专题44三角函数的图像和性质2020年高考数学一轮复习对点提分文理科通用教师版纸间书屋

专题4.04三角函数的图象与性质y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小

y＝siny＝cosy＝tanRR{x|x∈R，且 Rπ －2， ＋2无 ＋2， 2， 无正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与1之间的距离是4个周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期

y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴 正切函数y＝tanx在定义域内是增函数 已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( 【答案】

【解析】(1)y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条 正切函数y＝tanx在每一个区间－2，kπ＋2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，不是增函数k>0时，ymax＝k＋1k<0【衍化2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( 【答案】【解析】最小正周期 ＝2 3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan－4的单调递减区间 【答案】8282【解析

由－2＋kπ＜2x4 得82＜x82

4 8＋2，8＋2【体验

Ⅱ卷)函数f(x)＝sin＋3的最小正周期为 2 2【答案】【解析】由题意 ＝2 Ⅲ卷)函数f(x)＝5sin＋3＋cosx－6的最大值为 55【答案】

5 5

【解析】cosx－6＝cos2－＋3＝sinx＋3f(x)＝5sinx＋3＋sinx＋3＝5sinx＋35大值为5 2<φ<2的图象关于直线x＝3对称，则φ的值 — —

【解析】y＝sin(2x＋φ)－2<φ<2的图象关于直线x＝3对称，得sin3＋φ＝±1.3

考点一 【例1】(1)函数f(x)＝－2tan＋6的定义域是 π

D.x|x≠2 不等式3＋2cosx≥0的解集 函数f(x)＝64－x2＋log2(2sinx－1)的定义域

7 5

(3)－6

6 【解析】(1)由 π∈Z)，得

π

≠2 由3＋2cosx≥0，得cos 3，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx 5 的解集为x|6≤x≤6π，故原不等式的解集为

由题意，得

由①得－8≤x≤8，由②sinx>2，由正弦曲线得 7 5 所以不等式组的解集为6

6(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三(1)利用三角函数线求解(2)利用三角函数的图象求解【训练1】(1)函数y＝sinx－cosx的定义域 (2)函数y＝lg(sin cos

【答案】 【解析】(1)sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]y＝siny＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]sinx＝cosx

为44 (2)要使函数有意义必须有 即 解得

考点二 【例2】(1)y＝3sin－6在区间0，2上的值域 Ⅱ卷)函数f(x)＝sinx＋3cos(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域

，2的最大值 【答案】 (3)－2－

【解析】(1)x∈，2时，2x－6∈－66

sin－6∈－2，1

y＝3sin－6的值域为—(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋3cos (cos 3)2＋1.— π，∴cos∴cosx＝3x＝π (3)t＝sinx－cost2＝sin2x＋cos2x－2sinxcossinxcosx＝2，且－2≤t≤ y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2t＝1时，ymax＝1t＝－2时，ymin＝－1－2 所以函数的值域为－2－【规律方法 形如y＝asinx＋bcosx＋cy＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值形如y＝asin2x＋bsinx＋csinx＝tt的二次函数求值域(最值形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋ct＝sinx±cosxt(最值

【训练2】(1)函数f(x)＝cos2x＋6cos2－x的最大值为

(2)(2019·临沂模拟)已知函数f(x)＝sin＋6x∈－3，af(x)的值域是－2，1a值范围 【答案】

【解析】(1)f(x)＝cos2x＋6cos2－x＝1－2sinx＋6sinx＝－2sinsinx＝1

2sinx∈[－1，1]

(2)由x∈－3，a，知x＋6∈－6，a＋6.因为x＋6∈－6，2时，f(x)的值域为－2，1，所以由函数 图象知2≤a＋66，所以考点三角度 3－1(1)

π

12－12，2 π 12－12，2 ＋6，kπ＋3 π (2)函数y＝sin－2x＋π的单调递减区间 π 【答案】 (2)

π

【解析】(1)kπ－2<2x－3<kπ＋2(k∈Z)2－12<x2＋12(k∈Z)f(x)＝tan－3 π 递增区间为2－122

π(2)y＝－sin－3，它的减区间是y＝sin2x－3的增区间.令2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，得 π ≤x≤kπ＋12，k∈Z.故其单调递减区间为角度

【例3－2】已知函数f(x)＝2cos＋6，设a＝f7，b＝f6，c＝f4，则a，b，c的大小关系是 【答案】【解析】令

解得

＋6

∴f(x)＝2cos＋6在－66ππππ∵－6<7<6<4<676角度 【例3－3】(2018Ⅱ卷)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是 C. 【答案】 【解析】f(x)＝cosx－sinx＝2cos π f(x)＝2cos＋4在[－a，a]44解得 解得

≤，所以的最大值是 合函数单调性规律“同增异减”；(2)y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导将ω化为正数，防止把单调性弄错ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的 【训练3】(1)设函数f(x)＝sin－3，x∈－2，π，则以下结论正确的是

f(x)在26 f(x)在6，π(2)cos23°，sin68°，cos97°的大小关系

(3)(一题多解)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 2【答案】 2

【解析】(1)x∈－2，02x－3∈3，－3f(x)x∈0，2

∈－33，此时函数f(x)先增后减；由x∈26，得2x－3∈33，此时函数f(x)

x∈6，π2x－3∈33f(x)先减后增(2)sin68°＝cos22°y＝cosx在[0°，180(3)法一由于函数f(x)＝sin

π的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，3

的4周期，故ω＝3法二 6k(k∈Z)，所以当k＝0时 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 【例4－1】(1)(2018Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 A.f(x)的最小正周期为π，最大值为D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为(2)(2019·杭州调研)设函数f(x)＝sin1x＋θ－3cos1x＋θ|θ|<π的图象关于y轴对称，则

【答案】 【解析】(1)

cos

3cos

＋ (2)f(x)＝sin2x＋θ－

6 k＝－1时 【规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，f(x)为偶函数的充要条件是 f(x)为奇函数的充要条件是＝2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 π.＝角度

4－2(1)f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线＋acosx的图象

g(x)＝sin

A.关于点3，0对 B.关于点3，0对πC.

D.关于直线 ＝3

＝6

y＝f(x)f(x)

＝－4

π，5π上单调，则ω的最大值为 【答案】 【解析】(1)因为函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线 ＝a＝ 3a 3＝a＝

＝6

2 332 3g(x)＝sin

cosx＝3sin

π∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线

＝3g(x)＝sinx＋acosx

2k＋1(2)因为x＝－4为f(x)的零点，x＝4为f(x)的图象的对称轴，所以4－－4＝4＋2，即(k∈Z)，所以

T＝ ·

π

π 又因为f(x)在18，36上单调，所以36－18＝12≤2＝2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得

－4在18，44上单调递增，在44，36上单调递减)，ω＝9ω对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令

kπ(k∈Z)xf(x)ωx＋φ＝kπ(k∈Z)x即可

f(x)＝Acos(ωx＋φ)f(x)ωx＋φ＝kπ(k∈Z)x kπ(k∈Z)，求x即可 2的最小正周期【训练4】 Ⅲ卷)函数f(x)＝tanx 2的最小正周期tan (2)设函数f(x)＝cos＋3，则下列结论错误的是 A.f(x)的一个周期为

＝3π D.f(x)在2，π单调递【答案】 【解析】(1)f(x)的定义域为sin cos

1sin2 2sin1＋cos

＝2(2)Af(x)2kπ(k∈Zk≠0)f(x)的一个周期为－2π，A项正确Bf(x)

π∈Z)，当k＝3时，直线

B项正确

＝3πC项，f(x＋π)＝cos3x＝6f6＝cos2＝0x＝6f(x＋π)的一个零点，C项正确

D项，因为f(x)＝cos＋3的递减区间为2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)，递增区间为2kπ3，2kπ3 (k∈Z)，所以23是减区间，3，π是增区间，D项错误【与感悟讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化y＝sint(y＝cost)的性质.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间.【基础巩固题组】(建议用时：40分钟1.(2017·山东卷)函数y＝ 2x＋cos2x的最小正周期为 B. 【答案】

【解析】∵y＝22sin2x＋2cos2x＝2sin 2 2.(2019·石家庄检测)若8，0是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是 【答案】

【解析】因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝ ＋4，由题意，知f8＝2sin8＋4＝0，所以8kπ(k∈Z)ω＝8k－2(k∈Z)k＝1 3.已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间－3，4上的最小值是－2，则ω的最小值等于 【答案】【解析】

，－3≤≤4，∴－3 ≤4由已知条件知 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sinωx－cosωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足 A.【答案】

—

【解析】依题意可得函数的最小正周期为2π＝2|x1－x2|min＝2×2＝4ω＝πf(1)＝2sinπ－cos

A.f(x)＝cos＋2

C.f(x)＝－tan 【答案】

【解析】∵f(x)＝cos2＝－sinx为奇函数，∴A；f(x)＝－tanx为奇函数，∴ 2cos2x＝－cos4x为偶函数，且单调增区间为22＋4(k∈Z)D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sinx|数，且在

6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos2x＋φ－π(0<φ<π)是奇函数，则 【答案】6

【解析】f(x)

＝6

＝67.函数y＝cos4－2x的单调递减区间

π

＋8

＋8 【解析】得

解得

5π ＋8 所以函数的单调递减区间为＋8，kπ8

卷)设函数 【答案】3

－6(ω>0).若f(x)≤f4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为【解析】由于对任意的实数都有f(x)≤fπ成立，故当

，4 9.(2018卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcos求f(x)的最小正周期 若f(x)在区间－3，m上的最大值为2，求m的最小值＋【解析】 1cos 3sin2x＋ ＝sin

＝2 由(1)f(x)＝sinπ所以 6 要使得f(x)在－3，m上的最大值为

sin－6在－3，m所以 －6≥2

π的最小值为10.(2019通州区质检)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为求函数y＝f(x)图象的对称轴方程讨论函数f(x)在 π上的单调性 【解析】(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝ ∴ω＝2f(x)＝

令

－4＝kπ＋2(k∈Z)x＝28 3π＝2＋8(2)令 π－2≤ f(x)的单调递增区间为－8，kπ8

f(x)在，2上的单调递增区间为08 同理，其单调递减区间为8【能力提升题组】(建议用时：20分钟11.若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cosx－sinx，则函数f(2x)图象的对称中心为

A. C.2 D.2【答案】【解析】f(x)＋2f(－x)＝3cosx－sinf(－x)＋2f(x)＝3cosx＋sin f(x)＝cosx＋sinx＝2sinf(2x)＝

令

＋4＝kπ(k∈Z)x＝2 f(2x)图象的对称中心为2 卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f5π＝2，f11π＝0，且f(x)的