APOS理论视角下小学分数概念教学研究 论文

APOS理论视角下小学分数概念教学研究

摘要：小学数学概念作为小学数学知识的重要组成部分，这部分的教学尤其重要。学生对于分数的学习存在一定的难度，作为教师需要探究好的、有效的方

法来解决学生学习分数的问题。APOS理论强调在学习的过程中要充分发挥学生的主体地位，通过操作、过程、对象、图式这四个阶段来完成概念学习的心理建

构。本研究基于APOS理论，对分数概念教学进行探究。关键词：APOS理论，小学分数，概念教学

引言：分数概念是小学阶段一个重要的学习内容，从整数到分数是数概念的一次扩展，从整数到分数，学生的数学学习将建立一个新的数概念，是对数的认

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识一次质的飞跃。APOS理论的指导下的数学概念教学与传统教学相比更加具有优势，同时实践效果也更加出色。将APOS理论应用于小学数学概念教学领域

的研究比较少，这为本文的研究提供了研究的空间和价值。本研究基于APOS理论，对分数概念教学进行探究。

一、分数概念小学数学概念作为小学数学知识的重要组成部分，所以数学概念的教学尤其

重要。我国学者朱立明、马云鹏在数学教育学报上发表了一篇《小学数学中“除法”“分数”与“比”的辨析与思考》，文中提到小学阶段分数的概念主要涉及到

以下4种：第一，商的定义（运算中出现的新数）；第二，份数定义（表示整体与等分的关系）；第三，比的定义（两个事物量之间的整数比）；第四，数线定义（数

与点的对应关系），本文将依照这4个维度进行定义。1.商的定义

第一，商的定义（运算中出现的新数），虽然可以把分数看成除法运算的一种表示，但分数是数不是运算，分数是数域扩张的结果，人们通常称形如a/b的

数为分数，称其中的a为分子、b为分母，在一般情况才，要求分子和分母都是正整数。在五年级下册“分数与除法”的内容中，教材中出现了ａ÷ｂ＝a/b这

样明确的分数与除法的关系，事实上这就是分数“商”的意义。.份数定义

第二，份数定义（表示整体与等分的关系），在整个小学阶段，分数最早出现于三年级上册，教材对于分数概念的定义是这样的：把单位“１”平均分成若

干份，表示这样一份或几份的数是分数。教材从部分和整体的角度给出了分数的定义。比如：把一个月饼平均分成

3份，其中的1份就是1/3，这样通过等分能

够得到分数单位，这个概念对于学生来说非常的重要，后面学习的分数计算、分数的比较大小以及分数的基本性质都是以此为基础的。

3.比的定义

第三，比的定义（两个事物量之间的整数比），在连续量或者离散量的情境下，两个量的比较结果，或者说以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍

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的度量。比如：小明家有

4只鸡，是鸭子数量的

1/2，鸭子有多少只？其中的

1/2就是比例：1只鸡对应2只鸭子。从这我们可以看出分数是无量纲的数，这个比

例与数量的多少没有关系。4.数线定义

第四，数线定义（数与点的对应关系），这是在事物操作与语言描述之外的另一种分数的意义，比如，让学生在数轴上标出1/2，,在1/2和1/3之间找到

一个分数，由于分数是学生认识最早的不能依赖数数的数，这对学生来说存在一定的困难，尤其是假分数或者带分数。

可以看出，分数概念的理解水平是受学生的年龄的影响，同时各个概念的建构不是互相孤立的，相反这是一个相互联系相互渗透的过程，一个概念的建构对

其他概念的学习有很大的影响，所以建立完善的分析概念体系十分的重要。[3]二、APOS理论

APOS理论分别是由英文action（操作），process（过程），object（对象），scheme（图式）的首字母大写所组合而成。这种理论认为,在数学学习中,如果引

导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后,个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题,这就是APOS理论。

1.第一阶段——操作阶段

操作阶段是数学概念的引入阶段，大部分的数学概念不是外显的，它需要一系列显性的数学活动探究出来，学生在进行数学概念学习的时候，需要借助这些

外在的探究活动去理解数学概念的本质。具体来说,所谓操作是指个体对于感知[1]

到的对象进行转换,这个对象实质上是一种外部刺激。举例来说，给定几个带有阴影部分的图形，学生能够找出其中表示二分之一的图形，再出示不一样的图

形，学生也能从中找出二分之一，不断重复这种操作，学生能够从中得到反思，会形成一种心理建构，这就是操作阶段。

2.第二阶段——过程阶段

不断重复以上的操作，学生不需要借助外界的刺激，已经可以在头脑中形成自动化的操作，这时候出示不一样的图形，学生也能够很快选择出哪个表示二分

之一，同时能够动手画一画、折一折二分之一，这时候他们就完成了过程阶段的心理建构了。

3.第三阶段——对象阶段

当他们不再仅仅关注二分之一这个简单的分数，而去关注分数这个整体的时候，学生这时候知道什么是分数，同时也能判断出什么不是分数，进一步我们才

能去探讨分数的性质，利用分数去解决问题。从数学的角度看,由“过程”向“对象”的转移其基本意义就是为从更高的层次进行研究开拓了现实的可能性。

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4.第四阶段——图式阶段

当个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应整合、精致就会产生出新的问题图式,这种图式的作用和特点就是可决

定某些问题或某类问题是否属于这个图式,从而就会作出不同的反应。显然,个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次。即对有关概念进行

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了更高层次的加工和心理表征。学生会把刚学的分数与之前学习的整数联系起来，脑海中数的范围拓宽了，进一步根据整数的计算以及其他特点联想到分数。

三、研究设计与方法本文采用问卷调查法，调查小学生分数概念理解水平。本文以APOS理论为

基础，对学者们的观点进行综述概括后，将小学阶段的分数概念划分为份数定义、比的定义、商的定义和数线定义。把每个分数定义的理解水平划分为操作、过程、

对象和图式四个阶段，进行问卷设计。测试卷由选择题、填空题两部分构成，共16道题目，1-4题属于份数定义。5-8题属于比的定义，9-12属于商的定义，12-

16属于数线定义。

四、研究结果与分析：1.份数定义

14((1)下面四幅图中，阴影部分表示的是（

）

2)你认为图中，阴影部分占整个图的几分之几？（）学生能够较好的掌握等分的概念，理解平均分，这是学生学好分数的前提。

第1题属于操作阶段，第

1题学生能够通过图形直观看出B答案是平均分成了

4份，对于操作阶段的分数概念，学生掌握的比较好。第2题给出的图形不是等分

的状态，大部分的同学能够通过重新分割找出正确的分数，剩下的学生在面对不是等分状态下的图形时，不能很好的找出图形所对应的分数。

1363)请在下面图形中画一画，使它们分别能表示、、。

279(123769(4)你都能用哪些分数表示下面图中的阴影部分。(至少会用2种表示）

第3题属于对象阶段，要求学生将不同形状的图形通过等分用分数来表示，

69出错的同学基本出现在第

3个用三角形来表示

，这些学生没办法对三角形进行

平均分。第4小题属于图式阶段，做对的学生能灵活掌握整体和部分之间的关系，能够将具体的数量比转化到分数比，这是一个抽象的过程。剩下的学生在图示阶

段的掌握情况不够理想。((.比的定义

125)小明家有

4只鸡，是鸭子数量的

，鸭子有多少只？（列式计算并解答）

6)五年级班共有50名学生,男女生比例为3:2，这个班女生有多少人？（列式计算并解答）

第5题属于操作阶段，考察学生对两个事物量之间整数比的理解，大部分学生都能很好的理解鸡和鸭子的数量关系，鸡的数量对应1份，鸭子的数量对应2

份。学生在操作阶段掌握的比较好。第6题属于过程阶段，学生能够很好的理解具体数值所对应的比例，50名学生对应的是比例5，男生占其中的3份，女生占

其中的2份，学生在该过程阶段掌握的非常好。13(7)小明从家往学校走，走了全程的，还剩

300米，小红家离学校有多远？

（列式计算并解答）

8)用

36米长的篱笆围成一个长方形菜地，要求宽是长的

，这块菜地的面45(积是多少平方米？

第7题属于对象阶段，这题不能直接看出数值所直接对应的比例，学生需要23通过计算找出

300所对应其实是分数

，根据学生的完成情况能够看出此题学生

掌握的较好。第8题属于图式阶段，此题同样不能看出具体的数值36米所对应的比例，这题与其他数学知识进行了融合，进一步考查学生综合解决问题的能力。

3.商的定义

((9)计算：5÷7=（

）

a÷b=（

）（b≠0）

10)把3块月饼平均分给4人，每人分得多少块月饼？第9题属于操作阶段，跟份数定义和比的定义相比较，学生在商的定义方面

掌握有所欠缺，此题考查的是分数与除法的关系，学生需要用分数来表示商。部分学生不能正确填写分母和分子的位置。如果学生达不道操作阶段的水平，后续

关于商的定义概念的学习肯定会出现问题，第10题要求学生能够正确的把握量和数的关系，错误主要出现在没看清问题或者没看懂问题，这些题目要求学生能

够很好的区分商的定义和份数定义。(11)把

6米长的绳子，平均分成

7段，每段占全长的（

），每段的长是（

）米。

23(12)小明小时走了

3

千米，小明每小时能走多少千米？小明走

1千米需要

多长时间？第11题属于对象阶段，此题在教学中经常出现，这题学生容易混淆了份数

和段数的区别，份数定义和商的定义单独出现时，学生容易区分并且能够正确作答，将这两个概念混淆在一起，增加解题的难度。第12题属于图式阶段，这里

23的分数对应的是具体的量，如果换成整数

2，学生理解起来比较容易些，这题

的完成情况不太好，学生不知道怎么除，这里出错的主要原因是学生不理解除法的意义。

4.数线定义

1454(13)请点

A

表示

的在数轴上位置，点

B

表示

的在数轴上位置。

(14)将分数连接到数轴上正确的位置第13题属于操作阶段，少部分学生在数轴上表示分数存在障碍，尤其是假

54分数，学生对于数轴上单位“1”的理解比较狭隘。第

14题属于过程阶段，这

题将图形和数轴所表示的分数全部混合在一起，学生不能将图形所表示的分数和数轴所表示的分数一一对应。

(15)如图，OE的长度是一个等边三角形的周长，（）表示其中一条边的

长度，你是怎么想，写一写。（16）请写出数轴上，点A和点B把0至1之间平均分成3段。点C和点D

又把线段

AB平均分成

3段。那么

C用（

）表示。第15题属于对象阶段，这题将分数与图形融合，数轴给出的又是不规则的

13等分状态，从不规则的等分数轴上找出存在一定的困难。第

16题属于图式阶段，

这题的单位