牟合方盖与球的体积(高一)_第1页
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牟合方盖与球的体积(tǐjī)1第一页，共12页。先看一个(yīɡè)中学数学中的三视图练习题：我国古代数学家利用“牟合方盖〞〔如图甲〕找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖〞是由两个圆柱(yuánzhù)分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱(yuánzhù)公共局部形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖〞的一种模型，它的主视图是〔〕利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个(yīɡè)正方形，右边两个正方形，应选：B．B2第二页，共12页。下面介绍与“牟合方盖〞相关的知识(zhīshi)

动画演示3第三页，共12页。“牟合方盖〞是刘徽研究球积公式时创立的几何模型,这一模型的建立,为最后获得球积公式提供(tígōng)了充分条件。4第四页，共12页。祖暅在刘徽研究(yánjiū)牟合方盖的根底上,继续新的探索,最终建立了球积公式。他们的共同研究(yánjiū)成果,我们称之为“刘·祖原理〞。5第五页，共12页。所谓“牟合方盖〞,是以棱长为一寸(yīcùn)的立方体八枚,合之那么棱长为二寸的立方体。6第六页，共12页。又以过立方体中之二正圆柱垂直相贯并内切于立方体之相应(xiāngyīng)侧面。7第七页，共12页。那么二内切于立方体的两垂直贯的正圆柱的共同局部,就叫“牟合方盖〞。这是由于这个(zhège)立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞。在这个立体里面，可以(kěyǐ)内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。8第八页，共12页。祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖〞的理论去进行体积计算，他的方法是将原来(yuánlái)的“牟合方盖〞平均分为八份，取它的八分之一来研究。

小牟合方盖体积(tǐjī)=2r³/3牟合方盖体积(tǐjī)=16r³/3故：球体体积(tǐjī)=(π/4)(16r³/3)=4πr³/39第九页，共12页。设OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r，那么OS=OQ=r，由勾股定理，不难证明等高处阴影局部的面积总相等。所以，有理由(lǐyóu)相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖〞后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，那么积不容异。〞再根据刘徽的想法，可求出球体体积公式。10第十页，共12页。

牟合方盖的三视图：

三视图中三个等圆的是球，两方一圆(yīyuán

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