北师大版-必修五-第三章 不等式-§3 基本不等式“十校联赛”一等奖

《基本不等式》随堂练习一、选择题1．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+4xB．y=sinx+4sinx（0＜x＜C．y=eD．y=log3x2．已知f（x）＝x+1x-2（x＜0）,则f（x）的（A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为-4D．最小值为-43．设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值（+1）2C．ab有最大值+1D．ab有最小值2（+1）4．设a>b>0，则a2+A．1B．2C．3D．4二、填空题5．若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是．6．当a＞1时，4a-1+a的最小值为7．已知关于x的不等式2x+2x-a≥7在x∈（a,+∞）上恒成立，则实数a8．某商场中秋节前30天月饼销售总量f（t）（单位：盒）与时间t（0＜t≤30，单位：天）的关系大致满足ft＝t2+10t+16三、解答题9．（12分）已知a，b，c∈（0，+∞），求证：++≥a+b+c10．（12分）求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，）的最大值．11．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求+的最小值．12．（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？13．（12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）．（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．参考答案一、选择题1．C解析：A项，y=x+4x≥4或x+4x≤-4，∴A项不正确；B项等号不能取到；D项，y=log3x2．C解析：∵x＜0，∴-x＞0，∴x+1x-2=-[（-x）+1-x]-2≤-2·-x·1-x-2=-4，等号成立的条件是-3．A解析：∵ab-（a+b）=1，ab≤（）2，∴（）2-（a+b）≥1，它是关于a+b的一元二次不等式，解得a+b≥2（+1）或a+b≤2（1-）（舍去）．∴a+b有最小值2（+1）．又∵ab-（a+b）=1，a+b≥2，∴ab-2≥1，它是关于的一元二次不等式，解得≥+1，或≤1-（舍去）．∴ab≥3+2，即ab有最小值3+2，选A．4．D解析：a2++=a2-ab+ab++=a(a-b)当且仅当a（a-b）=1且ab=1，即a=，b=时取等号．二、填空题5．（-∞，-2］∪［6，+∞）解析：∵ab≤a+b22，∴ab=a+b+3≤∴（a+b）2-4（a+b）-12≥0，即［（a+b）-6］·［（a+b）+2］≥0，∴a+b≥6或a+b≤-2，∴所求a+b的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）．6．5解析：+a=+（a-1）+1≥2+1=5，当且仅当=a-1，即a=3时取等号，所以+a的最小值为5．7．32解析：因为x＞a，所以2x+2x-a=2（x-a）+2x-a+2a≥22x-所以a≥32，即a的最小值为328．18解析：平均销售量y=ftt=t2+10当且仅当t=16t，即t=4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18三、解答题9．证明：∵a，b∈（0，+∞），∴+b≥2=2a，同理+c≥2=2b，+a≥2=2c，当且仅当a=b=c时，上述三式均取“=”．三式两边分别相加得+b++c++a≥2a+2b+2c，即++≥a+b+c．10．解：∵x∈（0，），∴5-3x＞0．∴f（x）=2x·（5-3x）=［］2≤·（）2=．当且仅当3x=5-3x，即x=时，等号成立．故f（x）的最大值为．11．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，所以+=+=1+2++≥3+22yx∙xy=3+2．当且仅当=且x+2y=1，即x=-1，y=1-时，取等号．所以+的最小值为3+2．12．解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy．由题意得40x+2×45y+20xy≤3200．由基本不等式得3200≥240x∙90y+20xy=120+20xy=120+20S，∴S+6≤160，即（+16）（-10）≤0．∵+16＞0，∴-10≤0，从而S≤100．因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是1513．解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x元由题意得f（x）=36x·4+k·20x．由x=4时，f（x）=52，得k=1680=QUOTE15．∴f（x