第三章 立体的表面交线

第三章立体的表面交线第1页，共54页，2023年，2月20日，星期三返回第2页，共54页，2023年，2月20日，星期三返回第3页，共54页，2023年，2月20日，星期三空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体：表面由平面围成的几何体。曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体。平面立体曲面立体第4页，共54页，2023年，2月20日，星期三截交:平面与立体相交，截去立体的一部分。平面与立体、立体与立体两两相交形成不同的表面交线，可分为两大类：截交线——截平面与立体表面的交线。第5页，共54页，2023年，2月20日，星期三相贯:两曲面立体相交。相贯线——曲面立体与曲面立体表面的交线。第6页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.1平面立体表面的截交线3.1.1概述

2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。

3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，

多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。截交线的性质：

1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。第7页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.1.2平面与平面立体截交线的求法：A.求各棱线与截平面的交点→线面交点法B.求各棱面与截平面的交线→面面交线法求截交线的步骤：1)空间及投影分析2)画出截交线的投影a、截平面与立体的相对位置:确定截交线的形状。确定截交线的投影特性。b、截平面与投影面的相对位置：分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。第8页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例1]四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。321(4)3●2●4●1●3●2●4●1)空间分析1●2)投影分析3)求截交线4)补全棱线的投影检查:尤其注意检查截交线投影的相仿性SSS截平面与体的几个棱面相交？截交线的形状？采用的是哪种解题方法？四边形线面交点法第9页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例2]求P、Q

两平面与三棱锥截交线的投影。1"解题步骤1)分析:截平面为正垂面和水平面，正面投影积聚；2)求出点1、2、3、4；S"sa´aa"b´(c´)b"bcc"PvQv3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；S(3)223143"2"4)补全轮廓线。

414"第10页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例3]已知立体的V、W投影，试求其H投影。第11页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例4]已知主视图和左视图，求俯视图。第12页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.2曲面立体表面的截交线3.2.1概述回转体截切的基本形式

平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。

截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成。

求回转体截交线，常利用积聚性或者辅助平面以及投影变换的方法。第13页，共54页，2023年，2月20日，星期三求平面与回转体截交线的一般步骤：⒈空间及投影分析分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：*光滑连接各点，并判断截交线的可见性。*先找特殊点，补充中间点。第14页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.2.2圆柱的截交线

平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。第15页，共54页，2023年，2月20日，星期三圆柱的截交线第16页，共54页，2023年，2月20日，星期三多个平面截切立体时，要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。[例1]圆柱体被P、Q

两平面截切，试完成其三视图。

1)空间及投影分析3)求截交线。2)分析圆柱体轮廓素线的投影。截平面与立体的相对位置；截平面与投影面的相对位置；解题步骤保留动画确定截交线形状为矩形和圆弧。acbdePvQveb(d)a(c)ea(b)

c(d)第17页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例2]圆柱被正垂面截切，试画出三视图。1．分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚，侧面投影和水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点a、b、c、d；3．求出若干个一般点e、e1；4．光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；5．补全轮廓线。解题步骤第18页，共54页，2023年，2月20日，星期三截平面与圆柱轴线的倾角为β，其交线的H投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随β的变化而变化。截平面与圆柱轴线成45°时,投影为圆。第19页，共54页，2023年，2月20日，星期三(1)作圆柱的W面投影图平面与圆柱体相交举例之一

[例]如图a，根据V面投影和H面投影补出立体的W面投影。a)题图

解：

(2)作左切块上的投影第20页，共54页，2023年，2月20日，星期三图平面与圆柱体相交举例之一(3)作下部通槽的投影第21页，共54页，2023年，2月20日，星期三(4)判别可见性，整理、加深完成全图图平面与圆柱体相交举例之一第22页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例4]空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。第23页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例4]空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。第24页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.2.3圆锥截交线

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。第25页，共54页，2023年，2月20日，星期三圆锥的五种截交线第26页，共54页，2023年，2月20日，星期三图3.9平面与圆锥体相交举例[例]补全立体的三面投影。ⅠⅡⅢⅣⅤ辅助平面纬圆辅助平面第27页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例3]圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。第28页，共54页，2023年，2月20日，星期三圆球的截交线总是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。3.2.4圆球的截交线第29页，共54页，2023年，2月20日，星期三两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。[例2]已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。水平面截切圆球，交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。第30页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.2.5综合举例首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。保留动画第31页，共54页，2023年，2月20日，星期三[例1]已知立体的俯、左视图，完成其主视图。第32页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.3.1概述相贯线的主要性质：

其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。1)共有性相贯线是两立体表面的共有线。2)分界性相贯线两立体表面的分界线。3)封闭性

相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。3.3回转体的相贯线第33页，共54页，2023年，2月20日，星期三两立体相交可分为

1)两平面立体相交：可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。

2)平面立体与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题。本节主要介绍此问题

3)曲面立体相贯线：第34页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.3.2轴线正交的两圆柱体的相贯线

3.3.2.1轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。第35页，共54页，2023年，2月20日，星期三相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上，即为圆的一部分。

空间及投影分析：相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合，是一个圆。第36页，共54页，2023年，2月20日，星期三求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。1.找全特殊点；2.补充一般点；3.判别可见性、光滑连接；4.

补全轮廓线。●●●●●●●●●第37页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.3.2.2圆柱与圆锥相贯[例3.12]求圆柱与圆锥的相贯线。a)求特殊点b）求一般点，连线，整理图3.16圆柱与圆锥相贯举例第38页，共54页，2023年，2月20日，星期三曲面立体相贯的三种基本形式2.外表面与内表面相交1.两外表面相交3.两内表面相交第39页，共54页，2023年，2月20日，星期三以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。第40页，共54页，2023年，2月20日，星期三以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。第41页，共54页，2023年，2月20日，星期三圆柱、圆锥相贯线变化规律当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。动画一动画二第42页，共54页，2023年，2月20日，星期三特例：轴线正交的两等径圆柱体相贯——相贯线为椭圆

1.蒙日定理:若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。

3.3.4相贯线的特殊情况第43页，共54页，2023年，2月20日，星期三相贯线相贯线相贯线

2.具有公共回转轴的两回转体相贯

——相贯线为垂直于公共回转轴线的圆

图3.17具有公共回转轴的两回转体相贯第44页，共54页，2023年，2月20日，星期三图3.18轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯

3.轴线相互平行的两圆柱相贯———相贯线为直线

4.共锥顶的两圆锥相贯———相贯线为直线

第45页，共54页，2023年，2月20日，星期三例3.13：补全主视图●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交线◆两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆

两内表面相贯★形体分析第46页，共54页，2023年，2月20日，星期三例3.13：补全主视图

无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。小结：第47页，共54页，2023年，2月20日，星期三例3.14：补全主视图●●●●●●●●

这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。哪两个立体相贯？１与３2与3第48页，共54页，2023年，2月20日，星期三例3.14：补全主视图三面共点●●●

作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。哪个点呢？第49页，共54页，2023年，2月20日，星期三例3.15：补画左视图。