—r29)=0

%

r

r(2——)=0

%

r=2ao

(2)5个3P轨道离核的平均距离相同，下面用3心求解。

=-4=(-)7/2rV^(3cos^-l)

•8W6万%

P=1|2=-^—(-)7r4e-2r/3a»(9cos46-6cos?6+1)

/81-6〃a0

—=―——(―)7(4r3--—r4(9cos46-6cos2^+1)=0

2

dr81-6^a034

2

4r3-r4=0

3ao

7

r3(4---r)=0

3%

r=6。0

2.11求氢原子2Pz电子出现在e<45。的圆锥的几率。

解：%凡=&G)%

广山fin

展"I(%Q2r2sin9drd0d（!）

l兀2乃

=II（R2"丫户sin6d『ded@

=[R；[/dr,『以sinOdOd（l）

=Frosin创创。

夕）2sinOd0d（!）

36、

-----x2万卜cosCdcos。

4〃小

=-|X|[COS3<-=-1{（^）3-1}

=---=0.323

28

2.12求氢原子电子出现在60°的圆锥内的儿率。

解：+30=42（〃）。2（8。），丫3仇鹤=底（3852。-1）

g60In

2

%=jJ|Rl2（r）Y^2rsin0drd0d（l）

0J=00=0

R；式r）是归一化的，即J%。,改=1

0

602乃

所以，W=jjYJ_2smOdOdf/）

e=oo=o

60q2乃

J-----(3cos28-1)sin0d0jd(f)

6=00=0

S60

-——-XZTIf(9COS4^-6COS20+Y)s\n0d0

16%其

AC60J。60560

—fcosVsinSde——fcos2^sin^+-[sinOdS

JJJ

8°e=o08e=o806=0

45606060560

-----jCOS4^(7COS^4--JcosWdcos。——|dcos0

80=Q8〃=o8j：。

451cos*

=-----1--------r+yt^r-jteosc

85

cos60"=L

cos0=1

2

“，451]、30.1i、5,1i、

W=(z1)+—(—1)—(—1)

403224882

=-4-5-x-3-1---3-0x-7-1—5

40x3224x816

=-1.0898-1.0938+0.3125

=0.3085=0.309

2.13比较氢原子中2Px和2Pz电子出现在相同半径圆球内的儿率大小。

解：%"=―二(」-严松一蹴2顼)5缶%05夕

4427c4

-Z2兀/

函数的径向部分相同，所以出现在相同半径圆球内的儿率大小相等。

2.14比较H中2s电子，He*中2s电子和He(1，25|)中2s电子能量的大小。

解：E=_(z?R

n

H的2s电子：4s(4)=_.；?)xR=-：R=—0.250R

+(20)

He卡的2s电子：E2J(He)=---xR=-R

235

He的2s：E2V(He)=_(-^)xR=_0.68

+

E2s(H)>E2s(He)>E2s(He)

2.15求氢原子第2电离能。

Z2

解：12=—E+=—(——X13.6)

en

Z=2,n=\

22

I2=-(-^-xl3.6)=54.4eV

2.16实验测得O7卡的电离能是867.09eV,试与按量子力学所得结果进行比较。解:

y2Q2

E=一一-/?=--xl3.6=-870.4eV

术I2

/=-£=870.4eV

211

计算值比实验值大3eV,约上一=3.8x107=038%

867.09

2.17实验测得C5+的电离能是489.98eV,试与按量子力学所得结果进行比较。解:

„Z2R62X13.6.,..

E=-----=------------=-48O9A.6eV

n21

/=-£=489.6eV

沪苦489.98-489.81____

底差：------------=0.037%0/

489.98

2.18不查表，求巴小的角度部分。

解：/=2

为#=小曲警处皿jin3

“rr

因为sin9cos9=；sin2e

只考虑角度部分〃=sin2esin2Q

2.19不查表，给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)

(1)2%(2)3s(3)独(4)4452

比C。.,

答：(1)2p,1I=1,YV=—X=-r-s-i-n--O--c--o--s--=sincos

x2Pxrr

(2)3s,1=0,%=[=1

r

/)、r.xrsin^cos^.八,

(3)3Px,7/=1,Y=—=-------------=sinCeos。

P3xrr

(4)44x,-y2，1=2,

vx2-y2(rsin0cos(p)2-(rsin0sin(p)1

Y=

3d-2一尸,=—尸—---------------------尸2------------------

=sin26cos2(p_sin2^sin2(p

=sin2^(cos2(p-sin2夕)

=sin26cos2。

2.20求氢原子2px电子出现在pi(r,7i/3,7i/4)^llp2(匕兀/6,兀/8)两处的几率密度之比。

解：为"=—^=(—)52re-r/(2</0)sin0cos(p

x4j2乃旬

-si.n2—乃cos2—万

.二——------^=1.757

22

22sin—cos—

68

2.21—H原子波函数有一个径节面，两个角节面,该波函数的主量子数〃和角量子数/各是多少？

解：1T

1=2

A7=4,/=2

2.22以p3组态为例，证明半充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。

证明：［方法一］:.

工sin。cos夕

+p,=R£r)Yp,=R"(r)

4%

I3

*，=&4%=&卜)——sinOsin。

4"

中生=凡/什)4=凡/什)Jocose

3

p=*j)++:++；_="R：/(〃)(sin2Seos?8+sin?Osin?夕+cos28)

=/(厂)[sin?夕(cos28+sin2(p)+cos20]

=/(r)

3，

Y

［方法二］七,=此内叫=凡心》；

中p»=R“k)Yp、=R，r)k；

*p：=R4)Yp：=R4)k；

222

町+”.+町=R'r)k''+；；+z=H*(r)

2.23以/组态为例，证明全充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。

证明方法参考2.22题。

2.24证明对于仅是r的函数的s态%,(/=0),径向分布函数2,可以写作

2

D„/(r)=4^Vw

2九兀

ff^r2sin0drdOd(l)>、

证明：。,忒〃)=?=普一--------=生产=4"2匕

drdrdr

2.25求处于Is态的H原子中的电子势能平均值。

2

积分公式「x"e~mdx=々p

(V)=——--=-2R=-27.2eV

4w°

2.26试求氢原子波函数〃2s的

(1)径向分布函数极大值的半径；

(2)几率密度极大值半径；

(3)节面半径。

解:⑴26)=4加2%

倏=0,即—{r2(2-—)2e-r/fl»}=0

drdr%

r~-+4a；=0

r=3Q()±V5(70

rx-5.24%,r2=0.76a。

“即，2}=。

Y1r.1

2(2-L)(一上为一人+(2--)2(-—=0

。0aoaoao

2(2--)(--)+(2-—)2(」)=0

a。4%%

尸2r1.

(2---)[(--)+(2----)(---)]=0

%%4%

r4r

(2---)(---+-)=0

。0%。0

Aj—4^/0，/2~2a0

弓二%,为极值而非极大值，应删去，故极大值为4=4%。

-4=j-Q(2—二)e—=o

（3）使以=

4V2^^a0Ja0

得到：r-2a0

2.27画出氢原子轨道的角度分布图。

板v5(rcos(9)-3(rcos(9)r_„_„

解：％=---------23。

3r------------=5cos6-3cos

”_3#2r

=cos^(5cos26-3)

(i)节面：令y,=o,

cos6(5cos20-3)=0

由cos6=0,得q=90°,

由5cos2。—3=0,得cos。=±小筵=±0.775,

2=39.2°,2=140.8°

dYf

(2)极大值：一5?-2=-15cos2esin6+3sin6=3sine(l-5cos26)=0

dO

4=o°,a=634,q=116.6°

(3)作图：按，=cosd(5cos2。-3)算出不同。值时的，值，如下表所示

J5^-izr2J5z2-3zr2

6(度)0153039.2456063.47590

180165150140.8135120116.6105270

匕±2±1.608±0.6500+0.353+0.875+0.894+0.6890

；±1±0.8040+0.177+0.438+0.447+0.3450

Y&2_3，±0.325

在XZ平面上作图，所得之图形如下图所示

2.28画出原子轨道帆工的角度分布图在xy平面上的截面图。

版rsin（9cos"

W：Yv=-------------=sin^cos^

xr

在xy平面上，=sin。=1,Yp-cos(p

(1)节面：令人=cos(p=Q,(p=%

dY

(2)极大值：一丝=-sin9=0,(p=0,兀

d(p

(3)作图：按％,=cos夕算出不同°值时的丫值，如下表所示

夕(度)22.54567.590112.5135157.5

0337.5315292.5270247.5225202.5180

10.9240.7070.3830-0.383-0.707-0.924-1

在xoy平面上作图，所得之图形为相切于原点的两个圆，如下图所示

2.29画出原子轨道的角度分布图.

2

解：＞='^-(3COS^-1)

16%

i)节面:令

(3cos'。-1)=0

cos。=

O

g=54044；%=125°16'

即的节面为8=54°44和125°16'的二个锥面。

中虚线所示。

ii)极值：

智=震/熹(3C-1)

cos0sin9—0

coaff=09=90。此为AT平面

sin8=06=0°,180°,此为Z轴的正负方向。

因此,n：2在%轴正负方向，及XY平面上的任一方向有极值。

当6=0°和180°时，匕/=^^

当8=90°时，%;后

iii）正负号问题:在0<8<54°44'和125°16'V0V180。的区

域内，旷>0,在54°44'V6V125°16'的区域内，Y<0o

iv）作图:

015304560

0

180165150135120

Y±0.6306±0,5672士0.3957-LO,1576一0.0788

y，1.0士0.8995士0.6250±0.2500-0.1250

758085

090

10510095

Y-0,2519--0.2868・0.3081-0.3153

Y,-0.3995一0.4548-0.4886-0.5000

因为y不含变量弧因此可在X，平面上画出曲线

(3cos20—1),

然后将此曲线绕多轴旋转一周所形成之曲面，即为原子轨道右的

角度分布。

2.30求角动量1的3个分量在直角坐标系中的算符。、£、,、L.o

▲J/

解：

L=rxp

-—

iJk

=xyz=Lxi+Lyj+L:k

PxPyPz

Lx=yp「zp，,Ly=zpx-xp:,L=xp「yPx

在量子力学中，把动量算符化

Lx=yp:-我，Ly=zpx-xp:,L=xpy-yp:

人dddddd

L=-ih(y--z—),L=-ih{z--x—),L=-iti(x-—y—)。

xozdyvoxdzzdyox

2.31氢原子中处于2p_的电子，其角动量在x轴和y轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值；若

没有，求其平均值。

解：W2P.=R"&)Yp=女与")cos8

人dd

Lcos。=%(sin(p——+ctg0cos(p——)cos8=-ihsin9sin0

aed(p

人aa

Lcos0=诙(一cos(p—+ctgOsin67—)cos0=ihcos夕sin6

vd3d(p

角动量在x轴和y轴上的投影均没有确定值。

&)==J[左火2,1⑺cos。]*.押21(r)cosr2sin0drdOd(f)

二公]「sin0cos0Lx(cosO)dOd(j)

=左])1-z%sin°sinesin8coseded0

=-itik2]"sinsin20dsin6=0

2

„二J%,Z〃2pdt=J[Zr7?2j(/")cos0^Ly[kR2](r)cos0]rsinOdrdOdcp

2

二8(R^](r)rdrjjsin^cos0Lvcos3d0d(p

二42『「sin8cos0LVcosOdOd(p

=itik2『「sin。cos。cos8sina/仇/°

=ihk2jdsin(p[)sin2Odsin0

=z^2[sin^[-isin3^

=0

2.32氢原子中处于22的电子，其角动量在x轴和歹轴上的投影是否具有确定值？若有，求其值;

若没有，求其平均值。

52r/(2flo)

解：WZD=—(―)re-sin0coscp

4427raQ

/、人33

(1)Lsin0coscp=z^(sin(p---\-ctg0cos(p——)sin^cos^

xaea(p

=法(sin3cos8cos夕一以g。cos°sinOsincp)

=访(sin8cosCeoscosCeosesincp)

=0

所以，角动量在x轴上有确定值，4=0。

、人aa

(2)LsinSeos(p=访(-cos(p-----\-ctg0sin(p——)sinSeos(p

aed(p

cos0

=cos(pcos0cos(p---------sin(psin6sin(p)

sin8

=ih(-cos2(pcos0-cos0sin2(p)

=-ihcos6

所以，角动量在y轴上无确定值。

(3)L.srnOcos(p=-ih——(sinlcos夕)=访sindsinG

d(p

角动量在z轴上无确定值.

2.33