平面向量及常见题型

平向及见型向知点☆向：长为0的向量记为0，其方是意的0与意量行☆位量：模为1单长的量

向为位量a＝☆行量共向：向相或反非向行量称共向☆量法

=向加有三形法”“行边法”：ABCD☆数向的：

QR

，这必“尾连．①实数与向量的积一个向量记作λ，的长度与向规定如：（Ⅰ）；（Ⅱ

时

的方向与

的方向相同

时

的方向与

的方向相反

0时

a

0

，方向是任意☆两个向量线定理：向量与非零向共线有且只有个实数，使b=☆面量基定：

a如果e,是一个平面内的两个不线向量，么对这一面内的任向量，有只有一对实,212

使：

，其中不共的向量

,e叫表示这一平面内所有向的一组基☆平面向量坐标运算(1)若

x,bxy112

，则

a,y212

，

121(2)若Axy,x，则x211

(3)若a=(x,y)，则

=((4)若

x,bxy112

，则

//bxy122(5)若

x,bxy，则a，x011221☆向量的运向量的加法，数与量的乘积，向量的数量（内积）及各运算的标表示和质

a2222a2222☆两个向量数量积：已知两个非向量

与

，它们的夹则a

·

=︱

︱·︱

︱os

叫做与b的数量（或内积规定

☆向量的投：︱

︱=∈R，为向|

在

方向上的投投影绝对值称射影☆数量积的何意义：

·

等于

的长度与

在

方向上的投的乘积☆向量的模平方的关：

2a☆乘法公式立：

a

；

a

aa

2☆向量的夹已两个非零量与作=,=,则∠AOB=（

0

180

0

叫做向a与

的夹角coscos,b

=

xy12xyy12当且仅当两非零向量

与同方向时θ=00，当且当反方向时=1800，时与其任何非零向量之间不谈角这一问补充：线段的定比点设是直线12

l

上点，点l上且不同于P、，若存在一实数PP，则叫做分有向线段1所成的比（，P在线段内，，在P外），且1122

xy

x121y121

，P为中点时，1

xx1yy1如：ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y

1

1

2

2

3

3

xyyxyy则ABC重心的坐标是2，1233经典例题

例1．已知

是

所在平面内点，

为

边中点，

且，那么（）Ａ．ＢＣ．Ｄ．命意:本题考查能够合图形进向量计算的能力解.故选A．例2．在平行边形

中，，M为BC的点，则______.用

表示）命意:本题要考查向的加法和法,以及实与向量的积.解：

由

得，，

所

以。例3．如图所，D是△ABC的边AB的中，则向量()（A）（B（C）（D）命意:本题要考查向的加法和法运算能.

解：，选A.例4.平面向量、、

的和.果向量、、，满足且

顺时针旋转（A）（C）

后与

同向，其中，（）（B）（D）命意:本题主要考向量加法的何意义及量的模的角等基本念.常规解法：重合，故

，∴，应选D.

故把2(i=1,2,3)，别按时针旋转30后巧妙解法：

，则，题意知，从而排除，C，同理除A故选D.点评：巧妙法巧在取，使问题简化.本题也通过画图利用数结合的方来解决

例5．设向量与

的夹角为，，，

则_．命意:本题要考查平面向量的坐标算和平面量的数量,以及用平向量的数积处理有角度的问题.解:设，由得∴

时，，故填例6．已知物线

的焦点为F，A、B是抛物上的两动，且（），过A、两点分别作抛线的切线设其交点Ｍ．（Ⅰ）证明

为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积S，写出

的表达式，求S的最小值．命意:本小题主要考平面向量计算方法和锥曲线方程以及函的导数的用等基本识考推理和运算力.解：(Ⅰ)由已知条件，

，

．设，由，得

，则

，．即将（）式两平方并把

，

代入得（3）解（）（3式得，，且，抛物线方程，求导得．所以过抛物上AB两点切线方程分是，

即，．解出两条切的交点的坐为∵，所以

即．所以

为定值，其为0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，⊥AB，，，因而．因为|AF|、分等于、B到抛线准线y1的距离所以于是，由

知S≥4，且当1时，S取最小值4．

向量常见题型类型（一）向量的夹问题1.平面向量a,b，满足ab且满足

b

，则

a与

的夹角为2.已知非零量ab满足

则

a与

的夹角为3.已知平面量a,满)4

且，则与b的夹角为4.设非零向

a

、

、

c

满足

|a|c|,b

，则

5.已知

类型（二）向量共线题1.已知平面向a量

b

b，则实数

x2.设向量

与向量

共线，则

3.已知向量A-2

a

bB．C．1D2

平行，则实的值（）4.已知向量k,12),(4(,10)，且A，，C三点共线，则k_____5．已知a

=（1），=（-3，2）若a+2与2b共线，实数k的值6．已知，c是同一平内的两个量，其中类型（三）向的垂直问

=（1，2）

2且∥，求的坐标1．已知向量

且ab

，则实数的值为2．已知a

=（1），=（-3，2）若a+2与2b垂直，实数k的值3．已知

垂直的单向量的坐。4.已知向量

向ab直，则实数为5.

,2),若6.a，若向量c满足于（b，，___类型（四）影问题

abaaba1．已知与b的夹

23

，则向量b在量上的投为2．在Rt△ABC

中，

2

,AC4,则ABAC3．关于

b

c

且

a0

，有下列几说法：①

a)

；②

b

；③ab④在a方向上投影等于c在a方向上的投；⑤

b

a；⑥其中正的个数（）（）4个（B3个（）2个（D）1个类型（五）向量的模问题1.已知零向量

a2，b2.已知向量,b满足

ab2,，3.已知向量

，

(,0a4．已知向量

(1,sin

),

的最大值为6.设向量，满足

及a，

的值类型（六）面向量基定理的应问题1．若=（，1），=（，），c=（-1，），则等于（）(A)

13(B)ab22(C)

3131(D)b222.已知

3.设

,e

是平面向量一组基底则当_____,_____，1

04.下列各组量中，可以作为基底的是（）(A)

(0,0),

(1,

(B)

1,2),

(C)

(3,5),

(6,10

(D)

2),

(

,5.

(A)

3a

(B)

3

(C)

b

(D)

a

xx类型（七）面向量与角函数结题1.已知向量

m

(2sin,cos)

x，,3)，设函f(x)⑴求函数f()

的解析式（2）f(x)

的最小正周；（3）0求f(x)

的最大值和小值．2.已知

ABC

的三个内角A、B、C所的三边分是a、、c，面向量

m

(1,sin(B

，平面向量(sinC),1).（I如果c2,C

且的积求a值；（II）若

m

,

请判断

ABC

的形状