四川省成都市实验高级中学2023年数学高二第二学期期末监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，A．πR B．πR2 C．πR34．已知正三角形的边长是，若是内任意一点，那么到三角形三边的距离之和是定值.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于的正四面体中，若是正四面体内任意一点，那么到正四面体各面的距离之和等于（）A． B． C． D．5．已知，是两个不同的平面，，是异面直线且，则下列条件能推出的是（）A．， B．， C．， D．，6．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}7．下列运算正确的为（）A．（为常数） B．C． D．8．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y6m32A．变量x,y之间呈现负相关关系B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7C．m=4D．该回归直线必过点(9,4)9．曲线在处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．10．复数=A． B． C． D．11．已知a＝log34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c12．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定积分的值等于________.14．已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、曲线的交点为则弦的长为______.15．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）16．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，（1）讨论函数的单调性；（2）设，若存在正实数，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）(1)设是两个正实数，且，求证：；（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．19．（12分）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图所示，已知是椭圆：的右焦点，直线：与椭圆相切于点．（1）若，求；（2）若，，求椭圆的标准方程．21．（12分）已知函数(1)求的图象在点处的切线方程；(2)求在上的最大值与最小值。22．（10分）已知集合，．(Ⅰ)当时，求A∩(∁RB)；(Ⅱ)当时，求实数m的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.【详解】，，，故答案选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.2、C【解析】

函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.【详解】函数关于轴对称的解析式为，函数，两个函数的图象如图所示：若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，所以，故选C.【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.3、C【解析】分析：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA,OB,OC,AC,BC，根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=2R2，由A,B两地经度差为90∘，在RtΔABC中算出AB=AC详解：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O连结OA,OB,OC,AC,BC，则OC⊥平面ABC，在RtΔACO中，AC=OACcos45∘∴A,B两地经度差为90∘，∴∠ACB=在RtΔABC中，AB=A由此可得ΔAOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=60∴A,B两地球面的距离是60πR180=π点睛：本题考查地球上北纬45∘圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题4、B【解析】

将正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.【详解】棱长都等于的正四面体：每个面面积为：正四面体的高为：体积为：正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和故答案选B【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.5、D【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A.，，此时，两平面可以平行，故错误；B.，，此时，两平面可以平行，故错误；C.，，此时，两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D.点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题.6、A【解析】

试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为,故选A．考点：集合的运算7、C【解析】分析：由基本初等函数的导数公式可得．详解：，，，．故选C．点睛：本题考查基本初等函数的导数，牢记基本初等函数的导数公式是解题关键．8、C【解析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=﹣0.7<0，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=﹣3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.9、B【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.详解：因为，所以所以曲线在处的切线的斜率为因此倾斜角是，选B.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.10、A【解析】

根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数=故答案为：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.11、B【解析】

得出，从而得到的大小关系，得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算可得，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、B【解析】

分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、ln1【解析】

直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】，故答案为：ln1．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14、【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解的长.详解：由,,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:,即,故为圆心为,半径为的圆,:,即,表示过原点倾斜角为的直线，因为的解为，，所以.点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.15、1【解析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．

然后再把这3组小球全排列，方法有种．

再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，

故答案为1．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题16、【解析】

根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【点睛】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

(1)对函数求导，对a分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性；（2）对a分情况讨论，在不同的范围下，得到函数的正负，进而去掉绝对值，再构造函数，转化为函数最值问题.【详解】（1）∵，（）①若，则，故在为增函数②若时，则，，故在为减函数，在为增函数（2）①若，则由（1）知在为增函数，又，所以对恒成立，则设，（），则等价于，，，故在递减，在递增，而，显然当，，故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，故不满足条件②若，则，由（1）知在为减函数，在为增函数，∵，∴当时，，此时∴设，，此时等价于，（i）若，∵∴，在为增函数，∵，∴，故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，故不满足条件（ii）若，易知在为减函数，在为增函数，∵，∴，，故存在正实数，（可取）使得对任意都有恒成立，故满足条件【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及分类讨论思想；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。18、（1）见解析；（2）见解析【解析】

(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.【详解】(1)证明：∵，∴，∴，∴，而均为正数，∴，∴，∴成立．(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则，，．相加有，．①则，与由题意、、互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）求出，然后算出和即可（2）由题意得，然后利用导数求出右边的最大值即可【详解】（1）切线方程为即（2）由题意令则只需，从而在上为增函数，在上为减函数.，实数的取值范围为【点睛】恒成立问题或存在性问题，通常是通过分离变量，转化为最值问题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去得的一元二次方程，直线与椭圆相切，则，结合可求得；（2）利用（1）中结论可求得点坐标，作轴于点,轴于点,由,,则有，因此,,这样可由点坐标表示出点坐标，由在直线上可得，这样结合，可解得得椭圆标准方程．【详解】（1）由直线与椭圆方程联立得，①，因直线与椭圆相切，则，因此可得；若，则；（2）将代入方程①式可得，因此，，因此点，作轴于点,轴于点,∵,,则有，因此,,∴，，∴，∵在直线上，因此，化简得；又由，则可得，即有，∵，∴，则，，因此所求的椭圆方程为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程．考查直线与椭圆位置关系．直线与椭圆相切，只能由直线方程与椭圆方程联立，消元后得二次方程，则有结论．第（2）小题有一定的难度，关键是还要一个的关系式，题中解法是通过几何方法，由点坐标表示出点坐标，僄代入直线方程得到关系式．另一种方法是，然后取中点为，则有（不需要再求线段长了），这样两个垂直也可以建立起的关系式．21、（1）；（2）【解析】

（1）利用导数求出的值，作为切线