暑假四拓第13讲游戏与对策一教师版

（一知识点拨学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。是研究具有或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的的预测行为和实对策问题的3个最基本要素①局中人：在一场竞赛或中的参与者，他们为了在对策中取得例例题精基础【解析 甲一定获胜每次可取1~3根，则甲、乙每轮所取的火柴之和总可以凑成4例如，乙取根，甲就取3根；乙取2根，甲就取2根；乙取3就取根因 2甲总有相应的取法使得这一轮里火柴共被取走4根，所以甲必定可以【例2】桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走根至3（）规定谁【分析 本题可以用逆推分析法（）如果甲要能取到最后4这样无论乙取、2或3根，甲都能取到最后根，463415 设乙取nn1或2或3甲只需取（4n）根，必然甲取到最后根，甲获胜。（2）5根这样无论乙取、2或3根，乙都能取到最后根，以此类推，甲只要每次留给乙的都是4的倍数加，则乙必然取最后6314 2，所以甲必须先取2然后无论乙每次取几根（假设乙取nn12或3（4n）必然乙取到最后根，甲获胜。【例3

239动2个、4个或6个洞，谁先将球移入洞【解析 由题意可知

需要移动99198个洞才能将球移到最后一个洞而甲乙两人总能将移动个数凑成8，而988 2，所以若甲第一次顺时针向移动2个洞，此后乙每次顺时针向前移动2个、4个或6每次顺时针向前移动6429中获【例4】两人一起写一个由五个数字、2、3、4、5组成的30N，第一个N能被9整除，则算第二个人胜，若不然，则算第一【分析 若第一个人写的数字是、2、3、4、则第二个人写的数字对应的是5、4、3、2、，即相邻两个数字之和是6这个30N的各个数位上的数字之和为302690，是9的所以30N是9拓展个73个球，另一个箱子中有118个球。如果甲先取，谁有必胜的策略？请说明理由。 甲第一次只要从装有118个球的箱子的中取出1187345个球后，【解析 采用“对称”思想【例7】一个圆周被任意地分成9那么两人中谁有获胜的策略？说明理由。【解析 采用“对称”思想【例8】如图是一副“1999”棋，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方。规定：左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能在对方有棋子红黑红黑红黑红黑红黑红黑999【解析 甲先走第二行（或第三行或第四行）的8步以后，当乙走某行的n步时，甲就走对应行的n步，总保持前两行相【例9】在44的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。、两上方移动一格，谁把石子移到右上角取胜，问要取胜的策略是什么？【解析 ，先占领打点的格子无论如何走都可以再走入打点的格子，，到顶格，谁把棋子走进顶格夺取，谁就获胜。应如何取胜？ A（如果自己抢到A,对方只能走进其中一个篇 【解析 必胜方法：先拿者每次拿后使剩下的棋子数能被3整除。这样，对拿后剩下的数一定不能被3整除，由于 者再拿时又一定能使剩下的数被30能被3【例12】有三堆棋子，第一堆20粒，第二堆1粒，第三堆9 甲获胜。数列1、2、4、8、16、32、……中的数叫做胜利因子，可以表示为2n（nN第一堆20164，第二堆1284，第三堆981。现在有成对出现的胜利因子（88）和（44，不成对出现的胜利因子16和1甲在最大的不成对出现的胜利因子16所在的第一堆棋子中取走15粒，剩下541，（（1，1，【例13】甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2357中的一个，把两人√√√√√√√××√√√√√√√×√√√√√√√××√√√√√√√××根据观察，很容易发现循环周期是9。99~1正好是11个完整循环，因论乙报什么，甲都选择一个合适的数，使得加起来的和保持除以91或余2“的情况是最后一 ○乙胜的情况是“最后一行有个“× 【分析 这是一 ）的一道题但有 行要个全是①乙 甲填

填或8或10时②乙填1或3或7或9，甲填或6，且甲尽早地填和6所以若甲第一步填在标号为5的方格中，甲胜⑵若甲第一步填在标号为或6①乙填的不是5，甲填5，甲胜②乙填5，甲填和6中的另外一个，乙填10，甲填3综上所述，甲先画，他要取胜，第一步应填在标号为5、、6的：A桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根。规定谁取走最后一【解析】“谁取走最后一根火柴谁输”可以理解为“谁取走倒数第二根火柴谁胜”，然后方法同例2，(60113143，甲先取3根，当乙取有这样一个游戏：把100根火柴堆在一起，两人轮流取火柴，每人每次最少【分析 本题可以用逆推分析法这样无论后取者取1~10根，先取者都能取到最后1取最后1根，先取者必胜。 1，所以先取者必须先取1然后无论后取者每次取几根（假设乙取nn1~10【解析 2015(15) 5，所以甲先取5个，一定获胜 空格。只要甲始终留给乙(17)8的倍数加1格，就可获胜。(11111)(17)138 6所以甲第一步必须移5格还剩下1105格，数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数是8的倍数加1。B 先取最下面一排的6个苹果，这样对方只能取最下面一排的最后一个苹果，同样你再取第三排的5个苹果，对方也只能取这一排剩下的个苹果。再取第二排的4果。最后你可以把第一排的4如图五角星上共有10个交点和15条小线段甲首先将一枚棋子放在A点上， 走回相邻的角上去，角上的点是5个，中心点也只有5个，最后必然是两人做一种游戏：轮流在99的方格表中画十字和圈。先开始的人画十字，其【解析】将第一个人称为甲，第二个人称为乙。甲先在正中间的方格中画上十黑板上写着一排相连的自然数12381。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜【解析 若甲先划，只要把中间3个数，即40、41、4划掉，这样就把这排C在55的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙两人玩游戏， 有一个33的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片上分别写有13、4、5、67、8、9、10九个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放A、BC、D这四格中的数有关ABDC（A格或C尽可能地将小的数字填入B格或D格。由于11039，甲应先将1放进B格。接下来，如果乙把10放进D格，甲再把9放进A格。这时不论乙怎么放，C格中一定放有大于或等于3的数，因而甲方一定获胜；如果乙把3放进A格，甲方只需将9放进C格，甲方也一定获胜在右图的55方格中，甲、乙轮流在方格里涂颜色。每人每次只能涂构成长法【解析】甲第一次涂的长方形中一定要含最中间的一格，并使未涂的部分关于法 取1张，谁手上的三张卡片数字加起来等于，谁就取胜。问保证不败的对策是【解析 中选三个数使得和 24、；③258267348357；⑦4、5、6；⑧1、6、8。每个人要保证不败，就应使对方不能（1）（2）从上面八组数中看出58组数中出现的次数最（共4次只剩下2、4、2、6、7