第一节 二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质第1页，共28页，2023年，2月20日，星期三柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例第2页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解法】类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy

面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”第3页，共28页，2023年，2月20日，星期三【步骤如下】②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：第4页，共28页，2023年，2月20日，星期三２．求平面薄片的质量⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量【分析】

=常数时，质量=·，其中为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.第5页，共28页，2023年，2月20日，星期三两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第6页，共28页，2023年，2月20日，星期三二、二重积分的概念第7页，共28页，2023年，2月20日，星期三积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第8页，共28页，2023年，2月20日，星期三2.【对二重积分定义的说明】存在的必要条件.(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关代替？不能用连续是二重积分存在的充分条件第9页，共28页，2023年，2月20日，星期三3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.［几个特殊结果］第10页，共28页，2023年，2月20日，星期三根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等）故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即第11页，共28页，2023年，2月20日，星期三【性质1】【性质2】（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分【线性性质】线性性质可以推广至有限个函数的情形。第12页，共28页，2023年，2月20日，星期三【性质3】对区域具有可加性【性质4】若为D的面积，【性质5】若在D上特殊地则有比较性质第13页，共28页，2023年，2月20日，星期三【性质6】【性质7】（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积第14页，共28页，2023年，2月20日，星期三【证明】以下仅证性质7（中值定理）由估值性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后【得证】第15页，共28页，2023年，2月20日，星期三【例1】

比较下列积分的大小:其中【解】积分域D的边界为圆周它与x

轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上作业题、课后习题第16页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解】第17页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解】第18页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解】【分析】被积函数在积分区域上的正负决定二重积分的符号.（比较性质的特例）第19页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解】课后习题第20页，共28页，2023年，2月20日，星期三【解】区域D的面积故即课后习题第21页，共28页，2023年，2月20日，星期三【例7】1.设函数D位于x轴上方的部分为D1,在D上当区域关于y

轴对称,函数关于变量x

有在闭区域D上连续,D关于x

轴对称,则则奇偶性时,仍有类似结果.第22页，共28页，2023年，2月20日，星期三在第一象限部分,则有【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性）【例如】第23页，共28页，2023年，2月20日，星期三二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）第24页，共28页，2023年，2月20日，星期三【思考题】

1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.在二重积分定义中能否用来代替?为什么?第25页，共28页，2023年，2月20日，星期三1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．【思考题解答】2.不能.第26页，共28页，2023年，2月20日，星期三【练习】——机动被积函数相同,且非负,【解】

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:第27页，共28页，2023