小学数学学科核心素养及其培育的基本路径

小学数学学科核心素养及其培育的基本路径一、小学数学学科的核心素养

（一）何为学科核心素养

关于核心素养，北京师范大学林崇德教授领衔的课题组在中国学生发展核心素养的总体框架中已有普适性界定.关于学科核心素养目前尚处探索阶段.

经反复研究、筛选，笔者认为，一门学科的核心素养必须同时满足以下三项条件（也可以说“特征”或“辨别标准”）：其一，体现学科本质.真正处于学科核心位置的素养必然地反映了学科的本质，这是学科核心素养非常显然的也是最为基本的特征.其二，具有普适性意义.必须澄清，学科核心素养不是针对学科专业人才的特殊需要，而是适用于普遍情境和所有人的共同素养，因而必须具有普适性的意义.其三，承载不可替代的学科育人价值.某一学科的核心素养必然会在其他学科中也有表现，但本学科具有其他学科无法企及的培育优势.[1]

以抽象素养为例.首先，数学的一切研究对象都是抽象得来的，没有抽象就没有数学，也没有数学的学习.所以抽象是数学本质的思想之一，也是数学核心能力之一.其次，数学的抽象，它的大众化的普适性意义在于，人人都需要从数与形的视角去观察、认识周围的事物.也就是说，面对人类赖以生存的客观世界，人人都需要数学的眼光.最后，无论是文科还是理科，凡是理论知识都有不同程度的抽象性.但是数学抽象的与众不同（撇开事物各种质的属性，纯粹研究事物数量关系和空间形式），决定了只有数学学科才能胜任这种抽象思维能力的培养任务.

事实上，每一位数学教师都知道，学习数学离不开抽象，反过来数学学习又能有效地发展学生的抽象能力，这已被无数次实践所证实.这里只是在理论层面上阐述将抽象确立为小学数学学科核心素养的依据.

（二）小学数学核心素养体系的架构

基于以上认识，结合长期的实践性研究，笔者经过多次提炼、修改，提出了小学数学学科核心素养体系的一个初步架构.该架构由两个层面六项素养组成，可借用空间三棱台模型加以直观呈现（见图1）.[1]

上面已经简要论述了“抽象”满足学科核心素养的三项要求，其他五个素养均为《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《数学课标》）中的核心词（又被称作“核心概念”）.已有大量的理论与实践的研究，直接或间接地论证了这五个素养符合上述三项要求.

有必要指出，在这个架构里，符号意识、应用意识以及几何直观与数感都被视为由核心素养衍生而来的素养.下面略作阐明.

数学抽象的主要表征形态是数学的符号，数学符号是数学抽象思维的外壳.一般认为数学语言有三种形态（文字语言、符号语言、图形语言），最本质的就是符号语言，因此符号意识是数学抽象的衍生素养.

数学的模型思想与建模能力是沟通数学与外部联系的桥梁，是数学应用的关键，它与数学的应用意识相伴而生、如影随形、难以分割.换句话说，模型思想包含应用意识.

小学生对于数学的直观感知、直观理解与直观思考，主要依赖生活经验直观与几何直观，其中的几何直观离不开空间观念的基础，主要表现为数形结合.可以说没有一定的空间观念，就没有任何的几何直观.

运算能力虽不能完全涵盖数感，但毕竟是小学生数感的重要生成渠道和主要表现途径之一.数感附属于运算能力，例证分析如下.

实践表明，万以内数的认识，联系生活实际（现实情境中的量）与借助几何直观都是有效的.例如，个级计数单位的几何直观表示（见图2）.

一次“数学学习困难学生”的调研，一位调研对象在回答“喜欢做什么样的数学题，为什么？”时，指着作业中的填数题（如图3）说：“我最喜欢做这样的数学题，因为一看就知道是什么.”教师问：“你看到了什么呢？”该生断断续续地回答：“我看到了一个一千，两个一百，一个三十，还有一个一.”

既然学生喜欢，效果又好，那就继续“看”吧.很遗憾，教学“万”的认识时，就已经收效甚微了.

教师动态演示一万，形成图4，学优生已经不屑看了，而学困生则没感觉，看了也白看.这就是说，一万及以上数的认识，主要依靠已有的数概念与对十进制的初步认识，通过推理形成新的数概念，并发展相应的数感.

再看数感在运算中的表现.

面对计算360×0.125与120÷25%的任务，多数学生实际选择的算法是口算360÷8与120×4.为什么会有如此的自动反应？除了源于对分数乘除运算意义的理解，无疑还有数感在起作用.

此外，小学阶段数运算教学的课时数远大于数概念教学的课时数，数运算的应用机会也远大于单纯数概念的应用机会，这些都是将数感归属于运算能力的有力论据.

二、落实学科核心素养培育的基本路径与对策分析

如何落实数学学科核心素养的培育？热潮之下的实践必须脚踏实地.鉴于教育改革进程中多次出现理论宣传“急风暴雨”“惊涛骇浪”，课堂教学“波澜不惊”“风平浪静”，教训与经验归结为一点，前瞻性的实践路径研究很有必要.

（一）基础性内容不同领域各有侧重的培育路径

如前所述，数学学科第一层面的核心素养体现了数学最本质、最基本的思想方法，反映了数学对事物的认识方式、处理方式和表征方式；数学学科第二层面的核心素养则进一步与数学三大内容领域固有的重要能力相关.因此，根据“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个内容领域各自的特点，分别进行各有侧重的培育实践，无疑是最容易受到关注的首选培育路径.

例如，图形与几何领域的教学，应重点实践和研究如何在原有的基础上进一步凸显空间观念的培养.因为空间观念作为图形与几何领域最基础、最具生长性的核心素养，其发展关键期的特点以及教学促进发展的特点都相当明显.

有关于小学生空间观念发展规律的研究表明：“适时的教学干预是十分必要的，只要给低年级学生提供适当的教学材料，就可能会在空间观念方面有较好的发展.如果没有适时的教学干预，学生空间观念的发展就会受到抑制甚至会造成无法弥补的欠缺.”[2]

以儿童积累“高”的认识为例，从生活中的“高”（身高、树高等）到几何图形的“高”，在小学阶段经历了以下的认知发展过程：平行四边形的高（平行线间的距离）—三角形的高（点到直线的距离）—梯形的高（平行线间的距离）—圆柱的高（平行平面的距离）—圆锥的高（点到平面的距离）.尽管这些“高”的概念还有待中学阶段加以准确定义，但是小学阶段直观、描述水平（即视觉—分析—非形式化演绎水平）的感性认识经验，为学生进入形式化演绎水平奠定了丰富的可贵的认知基础.

（二）综合性、拓展性内容专题教学的培育路径

一般认为，素养的获得是后天的、可教可学的，即可以通过有意的人为教育加以规划、设计与培养；同时，任何素养的培育都无法毕其功于一役，只能依靠日积月累，即学习者经由课程教学长期习得，逐渐积淀.因此，基础内容的课堂教学是核心素养培育的主渠道.特别是学科的核心素养，它与学科知识习得与学科能力、态度生成不可分割.

然而，落实在基础内容的教学中，某一节课侧重培育哪些素养是由内容决定的.学科核心素养依附内容的这一特点，提示我们还必须开辟一条落实学科核心素养培育“度身定制”的教学渠道，即针对素养培育的需要选择合适的内容载体使学科核心素养能够较为系统、更为展开地得到培育.

我们目前的课程教学改革实践中，“综合与实践”板块，以及人教版教材特有的“数学广角”系列，都是学科核心素养培育专题教学的有效载体形式.

（三）从整体到局部“上挂下联”的教学落实对策

从中小学核心素养到学科核心素养，再到学科核心素养与学科教学内容的结合点即落实点，需要系统研究梳理，也可以采取中间层面各个击破的策略，将教材单元作为落实的抓手，逐步扩展，覆盖学年、学段.

目前的教学实践研究，大多以课时教学研究为主，针对单元设计的结构性研究较少.虽然一节课一节课地研究也能集腋成裘，但常常呈现“课时主义”的弊端.如教学内容碎片化，知识点的处理缺乏通观全局的连贯性，等等.而所有的学科核心素养，都是跨课时、跨学期、跨学年的，特别需要从整体到局部的研究.因此，改进、加强单元设计，是现阶段“上挂下联”有效落实的可行对策.

三、落实学科核心素养培育基本路径的教学实践

（一）落实在基础性内容教学中的实践

为了提高平时每一节课对于培育学科核心素养的贡献度，一条主要的策略在于：深入把握基础知识的学科内涵，并与“四能”相结合.

试举一例：教学“速度”概念及其数量关系，以往的设计大多满足于引出速度概念、规范“速度”单位书写和归纳数量关系.

事实上，三个量两两相比，学龄前儿童也能看图发现不等关系的传递性.如图5，石榴最重，茄子最轻.因此，借助情境加强推理素养的培育符合小学生的思维特点.

教学时，首先让学生看着情境图（图6）[3]说说已知的条件信息，并提出比较快慢的问题，学生一般都能提出两两比较与谁最快、谁最慢五个问题.

然后让学生先独立思考，再进行交流：

（1）小象和小熊跑的时间相同，直接比较路程，小象比小熊快.

（2）小牛和小熊跑的路程相同，直接比较时间，小牛比小熊快.

（3）小牛和小象用的时间、跑的路程都不同，计算它们每分钟跑的路程再比较.因为小牛每分钟跑432÷6=72（米），小象每分钟跑米544÷8=68（米），所以小牛比小象快.

（4）综合（2）和（3），小牛比小熊快，小牛比小象快，得到小牛最快.

（5）综合（1）和（2），小象比小熊快，小牛比小熊快，得到小熊最慢.

至此，五个问题都有了答案.有学生看着教师的如下板书：

又发现了与众不同的比较方法：

（6）综合（3）和（1），小牛比小象快，小象比小熊快，得到小牛最快.

（7）反过来，就是小熊最慢.[4]至于什么是“速度”以及数量关系，就让学生看课本自学.

上述以解决问题“谁跑得快”为载体的教学过程，在实现基础知识教学目标的同时，让学生经历了一系列的用口头语言表达的演绎推理活动.其中（1）至（3）都是充分条件的假言推理，（4）至（7）都是纯粹关系推理，（6）和（7）还自发地用上了不等关系的传递性与反身性.

教师小结时指出：计算速度是把“时间不同”转化为“时间相同”.个别学生受此启发，想到了另一种“转化”为时间相同的比较方法：

小象8分跑544米→2分跑136米，

小牛6分跑432米→2分跑144米，

所以，小牛比小象快.

于是，临近下课，又一次出现了数学推理活动的高潮.基础知识教学中落实学科核心素养培育的诱人空间，得到了充分的展现.

（二）落实在综合性、拓展性内容专题教学中的实践

仅以“数学广角”的教学为例.顾名思义，“数学广角”专题的价值取向，旨在拓展学生学习数学、应用数学的视角，开阔视野，让学生能够更加深切地领略数学的魅力与光彩.正如教材编者所言：“‘数学广角’并不是《数学课标》规定的必学和必考内容，没有承载‘双基’目标的重任，因而没必要将其教学的重点放在机械的公式和抽象的模型上，而应把教学重点放在探索和建立模型的过程和体验数学思想方法的应用上.”[5]因此，“数学广角”的教学，从课程总目标的四个方面来看，除了知识技能，其他三个方面（数学思考、问题解决、情感态度）都有所兼顾.这些恰是落实数学学科核心素养目标的展开体现.

首先，第一层面三个数学学科核心素养，即抽象、推理、模型，几乎体现在“数学广角”每个内容中.

例如，一年级下册的“找规律”（如图7）.[6]

观察图形的排列，摒弃原型（对象）的形状、排列等因素，提纯成数列，这是比较典型的分析型抽象.

学生用自己的语言陈述找到的规律“后面一个数都比前面一个数大3”“后面一个数都比前面一个数小2”，这些关于等差数列的描述，其实就是递增、递减模型的语言表达.

学生写出紧随其后的几个数，实际上是在根据规律进行演绎推理.

可见，抽象、推理、模型一个不少，综合地发生在“找规律，填数”的问题解决过程中.

其次，从“找规律”入门再发展为“数学建模”，成为贯穿“数学广角”的主线.例如，三年级上册的“集合”，主要内容是求两个集合（交集非空）并集的基数.如下题：[7]

学生容易想到的基本算法是：

9+8-3=14（人）.

用公式表示[n（A）表示集合A的基数，A∪B与A∩B分别表示集合A与集合B的并集与交集]：

n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）

没人否认这一公式是一个数学模型，那么学生自己得出的算法仅仅是一个算式吗？

鉴于一般学生都能清晰地说出上述算法的含义，表明他们已经发现并且解释了数量关系，据此可以认为，这种算法及其关系的理解与公式的概括充其量只是具体化与形式化的差异.

这一贴近真实情境的探究性学习，不仅加深了学生对于加法运算的理解，同时也使学科核心素养的培育得到了有效的落实.学学科核心素养的内涵、价值与落实建议

2014年3月，教育部印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》文件中，提出了“核心素养”概念，为进一步深化课程改革指明了方向：要根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德、智、体、美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培养什么人、怎样培养人”的问题。核心素养，指的是人适应未来社会生存和发展所需要的必备品格、关键能力。指向未来人才培养的核心素养研究一直是多个学科、多种领域合作研究的集成，被多个国家高度关注。中国为迎接未来教育挑战，也进行了中国学生发展核心素养的研究，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到备学科教学中。

一、核心素养的内涵与价值

核心素养目前没有精准的定义。澳大利亚梅耶委员会认为“核心素养”是高效率地参与工作和融入社会不可或缺的基本素养；欧盟认为“核心素养”是一系列可移植的、具有多种功能的知识、技能和态度，是个体获得个人成就和自我发展、融入社会、胜任工作的必备素养。

核心素养不是先天遗传，而是经过后天教育习得的。核心素养绝非各门学科知识的简单累加，而是各科背后蕴含的思想方法和辩证思维，是支撑“有文化教养的健全公民”形象的心智修炼或精神支柱。由此可见，核心素养是各个学科共同追求的目标，是一个人健康成长的基石。

郝京华教授认为，学科核心素养是“核心素养”在特定学科（或特定学习领域）的具体化，是学生学习一门学科（或特定领域）之后所形成的具有学科特点的关键成就，是学科育人价值的集中体现。每个学科的核心素养也不尽相同。

马云鹏教授认为，就数学学科而言，学科核心素养主要是指数学学习者在学习数学或者数学某一个领域所应达成的综合性能力。现阶段，关于小学数学核心素养的内涵尚未明确界定，但比较一致的认识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中提到的十个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。这十个核心概念总体上反映了对学生数学素养的基本要求，是学生数学素养的重要标志。

林崇德教授主编的《21世纪学生发展核心素养研究》一书对“核心素养”进行了界定：“核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。”

各学科核心素养的内容和要求既相互区别又相互联系，不能截然分开。数学学科核心素养是通过数学的学习、体验建立起来的一些思想、方法，以及用数学的思想方法处理和解决问题的能力。核心素养是基于认数、计算、测量、统计等具体的数学知识与技能而形成的数学的思想与方法，以及对数学在现实社会与生活中的作用与价值的认识。就数学学科而言，研究表明，数学学科核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。史宁中教授说，数学的核心素养就是用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。

二、提升学生数学学科核心素养的原则

从数学素养由来的不同历史时期看，数学素养的定位始终由数学在成人社会中的表现所决定，包括我国数学素养中“适应个人终身发展”的提法，其唯一的指向是公民，是成人。所以，学生发展的数学核心素养，不是在当年学生学业考试成绩中反映，而是在他们未来的成人生活和职业中体现。为了学生的可持续发展，使其适应瞬息万变的未来生活，需要提升学生的核心素养。

1．人文性原则

学生是活生生的人，是发展中的人，所以我们要创设情境，挖掘学生的潜力，与此同时又要悦纳学生的不成熟，以学生为本，尊重学生原有的认知起点，了解学生的困难，让学生经历一个个探究的过程，参与一个个讨论的主题，辩论一个个有偏差的想法，总结一个个有个性的创意……在这样互动交流的氛围中，学生的思维得到外显，懂得了如何与人相处、如何面对困难、如何弥补自己的过失，合作、沟通、交流、适应、调整等能力悄然形成。当课堂不把“分数”作为唯一衡量的标准时，教育教学就回归常态。学生的人文素养、自我管理能力也在过程中得以彰显，三维目标融为一体，公民素养如影相随。

2．整体性原则

承担起学生的学习与发展的，不是某一门学科而是整个课程；不是每一间教室而是整所学校；不是每一所学校而是整个社会文化。作为教师，要打破学科壁垒，站在育人的高度进行教育教学。整体性体现在有些学科必备的素养中：如抽象、推理、创新等，学科整合成为一种合理与必然。如语文、英语或文史哲学科，数学与理化生等学科，音体美或艺术、戏剧类学科都可以整合。整体性并非淡化学科，学科自身的独特性不等于僵化学科的边界，而是在各司其职的基础上相互融通，也就是“软化”学科边界，其价值还在于为类似“科学、技术、工程和数学”等新兴学科的创生提供了空间。

在教学实践中有这样的例子：科学课和数学课的整合，科学课中的杠杆尺可以作为数学中学习“反比例意义”概念的素材，让学生参与，在参与中互动，在互动中建构，在建构中生成，明白知识的来龙去脉，做到知其然更知其所以然。这即为学习的要义。再如，语文学科中的小故事渗透了数学的思想方法，如《营冲称象》运用了等量代换的思想；《司马光砸缸》运用了逆向思维；《田忌赛马》蕴含着优化思想，也蕴含着统计与概率的知识：随机匹配上等马、中等马和下等马有6种情况，获胜的可能性是1/6。而且这个故事能让学生体会智慧的同时，学会辩证思考，了解规则意识在现实生活、国际交流、未来社会的重要性，而我们津津乐道的取胜之道也有其局限性。所以要增强整体性，强化各学段、相关学科纵向有效衔接和横向协调配合，提升学生整体化思维和系统思考的能力。

整体性还体现在有教无类和因材施教上。尊重学生的个体差异，课程与教学要面向每一个学生，促进每一个学生的发展，允许学生以不同的速度学习，教师要学会等待，激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲，这是会学习、善于学习的基础。

3．实践性原则

课堂是实施学科素养的主渠道，学科实践活动课程是数学学科素养的有益保障。给学生提供多样化的学习素材，设计有价值的数学活动，能够帮助学生积累活动经验和思考经验，在过程中进行体验性理解，进而完成活动。数学学科实践活动所承载的对概念的关系性理解，对数学建模、数学抽象、数学推理等方面都有较高的要求；基于活动需要，事先收集资料、设计方案、落实行动、回顾反思等环节也体现了对信息技术、综合实践活动方法、语文学科中语言文字的再利用等各方面的要求，有利于提高学生综合运用知识解决问题的能力，也提升了学生的核心素养。

4．结构性原则

整体把握教材，不再是就课时论目标，而是“基于核心素养的单元教学设计”，要在围绕培养学生人格品行以及关键能力为基本素养的前提下，认真研讨不同学科的核心素养，并在课堂教学中践行。为学生主动学习、合作学习、探究性学习和核心素养的培养提供更多的空间。

作为教师，要读懂教材。如《圆的认识》这一单元的核心思想是：圆具有广泛的应用性、化曲为直、极限思想。课堂上要不断地渗透数学思想，数学课的学习不仅仅是知识的学习，能力和情感的培养更为重要，要培养能够让学生进入社会而有学习能力的素养。教育从知识为重心转移到以获取知识的能力和获取知识的过程为重点。

课堂上要让学生“建构”知识体系，可以用思维导图、日记等方式呈现自己对本单元核心概念的理解。体会到数学知识不是无本之木，让他们弄清知识从哪里来，还要让他们体会到知识可以到哪里去，来去之间，知识的本质就会镶嵌其中，知识的价值性就在潜移默化中驻足于学生心里。教结构、用结构也能体现举一反三和触类旁通，促进学生创新意识的形成。

三、提升学生核心素养的建议

在小学数学课堂教学中，教师在关注学生的知识、技能目标的同时，更应关注学生对数学的思考，让学生自觉地用数学的思维方法去观察、分析社会，解决现实问题，真正做到为形成学生的数学素养而教，为学生健康快乐的可持续发展而教。学生的数学素养包括：思考问题的方式、创新意识、稳定的个性心理品质等。

1．学生的数学素养来自于学生的质疑反思

好的问题是学生创新意识的萌芽。能发现问题、提出问题是学生思维批判性的具体体现，问题能引起学生内心的冲突，激发学生参与研讨交流的愿望，引导学生在“互辩”中寻求最佳方案，使学生的探索发现意识在“冲突一平衡一再冲突一再平衡”的循环和矛盾中不断得到强化，在主动完成认知结构的构建过程中培养学生的创新意识。

“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”。学生做事之后，组织他们进行反思，既有对成功的回昧又有对偏误的修正；既有对同伴的欣赏和吸纳，又有对自我的完善和丰富；既有方法的举一反三，又有思路的提升与拓展。教师要带领学生在“咀嚼与回味”中进行多