平面向量重难点解析

-.z.平面向量重难点解析课文目录2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----(几何表示法)；②用字母、等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，。；若，，则，3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一）（其中）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质：（其中）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则——加法法则的推广：……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：=+()；差向量的意义：=,=,则=③平面向量的坐标运算：若，，则，，。④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)+=+(+)⑤常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则7．向量的模：1、定义：向量的大小，记为||或||2、模的求法：若，则||若，则||3、性质：（1）；（实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（当且仅当共线时取“=”）即当同向时，；即当同反向时，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ交换律：;分配律：()·=(·)=·();——①不满足结合律：即②向量没有除法运算。如：，都是错误的（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则=坐标运算：，则（5）向量在轴上的投影为：︱︱，（为的夹角，为的方向向量）其投影的长为（为的单位向量）（6）的夹角和的关系：（1）当时，同向；当时，反向（2）为锐角时，则有；为钝角时，则有9．向量共线定理：向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。10．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(*，y)，则=（*,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（*1,y1），B（*2,y2），则=(*2-*1,y2-y1)11.向量和的数量积：①·=||·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。②||cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若=（，）,=（*2，）,则⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥和的夹角公式：cos=＝⑦||2=*2+y2，或||=⑧|a·b|≤|a|·|b|。12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若∥，≠，则=λ坐标语言为：设=（*1,y1），=(*2,y2)，则∥(*1,y1)=λ(*2,y2)，即，或*1y2-*2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：⊥·=0坐标语言：设=(*1,y1),=(*2,y2)，则⊥*1*2+y1y2=0【典型例题】例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200，与的夹角为450，||=5，用，表示。解题思路分析：以，为邻边，为对角线构造平行四边形把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0则=λ+μ∵||=||=1∴λ=||，μ=||OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：∴∴例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。解题思路分析：用解方程组思想设D（*，y），则=（*-2，y+1）∵=（-6，-3），·=0∴-6(*-2)-3(y+1)=0，即2*+y-3=0①∵=(*-3，y-2)，∥∴-6(y-2)=-3(*-3)，即*-2y+1=0②由①②得：∴D（1，1），=（-1，2）例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。解题思路分析：用解方程组思想法一：设=（*，y），则·=*-y，·=*+y∵<，>=<，>∴∴即①又||=∴*2+y2=2②由①②得或（舍）∴=法二：从分析形的特征着手∵||=||=2·=0∴△AOB为等腰直角三角形，如图∵||=，∠AOC=∠BOC∴C为AB中点∴C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记=，=，用，表示向量。解题思路分析：∵B、P、M共线∴记=s∴①同理，记∴=②∵,不共线∴由①②得解之得：∴说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y）∴=（1，3），=（-1，y）∴·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2∴点P为靠近点A的AB三等分处当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）∴=（2，1），=（-1，2）∴·=0∴∠DPE=900又∠DCE=900∴D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。【考点剖析】考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果和是同一平面内的两个不共线向量，则对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.注意：若和是同一平面内的两个不共线向量，【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。例1、（2007**）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线*=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。例2、（2007**）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。例3、(2008**文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)，(a+2b)·c，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。例4、(2008**文)已知平面向量，且∥，则=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。例5、(2008**、**文)已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（）A.－1 B.1 C.－2 D.2解：由于∴，即，选Ａ点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。例6、(2008**理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若,,则（）A． B. C. D.解:,,,由A、E、F三点共线,知而满足此条件的选择支只有B，故选B.点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。例7、（2008**）已知向量和的夹角为，，则．解：=，7点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。例8、(2008**理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得:同理，有：以上三式相加得所以选A.点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。例9、（2008**福田等）已知向量,函数(1)求的最小正周期;(2)当时,若求的值．解：(1).所以，T＝.(2)由得，∵，∴∴∴点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例10、（2007**文）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求．解：（1） 又 解得．，是锐角． ．（2）由， ， ． 又． ．． ．点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。例11、（2007**）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，代入到已知解析式中可得选Ａ点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值*围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例12、（2008**六校联考）已知向量＝(cos*，sin*)，＝()，且*∈[0，]．（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。解：（=1\*ROMANI）由已知条件：，得：（2）因为：，所以：所以，只有当：时，，或时，点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sin*的取值*围，否则容易搞错。考点六：平面向量在平面几何中的应用O*ACBa例13图yACO*ACBa例13图yACBaQP【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。例13、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值。解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（*，y），则Q（-*，-y），∴c*-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。平面向量全章检测说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．在△ABC中，一定成立的是 （）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为 （）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形3．在△ABC中，较短的两边为,且A=45°,则角C的大小是 （） A．15° B．75 C．120° D．60°4．在△ABC中，已知,则·等于 （） A．－2 B．2 C．±2 D．±45．设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值*围是 （） A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3 D．a＞06．在△ABC中,三边长AB=7，BC=5，AC=6，则·等于 （）A．19 B．－14 C．－18 D．－197．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么条件 （）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．若△ABC的3条边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是 （） A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．3∶49．已知向量，，若与垂直，则实数= （）A．1 B．－1 C．0 D．210．已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是 （） A．4 B．－4 C．2 D．－211．已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 （） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （） A．1公里 B．sin10°公里 C．cos10°公里 D．cos20°公里第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.14．在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B=时，BC的长取得最大值.15．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于.16．已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3