高中数学 加练 专题2　第9练　函数的新定义问题

第9练函数的新定义问题(分值：43分)1.新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.新定义问题的方法和技巧(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会新信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用课本中的概念.一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数.例如φ(8)=4，则φlog354+logA.52 B.53 C.54 D.55答案C解析因为log354+log1=log354-log32=log327=3，所以φlog354+log13因为除了3的倍数外，其他数都与81互质，所以φ(81)=81-813=542.对于函数y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=-f(-x0)，则称点(x0，f(x0))与点(-x0，f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)=x2+4x，x≤0，kx+1，A.(-∞，2] B.[2，6]C.[6，+∞) D.(-∞，2]∪[6，+∞)答案A解析设g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)=kx+1，则当x<0时，g(x)=kx-1，则原问题转化为关于x的方程x2+4x=kx-1在(-∞，0)上有解，求k的取值范围问题.由关于x的方程x2-(k-4)x+1=0在(-∞，0)上有解得Δ≥0，--(k-4)2<0⇒3.一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb](k>0)，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论不正确的是()A.函数f(x)=x存在“跟随区间”B.若[0，b]为f(x)=x2的“跟随区间”，则b=1C.函数f(x)=1+1x存在“跟随区间D.二次函数f(x)=-12x2+x存在“2倍跟随区间答案C解析对于A，因为f(x)=x在R上单调递增，所以对于x∈[a，b]，其值域为[a，b]，由“跟随区间”的定义可知，函数f(x)=x存在无数个“跟随区间”，故A正确；对于B，若[0，b]为f(x)=x2的“跟随区间”，且f(x)=x2的对称轴为直线x=0，所以b2=b，解得b=1或b=0(舍)，故B正确；对于C，假设f(x)=1+1x存在“跟随区间”[a，b]因为f(x)=1+1x在区间(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减则有f(a)=b，f(b)=a，则故f(x)=1+1x不存在“跟随区间”，故C对于D，若函数f(x)=-12x2+x存在“2倍跟随区间”设定义域为[a，b]，值域为[2a，2b]，当a<b≤1时，函数f(x)在定义域上单调递增，则f则a，b是方程-12x2+x=2x的两个不相等的实数根，解得x=0或x=-2故存在定义域为[-2，0]使得值域为[-4，0]，D正确.二、多项选择题(每小题6分，共18分)4.如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是()A.y=x B.y=1-C.y=1-x2 D.y=1-答案BD解析由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].y=x的定义域A=[0，+∞)，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，+∞)，A错误；y=1-x的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，By=1-x2的定义域A=R，值域B=(-∞，1]，则A∩B=(-∞，1]，C错误；y=1-x2的定义域A=[-1，1]，值域B=[0，1]，则A∩B=[0，1]，D5.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x]，则下列结论正确的有()A.f(-1.1)=0.9B.函数f(x)的图象关于原点对称C.f(x+1)=f(x)+1D.函数f(x)的值域为[0，1)答案AD解析对于A，因为f(x)=x-[x]，所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9，故A选项正确；对于B，因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5，f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5，所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误；对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k+1，此时有k+1≤x+1<k+2，所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k，f(x)=x-[x]=x-k，故C选项错误；对于D，由C选项分析可知∀x∈R，总有f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D选项正确.6.已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b=a，a-b≤1，b，a-b>1，设函数f(x)=2x+1⊗(2-4x)，x∈R，若函数y=f(A.-1 B.14 C.2答案BC解析因为a⊗b=a由2x+1-2+4x=(2x)2+2·2x-2≤1，可得(2x)2+2·2x-3≤0，即(2x+3)(2x-1)≤0，因为2x+3>0，所以2x-1≤0，解得x≤0，所以当x≤0时，f(x)=2x+1，当x>0时，f(x)=2-4x.即f(x)=2因为函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y=f(x)与直线y=c的图象恰有两个公共点，在同一平面直角坐标系中，作出函数y=f(x)，直线y=c的图象，如图所示，由图象知，0<c<1，则实数c的取值范围是(0，1)，B，C选项符合.三、填空题(每小题5分，共10分)7.我们用||x||表示实数x到离它最近的整数的距离，例如||-1||=0，74=14，-35=25，则||x||的最大值是；对于函数f(x)=x2，若满足f(x)=f(23x答案12解析由定义可知||x||≤12，故||x||的最大值为设x2=n+α，n∈N，α∈[0，1)，则f(x)=||x2||=||α||，f23x=||12(n+α)||=||12α所以f(x)=f(23x)⇔||α||=||12α||，也就是α和12α的小数部分要么相同，要么和为1.当α和12α的小数部分相同时，则12α-α=k，可得α=k11，k∈N且k≤所以f(x)=k11=k111，k1∈{0，1，2，…，5}当α和12α的小数部分和为1时，则12α+α=l，可得α=l13，l∈N*且l≤所以f(x)=l13=l113，l1∈{1，2，…，6}，综上所述，f(x)有12种可能的值.8.设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2026型增函数”，则实数a的取值范围是.答案-解析由已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，当x<0时，f(x)=-f(-x)=-|-x-a|+2a=-|x+a|+2a，则f(x)=x由f(x)为R上的“2026型增函数”，则f(x+2026)>f(x)，当x>0时，即|2026+x-a|-2a>|x-a|-2a，即|x-(a-2026)|>|x-a|，根据绝对值的几何意义可知a+a-2026<0，解得a<1013；当x=0时，|2026-a|-2a>0，可知当a≤0时恒成立，当a>0时，可得0<a<20263，即a<当x<0时，①当x+2026<0，即x<-2026时，f(x+2026)>f(x)，即-|x+2026+a|+2a>-|x+a|+2a，化简可得|x+2026+a|<|x+a|，即-2026-a-a>2×(-2026)，即a<1013；②当x+2026=0，即x=-2026时，0>-|-2026+a|+2a，可知当a≤0时恒成立，当a>0时，可得0<a<20263，即a<③当x+2