4年级奥数-等差数列求和

4年级奥数-等差数列(děnɡchāshùliè)求和第一页，共24页。小故事(gùshì)一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚表达完题目，一位小男孩即刻(jíkè)把写着答案的小石板交了上去。1+2+3+4+......+98+99+100=?

老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。

而更使人吃惊的是男孩的算法......

第二页，共24页。小故事(gùshì)老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师——彪特耐尔十分冲动，下课后特地向校长汇报，并声称(shēngchēng)自己已经没有什么可教这位男孩的了。卡尔·弗里德里希·高斯(ɡāosī)此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。第三页，共24页。第一(dìyī)讲四那么运算〔等差数列求和〕〔一〕第四页，共24页。等差数列(děnɡchāshùliè)的主要内容1、等差数列的根本(gēnběn)知识2、等差数列(děnɡchāshùliè)的项3、等差数列的和第五页，共24页。一、等差数列的根本(gēnběn)知识第六页，共24页。〔1〕1、2、3、4、5、6……〔2〕2、4、6、8、10、12……〔3〕5、10、15、20、25、30

像这样按照一定(yīdìng)规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；〔一〕数列(shùliè)的根本知识第七页，共24页。〔二〕等差数列(děnɡchāshùliè)的根本知识〔1〕1、2、3、4、5、6……〔2〕2、4、6、8、10、12……〔3〕5、10、15、20、25、30〔公差(gōngchā)=1〕〔公差(gōngchā)=2〕〔公差(gōngchā)=5〕通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项(hòuxiànɡ)与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。第八页，共24页。二、等差数列(děnɡchāshùliè)的项第九页，共24页。数列(shùliè)：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项(shǒuxiànɡ)+公差×1〔2-1〕第3项：5=1+2×2首项(shǒuxiànɡ)+公差×2〔3-1〕第4项：7=1+2×3首项(shǒuxiànɡ)+公差×3〔4-1〕第5项：9=1+2×4首项(shǒuxiànɡ)+公差×4〔5-1〕第6项：11=1+2×5首项(shǒuxiànɡ)+公差×5〔6-1〕等差数列(děnɡchāshùliè)的通项公式：等差数列(děnɡchāshùliè)的某一项=首项+公差×〔项数-1〕等差数列(děnɡchāshùliè)的末项=首项+公差×〔项数-1〕等差数列(děnɡchāshùliè)的首项=末项-公差×〔项数-1〕适用条件：该数列一定要为等差数列(děnɡchāshùliè)第十页，共24页。等差数列(děnɡchāshùliè)的某一项=首项+公差×〔项数-1〕例1数列2、5、8、11、14……求：〔1〕它的第10项是多少？〔2〕它的第98项是多少？〔3〕这个(zhège)数列各项被几除有相同的余数？分析(fēnxī)：首项=2公差=3解：〔1〕第10项：2+3×〔10-1〕=29〔2〕第98项：2+3×〔98-1〕=293

第十一页，共24页。等差数列(děnɡchāshùliè)的某一项=首项+公差×〔项数-1〕例1数列2、5、8、11、14……求：〔3〕这个数列各项被几除有相同(xiānɡtónɡ)的余数？分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项=2+3×〔项数-1〕规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项(shǒuxiànɡ)与余数相对应，公差与除数相对应，〔项数-1〕与商相对应。这个数列每1项除以3都余2。等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。

第十二页，共24页。例2数列(shùliè)2、5、8、11、14、17，这个数列(shùliè)有多少项。分析：第2项比首项(shǒuxiànɡ)多1个公差，第3项比首项(shǒuxiànɡ)多2个公差，第4项比首项(shǒuxiànɡ)多3个公差……，那第n项比首项(shǒuxiànɡ)多〔n-1)个公差。规律：末项比首项(shǒuxiànɡ)多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。

等差数列的项数=公差个数+1=〔末项-首项(shǒuxiànɡ)〕÷公差+1这个数列的项数=〔17-2〕÷3+1=6第十三页，共24页。小结(xiǎojié)：等差数列(děnɡchāshùliè)项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×〔项数-1〕等差数列的每1项除以它的公差，余数(yúshù)相同。等差数列的项数=〔末项-首项〕÷公差+1第十四页，共24页。练习(liànxí)1、一串数：1、3、5、7、9、……49。〔1〕它的第21项是多少?〔2〕这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2019。〔1〕它的第25项是多少?〔2〕这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。〔1〕它的第30项是多少?〔2〕这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22……。〔1〕它的第60项是多少?〔2〕这个数列(shùliè)各项被几除有相同的余数？第十五页，共24页。练习(liànxí)答案：1、它的第21项=1+2×〔21-1〕=41；这个数列的项数=〔49-1〕÷2+1=25；2、它的第25项=2+2×〔25-1〕=50；这个数列的项数=〔2019-2〕÷2+1=1004；3、它的第30项=101+1×〔30-1〕=130；这个数列的项数=〔199-101〕÷1+1=994、它的第60项=7+5×〔60-1〕=302；这个数列各项被5除有相同的余数。〔提示(tíshì)：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。〕第十六页，共24页。二、等差数列(děnɡchāshùliè)的和第十七页，共24页。例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析(fēnxī)：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列(shùliè)的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6444444444444444444两数列(shùliè)之和=〔6+38〕×9解：原数列(shùliè)之和=〔6+38〕×9÷2=44×9÷2=198等差数列(děnɡchāshùliè)的和=〔首项+末项〕×项数÷2第十八页，共24页。例：计算(jìsuàn)1+6+11+16+21+26+......+276分析(fēnxī)：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5等差数列的和=〔首项(shǒuxiànɡ)+末项〕×项数÷2？等差数列的项数=〔末项-首项(shǒuxiànɡ)〕÷公差+1解：等差数列的项数：〔276-1〕÷5+1=56〔项〕

原数列之和=〔1+276〕×56÷2=277×28=7756第十九页，共24页。练习(liànxí)1、计算(jìsuàn)〔1〕7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37〔2〕7+11+15+19+......+403〔3〕9+19+29+39+......+99〔4〕1+3+5+7+......+99第二十页，共24页。练习(liànxí)答案：解：〔1〕这是一个(yīɡè)等差数列；首项=7，末项=37，公差=3,项数=〔37-7〕÷3+1=11和=〔7+37〕×11÷2=242〔2〕这是一个(yīɡè)等差数列；首项=7，末项=403，公差=4，项数=〔403-7〕÷4+1=100和=〔7+403〕×100÷2=20500〔3〕这是一个(yīɡè)等差数列；首项=9，末项=99，公差=10，项数=〔99-9〕÷10+1=10和=〔9+99〕×10÷2=540〔4〕这是一个(yīɡè)等差数列；首项=1，末项=99，公差=2，项数=〔99-1〕÷2+1=50和=〔1+99〕×50÷2=2500第二十一页，共24页。等差数列知识(zhīshi)总结：