弧度制-高一上学期数学课时作业人教版A版（含解析）

PAGE弧度制(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)下列命题中,正确的是()A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B.若α是第一象限的角,则π2-αC.若两个角的终边重合,则这两个角相等D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关2.(5分)(2026·厦门高一检测)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,已知大轮6秒转动一周,则小轮1秒转动的角度大小是()A.5π36 B.π3 C.4π53.(5分)(2025·银川高一检测)下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+9π4(k∈C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+5π4(k∈4.(5分)(2026·咸阳高一检测)已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为()A.π2 B.π C.2π D.5.(5分)两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2,则这两个扇形周长的比为()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶86.(5分)(多选)小胡同学在学习了任意角和弧度制后,对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣,并临摹出该瓷器盘的大致形状,如图2所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OA=OB=4,则()A.∠AOB=πB.AB的长为4πC.扇形OAB的周长为4π3+D.扇形OAB的面积为8π7.(5分)如图,长为2,宽为1的矩形木块,在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第四次时被一小木块挡住,使木块底与桌面成30°角,则点A走过的路程是.

8.(5分)设与-11π4终边相同的角的集合为M,则①M={α|α=2kπ+5π4,k∈Z},②M中最小正角是③M中最大负角是-3π4,其中正确的有.9.(5分)(2025·龙岩高一检测)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形,已知OB=10cm,BC=30cm,∠AOB=120°,则该扇环形砖雕的面积为m2.

10.(10分)设扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.(1)已知一扇形的周长为9cm,面积是72cm2,求扇形的圆心角α(2)若扇形的周长为20cm,将扇形的面积S表示为半径R的函数,并写出定义域.【综合应用练】11.(5分)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是()A.(π6,πB.(2π3,7πC.[2π3+kπ,7π6+kπ](kD.[2kπ+2π3,2kπ+7π6](k12.(5分)(多选)(2025·宁波高一检测)一个扇形的周长为24+8π,面积为48π,则此扇形的圆心角可以为()A.π3 B.2π3 C.6π 13.(5分)走时精确的钟表,中午12时,分针与时针重合于表面上“12”的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值等于.

14.(10分)已知角α=1200°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;(2)在区间[-4π,0]上找出与角α终边相同的角.15.(10分)已知某扇形的半径r=2cm,周长C=(4+π3)cm(1)求该扇形的面积;(2)求在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角.

答案解析【基础全面练】1.(5分)下列命题中,正确的是()A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B.若α是第一象限的角,则π2-αC.若两个角的终边重合,则这两个角相等D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关【解析】选B.1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误;若α是第一象限的角,则-α是第四象限的角,所以-α+π2当α=π6,β=13π6时,α与不论是用角度制还是弧度制度量角,由角度制和弧度制的定义可知度量角与所取圆的半径无关,D选项错误.2.(5分)(2026·厦门高一检测)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,已知大轮6秒转动一周,则小轮1秒转动的角度大小是()A.5π36 B.π3 C.4π5【解析】选C.两个啮合的齿轮,线速度相同,单位时间内通过的齿数相等.大轮有48齿,6秒转动一周,则每秒转过的齿数为48×16小轮有20齿,每秒同样转过8齿,因此小轮每秒转过的周数为820故小轮每秒转动的角度大小为25×2π=4π53.(5分)(2025·银川高一检测)下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+9π4(k∈C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+5π4(k∈【解析】选C.易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用,即AB错误;又9π4与π4终边位置相同,可表示为2kπ+π4(k∈Z),也可表示为k·360°+45°(k∈Z),还可以表示为k·360°-315°(k4.(5分)(2026·咸阳高一检测)已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为()A.π2 B.π C.2π D.【解析】选D.因为扇形的弧长为π,所以r=lα=π2,所以S=12lr5.(5分)两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2,则这两个扇形周长的比为()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶8【解析】选C.设扇形的圆心角的弧度数为α,两圆的半径分别为r和R,则S扇形所以r∶R=1∶2.所以两个扇形周长的比为(2r+αr)∶(2R+αR)=r∶R=1∶2.6.(5分)(多选)小胡同学在学习了任意角和弧度制后,对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣,并临摹出该瓷器盘的大致形状,如图2所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OA=OB=4,则()A.∠AOB=πB.AB的长为4πC.扇形OAB的周长为4π3+D.扇形OAB的面积为8π【解析】选BD.对于A,∠AOB=π3对于B,弧长l=αr=π3×4=4π对于C,扇形OAB的周长为4π3+对于D,扇形OAB的面积S=12lr=12×4π7.(5分)如图,长为2,宽为1的矩形木块,在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第四次时被一小木块挡住,使木块底与桌面成30°角,则点A走过的路程是76π+52π【解析】第一次是以B为旋转中心,以BA=22此次点A走过的路程是π2×第二次是以C为旋转中心,以CA1=1为半径旋转90°,此次点A走过的路程是π2×1=π第三次是以A2为旋转中心,此时点A走过的路程是0.第四次是以D为旋转中心,以DA2=2为半径旋转60°,此次点A走过的路程是π3×2=23所以点A四次共走过的路程是5π2+π2+2π3=8.(5分)设与-11π4终边相同的角的集合为M,则①M={α|α=2kπ+5π4,k∈Z},②M中最小正角是③M中最大负角是-3π4,其中正确的有①②③.【解析】因为-11π4+2·2π=54π,所以令k=0,可得②正确;令k=-1,可得③正确.9.(5分)(2025·龙岩高一检测)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形,已知OB=10cm,BC=30cm,∠AOB=120°,则该扇环形砖雕的面积为π20m2【解析】由题意知,OB=0.1m,BC=0.3m,∠AOB=120°,则OC=0.1+0.3=0.4(m),可得扇形OCD的面积为S1=π3×0.42,扇形OAB的面积为S2=π3×0.12,所以该扇环形砖雕的面积为S=S1-S2=π3×(0.42-0.1210.(10分)设扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.(1)已知一扇形的周长为9cm,面积是72cm2,求扇形的圆心角α【解析】(1)由题意得2R解得R=1α=7>2π(舍去),或R(2)若扇形的周长为20cm,将扇形的面积S表示为半径R的函数,并写出定义域.【解析】(2)由已知得,l+2R=20,则S=12lR=12(20-2R)R=-R2+10又αR+2R=20,得R=20α+2,因为α∈(0,2π),所以2<α+2<2π所以101+π<20α+2<10,即R∈(10π+1,10),所以S=-R2+10R,【综合应用练】11.(5分)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是()A.(π6,πB.(2π3,7πC.[2π3+kπ,7π6+kπ](kD.[2kπ+2π3,2kπ+7π6](k【解析】选D.依题意,在[0,2π)内阴影部分的边界射线对应的角分别为2π3,7π在[0,2π)内阴影部分对应角的范围是[2π3,7π所以角α的取值范围是[2kπ+2π3,2kπ+7π6](k∈12.(5分)(多选)(2025·宁波高一检测)一个扇形的周长为24+8π,面积为48π,则此扇形的圆心角可以为()A.π3 B.2π3 C.6π 【解析】选BC.设扇形的半径为r,圆心角为α,由题意可得2r解得α=2π3r=12或α13.(5分)走时精确的钟表,中午12时,分针与时针重合于表面上“12”的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值等于2π11【解析】设时针转过的角的弧度数的绝对值为α,由分针的角速度是时针角速度的12倍,知分针转过的角的弧度数的绝对值为12α,由题意可知,12α=α+2π,解得α=2π11因此,时针转过的弧度数的绝对值等于2π1114.(10分)已知角α=1200°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;【解析】(1)因为α=1200°=1200×π180=20π3=3×2π+2π3又π2<2π3(2)在区间[-4π,0]上找出与角α终边相同的角.【解析】(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+2π3,k∈所以由-4π≤2kπ+2π3≤0,得-73≤k≤-因为k∈Z,所以k=-2或k=-1.当k=-2时,2×(-2)π+2π3=-10π当k=-1时,2×(-1)π+2π3=-4π故在区间[-4π,0]上与角α终边相同的角是-10π3,-4π15.(10分)已知某扇形的半径r=2cm,周长C=(4+π3)