对泛函的理解

作业一：基于有限变量集与无限变量集的概念，统一微分和变分的定义，重写1-4.2〜1-4.5的内容。为了统一微分与变分的定义，以微分形式表述能量原理，我们引入无限变量集与有限变量集的概念。结构中每一点的挠度可构成挠度场，即^⑴，表示坐标尤=%对应的挠度集合，显然v(x)是一个无限变量集。我们在计算时将这无限个挠度值离散，得到有限变量集V、V、V……V。当i趋于无穷时，离123i散后的挠度值仍为无限变量集。而后，以受分布荷载的简支梁为例，将其势能的变分表达式改写为微分表达式。首先，给出变分的势能表达式与势能一阶表达式。其势能表达式为:2,-qVdx直接利用变分法求泛函得其一阶变分为:sn「sn「JeEI,sTV”2-qvdx而后，进行微分改写。若我们将该简支梁受力后形成的挠度场V(x)离散，可得离散后的挠度：V、V、V……V，将V(i=1、2、3……n)看作自变量，dV为TOC\o"1-5"\h\z123niiV发生微小变化时的变化量，dV“为V“发生微小变化时的变化量。iii在此，值得说明的是，就V”来讲，V"表示x=尤时，函数v(x)的二iii阶导数。对于离散前的v(x)的二阶导，其可构成平滑的曲线。当V”(x)

发生变化时，变化量可表示为V"(X)-V”⑴(其中V"(x),V"(x)分别表示变2112化前、后的火W)。因此，我们关注的是U整体的变化，而非'的变化,i亦或是过分关注其导数的含义。又根据定积分的数学定义：设函数了⑴在区间［a,b］上的有界，在［a,b］中任愿、插入右干个分点。=尤<x<x<%=/?把区间［a,b］分成n012n个小区间，各区间的长度依次为怂=x-x,Q=1,2,...)，在各区间上取iii-1一点&(geAx)，作乘积f(g)Ax(，=1,2,…),令人=max(Ax,Ax,Ax］，那iiiii12n么在区间［a,b］上的定积分可记为卜f(x)dx=limZfG)Ax。iia4oi=l简支梁的势能表达式可改写为：T-r(El、fT-r(El、fEl<El)n=——VH2-qvAx+——VH2-qvAx+——v"2-qvpL21iL222>2〔233；Ax+3(El+——v"2-qy2nnjAxn由新的表达式，我们可以得到n的一阶微分：pdII=(Elv'dv"-qdv)Ax+(Elv'dv"-qdv)Ax+(Elvdv"-qdv)Axp111122223333++(Elv'dv"-qdv)Axnnnn右取Ax=Ax=・..=Ax=Ax，则上式可表示为：12ndH=［-工叫小+8叫如］Arp［dvidv"i,

、/■=!i/=1i7将该式与直接利用变分法求得的泛函一阶变分表达式做对比可知，式中的积分号与求和号相对应，积分号与求和号后的运算完全是等价的。另外，在能量法近似求解时，我们对挠曲函数进行整体插值，即vG)=G)。简支梁的势能表达式为:iin盘E伍a妒T—q^a©dx

p0[2IJ■)J■从这个角度，我们依然可以看出，能量表达式由以前的泛函形式转化成了函数表达式。既然n已变为函数，那么势能极值问题可根据函数极值条件求解，即：旦二0,旦二o,......凸二odadada12n由上述两种离散方式，我们可以知道当结构有无限个自由度离散成有限个自由度时，能量表达式的泛函形式随之可转换为函数形式，那么原来求泛函极值的问题也将转化为求函数极值的问题。能量函数的极值条件我们都知道函数f(x)在x=x0处为极小值的条件为：f'(x)=0f"(x)>0(在x=x处)那么，泛函n[v(x)]取极小值的条件是否为：n=02n>0(在v(x)=V(x)处)在此，给出数学证明如下：我们考察最简泛函nV]=j1f(x,v,vr^dx

0式中F(x,v,V，)具有二阶连续偏导。应用多元函数的泰勒公式，被积函数F(x,v,V)在v=v(x)上的增量可写成如下形式△F=F（x,v+8v,”+8”）一F（x,v,”）=TOC\o"1-5"\h\z（F5v+F8伊）+上F（5v）2+2F5v8vr+F（5vr）2

vv2vvvvvv式中，F,F,F分别表示F,F,F在点G,v+08v,v，+08”）处的vvvv'vv'vvvvvvv'12值，0<0<1，0<0<1。且F=F+8,F=F+8,F=F+8，£点点12vvvv1vv^vvf2vfvvvvvv3123为无穷小量。因此，上式右端的第一项称为函数FG,v,")的一阶变分，记为8F，即8F=F8v+F8v'vv记为82f，即上式右端的第二项称为函数FG,v,v)的二阶变分，记为82f，即，(5v2+2F8v8v'+FGv'》vvvvvv于是AF=8F+82F+R2其中R2为高阶无穷小量。由此，泛函口口的变化量可表示为：An=j‘F(x,v+8v,v'+8v')一F(x,v,v')dx0如果泛函nlv]=fIF(x,v,v'\x在v=v0(x)上取极值，对于v=v0G)和任意固定的8v，nv(x)+88v]=①G)，其中中G)是变量8的函数，当8=0时0nv]=nv(x)]，即nv]取得极值，相应的函数中G)在此时取得极值，因0此，中'(0)=0。中'(8)=fzF(x,v+88v,v'+88v')5v+F(x,v+88v,v'+88v')5v']7x0vv‘

中'（0）=J'[fG,v,v^v+FG,v,=00vv'易知，8n=Or（0）=0由此可见，811=0为必要条件。那么泛函的变量△!!化简为：△n=低2F+R=\l^2Fdx+RTOC\o"1-5"\h\z020积分h.Fdx称为泛函n□在极值曲线上的二阶变分，记为821182：1=膈尸心=上儿S+2E8v5vr+Ffcvi