2020年度自考高数教案

自考高数教案

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第1章函数、极限与连续

教学过程

§1-1初等函数

一、基本初等函数

我们把惠函数步都(awR)、指数函数

x

i(=a(a>0且awl)、对数函数t/=logax(a>0

且awl)、三角函数t/=sinx,y=cosx,y=tanx,

y=cotx,y=sec(y=cscx和反三角函数

t/^arcsinx,t/^arccosx,t/=arctanx,

#arccotx统称为基本初等函数.很多时候

也把多项式函数

nn1

t/=anX+an.iX'+...+aiX+ao看作基本初等

函数.

二、复合函数

定义1如果y是u的函数y=f(u)y而u

又是x的函数3叭冷,且(p(x)的值域与

讶⑷的定义域的交非空，那么，y经过中

间变量u的联系成为x的函数，我们把这

个函数称为是由函数卡4⑷与U=(p(x)复合

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而成的复合函数，记作y=f[(p(x)]-

学习复合函数有两方面要求：一方面，会把

几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个

复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；

另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单

的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数

或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的

函数.

例1已知y=lntL,u=x2,试把y表示

为x的函数.

解t/=lnU=lllA：2,XG(-00,0)0(0,+00).

例2设配炉，u=tanv,iz=±,试把y

表示为x的函数.

解i/^a2=tan2iz=taii2£.

复合函数的中间变量能够不限于一个.

例3函数卡esinx是由哪些简单函数

复合而成的？

解令u=sinx,贝!|y=eu,故y=esinx

是由y=^u,u=sinx复合而成的.

例4函数i/^tan3(21nx+l)是由哪些

初等函数复合而成的？

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解令u=tan(21nx+l),贝!]y=u?；

再令v=21nx+l,贝!|u=tanv.

故卡taiPQlnx+l)是由y=u?,u=tanv,v=21nx+l

复合而成的.

三、初等函数

定义2由常数和基本初等函数，经过

有限次四则运算和有限次复合而成的,而且

能用一个式子表示的函数，称为初等函

数.例如：

sinx.二r、QX+QT

y=~i~~7,y=Iog〃z(x+M+x),y=-----------

x+12

等都是初等函数.

例5分解丫=网"3『).

解令u=siii(l+3x2),得y=eu；再令

v=l+3x2,得u=sinv.

故),=*田)是由步e”，u=sinv,^=1+3*2复

合而成的

定义3设aaeH,»0,数集｛x||x-a|<^,Xe

R｝，即实数轴上和a点的距离小于5的点的

全体，称为点a的s邻域，记作U(a,。，

点a与数b分别称为这邻域的中心和半

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径.有时用u(a)表示点a的一个泛指的

邻域.数集｛x|Ov|x.aQ,xeR｝，称为点的

空心5邻域，记作,

U(a,j)=(a・a,a+b),I(a»)=(a-:碗(。,。+3).

小结

作业

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§1-2极限

一、数列的极限

两个数列：

j_J_J_J_

'~-7'TT9',,‘,

2482n

CD

j_23n

5W彳…%+厂••

(2)

在数轴上表示.

数列⑴中的项无限趋近于0,数列⑵中

的项无限趋近于1.

定义1当数列｛an｝的项数n无限增大时，

如果而无限地趋近于一个确定的常数A,

那么就称这个数列存在极限A,记作

lima,=A.读作“当Fl趋向于无穷大时，的

极限等于A”.符号表示“趋向于"，“8”

表示“无穷大”，“九-8”表示“n无限增

大”.lima,,=A有时也记作当n->8时，an->A,

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或an->A,(n-^oo).

若数列｛an｝存在极限，也称数列｛aQ收敛；

若数列｛aQ没有极限，则称数列｛an｝发散.

注意：⑴一个数列有无极限，应该分析随着

项数的无限增大,数列中相应的项是否无限

趋近于某个确定的常数，如果这样的数存

在，那么这个数就是所论数列的极限，否则

数列的极限就不存在.

(2)常数数列的极限都是这个常数本身.

二、函数的极限

自变量x的变化过程：

(l)x的绝对值|x|无限增大(记作Xf8);

(2)x无限接近于某一值物，或者说x趋

向于X6(记作X->Xb).

1.当Xf8时函数/(X)的极限

Xf8包含以下两种情况：

(l)X取正值，无限增大，记作Xf+8；

(2)x取负值，它的绝对值无限增大(即x无

限减小)，记作

若X不指定正负，只是因无限增大，则写成

Xf00,

例1讨论函数当Xf+8和

X

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的变化趋势.

解作出函数>1+1的图像.

X

当X_^+8和X~时，j?=1+1-^1,因

x

此当X-»00时，y=l+l->l.

X

定义如果当IM无限增大（即。00）时，函

数42无限

地趋近于一个确定的常数A,那么就称丹2当

Xfoo时存

在极限A称数A为当Xf00时函数42的极限,

记作

类似地，如果当Xf+00（或X--8）时，函

数无限地趋近于一个确定的常数A那

么就称风刈当Xf+8（或Xf-8）时存在极

限A,称数A为当Xf+8（或Xf.00）时函数

42的极限.记作

lim/（x）=A（或limf（x）=A）•

X—XT-eo

例2作出函数疔q产和疔2”的阴像，并

判断下列极限：\/

⑴加0产；（2）蛔2"・M/,

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解⑴iim(1)^=0；

、/4->+00、2/

X

(2)lim2=0.

X—>-oo

例3讨论下列函数当Xf8时的极限:

⑴月+J；(2)岁2”・

解：(1)当X->+8时，1/=1+^/-\^1+

1

当X-^-8时，^=1+Jr―>17—c工~

因此，当因无限增大时，函数步1+与

X

无限地接近于常数1,即

m)二L

XT00X~

(2)当X—>+8时，y=2匚>+8；

当x—>-oo时,y=2x—>0.

因此，当|刑无限增大时，函数卡2”不可

能无限地趋近某一个常数，即

lim2又不存在.

XT00

结论：当且仅当场和吧爪2都存在而且相

等为A时，11m4刈存在为A,即

X->8-

蚓/>c)=Ao帆式X)，巴/x)=A・

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2.当xfxb时，函数人*:)的极限

XfX)包含以下两种情况：

⑴XfK表示X从大于Xb的方向趋近于Xb；

(2)x-».K。表示x从小于Xb的方向趋近于“).

记号XfX)表示X无限趋近于利,卡从哪个方

向趋近没有限制.

例4讨论当xf2时，函数#能4的变化

趋势.--E2

解作出函数步X+1的图像.

不论x从小于2的方向趋近于2,或者

从大于2的方向

趋近于2,函数y=%+l的值总是随着

自变量x的变化从

两个不同的方向愈来愈接近于3,因此说

当xf2时y=x+l->3.

例5讨论当XT1时，函数卡心1的变化

X—1

趋势.

解作出函数疔j的图像.I

X—Ii£

函数的定义域为(・8,1)51,8)，由k画函

1Z

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数没有定义，

X不论从大于1或从小于1两个方向趋

近于1时，函数

产J的值是从两个不同方向愈来愈接近于2

X—1

的.我们研

究当X趋近于1函数的变化趋势时，并

X—1

不计较函数

在X=1处是否有定义，而仅关心函数在X=1的

邻近(XeU(K)的函数值的变化趋势，也即

我们认为在XT1时隐含一个要求：心L因

此，

当x->l时,疔2.

X—1

定义如果当*M),XfXb时，函数4刈无

限地趋近于一个确定的常数A那么就称当

x->M)时42存在极限A；数A就称为当

时，函数的极限，记作Jim/(%)=A.

例6求下列极限：

(l)/(x)=x，曾/x)；(2)/：x)=C,liin/Cx),(C

为常数).

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解(1)因为当XfXb时，f(x)=x的值无限

趋近于X),因此有岬/(X)=吧”=抑.

⑵因为当Xf%时，4x)的值恒等于C,因

此有映/：x)=岬OC.由此可见，常数的极

限是其本身.

规定：

(1)如果X从大于Xb的方向趋近于xo(BP

xfw)时，函数丹2无限地趋近于一个确定

的常数A,那么就称H刈在％处存在右极

限A,称数A就称为当xf%时，函数4刈

的右极限，记作lim/(x)=A•

xfX。

⑵如果x从小于Xb的方向趋近于xb(BP

xfx。)时，函数无限地趋近于一个确定

的常数A,那么就称在狗处存在左极

限A,称数A就称为当一利时，函数4刈

的左极限，记作limJ(x)=A.

例7已知函数4)={«j讨论当x->0

时的极限.

解limf(x)=lim(x-1)=—19

limf\x)=lim%。,

A->0+X-MT

limlim/(x)•

x->o+x->(r

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因而当Xf0时/(x)的极限不存

在.

一般地，

lim/(x)=A<=>lim/6)=limJ(x)=A.

X->“0x->X0X->xo

例8已知尸(x)=b'"，求IW(x).

v7[2,x<2I

解因为1y(x)=唾x=2,

limf(x)=lim2=2,

x->2"xTT

即lim/(x)=lim/(x)=2,

xf2+xf2-

因此limf(x)=2•

x—>2

例9已知42二号，处"CO是否存在？

解当x>0时，42=凶=三=1；

XX

当xvO时，=-1,

XX

因此函数能够分段表示为人)=『—于是

—1,x<0,

lim/(x)=1,lim/(x)=-1,即lim/(x)Hlim/(x),因此limy(x)不

.v->0XT0_x->0x->Q_.v->o'/

存在

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§1-3极限的四则运算

和、差、积、商的极限运算法则：

如果limf(X)=A,limg(x)=B,那么

X-0X-Q

1.lim[/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=AtB；

X-QX-KV°X-KV0

2.lim[</{X>g(X)]=lim•limg(X)=A，B；

X->.V0X-X-0

特别地，|加。珏2=6皿/(2=04(C为常数)；

X-0X-0

1m

2f(x}1f(x)A,、

limf。/、=_,仍一0)•

g(x)limg(x)B

Xf0

说明：

1.上述运算法则对于。8等其它变化过程

同样成立；

2.法则1,2可推广到有限个函数的情况，

因此只要x使函数有意义，例如下面的等

式也成立：

Hm[/（X）]n=[limJ[X）]n,

X->X0A->A0

同小切吟国42『awQ・

X->X0X-^XQ

极限运算“曾”与四则运算（加、减、乘、除）

能够交换次序（其中除法运算时分母的极限

必须不等于零).

例1求的(x2+2x-3).

.v-»2

2

解：1ir(x+2x-3)=

XT2

limX?+[j1n2X-lim3=[lim2*limX・3=2,2+2・2・3二

.v->2x―2.v->2x->2A->2

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5.

x~-2x+5

例2刁、lrun------------

7xI2+6

--2%+5—吧(/-2》+5)

解4

Ix~+6lim(x2+6)7

x->l

/—1

例3求lim

XTlx—1

^-lU-l)(xl)=

解lii=lim+=lim(x+l)2.

.v—>1%—]x—>1x—1XT1

x-4

例4求lim

x—>4Jx+5-3

解lim/-4=lim(x—4)Qx+5)+3)

iJx+5-3-IQx+5-3)Qx+5)+3)

=^j+3)=lim7775

-lim(x-4)(斤5+3)lim(+3=6.

x->4x—4XT4VXT4x->4

例5求.皆”!

〃T82〃-+3〃+4

.21limfl+2+3

n2+2«+1—1+.+涓

解lim—；----------lim—邑_«-nrr

a-002〃~+3〃+4“T8人341J2+一2

2+-+—

nnnf%」n

2x“—x+5

例6刁、rlim-----------

xt83x-2x-1

2__LA

.2x—-尤+5-■丫丫2+3

解1im-T—；~7—lim^J

X^3x3-2x-1x->oo21

J23=r°

XX

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§1—4无穷大和无穷小

无穷大

考察函数

由图可知，当X从左右两个方向趋近于1

时，仇刈|都无限地增大.

定义1如果当X.M）时，函数/（X）的绝对

值无限增大，那么称函数及对为当

时的无穷大.

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如果函数4刈为当Xf%时的无穷大，那么

它的极限是不存在的,但为了便于描述函数

的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是

无穷大”，并记作

lim/(x)—8•

XTXo

注意式中的记号“8”是一个记号而

不是确定的数，记号的含意仅表示“黄2的

绝对值无限增大”.

如果在无穷大的定义中，对于X)左右近旁

的x,对应的函数值都是正的或都是负的，

也即当XfXb时，4刈无限增大或减小，就

分别记作

limf(x)=+8向^lim/(x)="0O•

X->X0XTXo

例如，(1)当xfl时，|，|无限增大，因

X-1

此，是当Xfl时的无穷大，记作lim-LuOO.

x-1x-I

定乂可推广到Xf0，X—>x(；,x->00,Xf+8,

Xf-00时的情形.

例如，(2)当时，国无限增大，因此

X是当X->8时的的无穷大，记作11x=8.

XmT8

(3)当xf+oo时，2”总取正值而无限增

大，因此2”是当Xf+8时的的无穷大，记

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X

作lim2=+00.

XT+OO

(4)当x.0+时，加x总取负值而无限减

小，因此Inx信产加+时的无穷大，记作

limlnx="oo.\Z"

注意(1)一个函数道刈是无穷大，是与自变量

X的变化过程紧密相连的，因此必须指明自

变量X的变化过程.

(2)不要把绝对值很大的数说成是无穷

大.

无穷大表示的是一个函数，这个函数的

绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋

势是无限增大;而这些绝对值很大的数无论

在自变量何种变化过程,其极限都为常数本

身，并不会无限增大或减小.

二、无穷小

1.无穷小的定义

考察函数4刈=朽1,由图可知，当*“卢右

两个方向无「一

限趋近于1时，4刈都无限地趋向于.

定义2如果当xfxo时，函数凡*:)的极

限为0,那么就称函数

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/(X)为XfM)时的无穷小.记作lim/(x)=0.

X->40

例如，(1)因为11m(右1)=0,

X->1

因此函数X-1是当Xf1时的无穷小.

例如，(2)因为一；0,

XT』

因此函数，是当。8时的无穷小.

X

注意(1)一个函数凡X)是无穷小,是与

自变量X的变化过程紧密相连的，因此必

须指明自变量X的变化过程.

(2)不要把绝对值很小的常数说成是无穷

小.

无穷小表示的是一个函数，这个函数在

自变量某个变化过程中的极限为0;而这些

绝对值很小的数无论自变量是何种变化过

程，其极限都不是0；只有常数0能够看成

是无穷小，因为常数函数0的任何极限总是

0.

2.无穷小的性质

设方(x)/(x),・・・/(x)是XfXb(或Xf8等)

时的无穷小.

性质1(awR)是XfX)(或

<=!

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Xf8等)时的无穷小，即有限个无穷小的代

数组合依然是无穷小.

性质2•・・・•fn(X)是

XfXb(或XfQO等)时的无穷小，即无穷小的

积依然是无穷小.

性质3设g(x)当xfxb(或x-8等)时是

有界的，贝!Ig(x)•关(x)(i=l,2,...,n)是

XfXb(或Xfoo等)时的无穷小，即有界函数

与无穷小的积是无穷小.

例1求11mxs

x->0X

解因为limX=0,因此x是xf0时的无

x->0

穷小.

Ifff|sinl|<l,因此sin，是有界函数.

XX

根据无穷小的性质3,可知

limxsinl=O.

XTOX

例2求lim2.

解因为皿=_L・sinx,

XX

而，是当Xf8时的无穷小，

X

sinx是有界函数.

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因此11m皿=0.

X*X

3.函数极限与无穷小的关系

定理1limf(x)=A<=>f(X)=A+a,lima=0.即

X—>X()

当XfXb时/lx)以A为极限的充分必要条

件是人刈能表示为A与一个XT双时的无

穷小之和.

证明：必要性设=A,

XTX0

令a=f(x)-A,则

f(x)=A+a9

而lima=lim[/(x)-Ai=0,

XTXf)Xf%

即a是当xfM)时的无穷

小.

充分性设f[x)=A+a,其中a是当

XfXb时的无穷小，则

=

limf(x)lim(A+a)=A・

X->xoA->.r0

即42的极限为A.

三、无穷大与无穷小的关系

定理无穷大的倒数是无穷小；反之，在变

化过程中不为零的无穷小的倒数为一个无

穷大.

例3求11m上・

3X-1

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解因为山n3二0,即-1是当Xf1时的

・ix+4x+4

无穷小，

根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数上

X-1

是当XT1时的无穷大，

因此1^111=00.

IX-1

例4求im(x2-3x+2).

x-^<x>

1

解因为.——=11m『」)，

I-00x-3x+2XB132

1-----1——

XX

2

因此lim00.

XT8(x-3x+2)=

例5求J}—.

XT8x+7

17

X2+77

解因1—4为/v扁「=hm工人+广=0…

-Mo°2x-x+5x-15

乙---------1-----r-

XX

因此lim2H+5=QO.

18九一+7

ao/bo,当ri=n；

axm\-axm1H-----Fa—

11G——}~：-------------00•

3%y+3“一"・・+4’

当m>n；

0,

当m<n.

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§1-5两个重要极限

sinx

lim------

*->0x

观察当xf0时函数的变化趋势:

M

0.50.10.00.00.00.0

弧•••

005432

度）

sinx0.90.90.90.90.90.9

•••

X585983996997998999

当X取正值趋近于0时，码Lf1,即

X

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sinx=1•

hrm----A9

x->0+x

当x取负值趋近于0时，-xf0,-x>0,

sin(-x)>0.于是

sinx「sin(-x)

lvim----=lim-------•

z。-xTW(-x)

综上所述，得lim皿=1.

.30x

lim山=l的特点：

x->0x

(1)它是“『型，即若形式地应用商求极限的

法则，得到的结果是

0

(2)在分式中同时出现三角函数和x的塞.

推广如果1打奴2=0,3能够是有限数xb,

x->«

±00或8),

贝!Ilim叫料=lim回常二L

x—a(p\X)/HO(p(x)

例1求lim4.

a。X

sinx

自笈taj)=cosxrsin%1sinxr1.,.

/irrlim-----hm3M=11m------------11m-----11m-----=11=1•

XT°XxXT。XCOSXXCOSX

例2求lim皿.

I。X

备Wsi3ir=3sin3xAsin-

/trF1iFHluYi------(令3x=t)31im=3•

x->0%x->03xz->0f

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例3求11占等.

2m0%2

1「cz2sin2-sin2Vsin%

..1—COJVS—oo]19

解lim------lim----=lim-----=lim------—2

XT。XA-^0xX702(X)2XT°2XX2

2

..arcsinx

例4<Jvhm-------•

解令arcsinx=t,则x=sin£且Xf0时

tfO.

因此11m处皿=11m_L=i.

3。x，->°sinr

例5求]……2.

r_knV3

sinx.1-cosx

.------sinxsinx--------

..taXI—S1JI..CCSY«.COSY

1im----；----hmco3，----=hm-------

解3

x->0Xx->0xXTOx，

一—sinxr1r1-cosx1

—lim-----lim------lim----；——=—•

xcosxx2

lim(l+3,=e

fx

观察当Xf+8时函数的变化趋势:

100100100100

X1210•••

000000000

2.22.52.72.72.72.71

(1+-)'2•••

X59417181182828

当x取正值并无限增大时，a+%是逐渐

X

增大的，可是不论X如何大，Q+与的值总不

X

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会超过3.实际上如果继续增大X.即当

Xf+8时，能够验证（1+%是趋近于一个确定

X

的无理数e=2..…

当时，函数Q+与有类似的变化趋势，

X

只是它是逐渐减小而趋向于e.

综上所述，得lim（l+-）,=6.

XT8X

lim（l+3=e的特点：

XT0°X

（1）lim（l+无穷小）无方为；

（2）“无穷小”与“无穷大”的解析式

互为倒数.

推广（1）若“@冷=oo,（a能够是有限数

x->«'

X6,±8或8）,则

lim(l+—=lim[1+—!—

•i夕(X)夕(小工(p(X)

(2)若同被x)=O,(a能够是有

x->a

限数X),±8或8),则

lim[1+(p[x}]同=lim[1+(p(x)]^u)—C•

x—>a0(.v)—>0

变形令则xf00时0,代

X

入后得到lim(l+r)7=e

/->ov/

如果在形式上分别对底和嘉求极限，得到

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的是不确定的结果因此一般称之为18

不定型.

例6求11m(”知・

X-X

解令一：=£,则X=-2.

xt

当Xf8时0,

于是2—---2—a-2

x—>oo%z->0z->0

例7求心、・

解令匕=l+n,则x=2—J_.

2-xu

当Xf00时MfO,

3-x—2----°

于是lim(-----『一lim(l+w)"=lim[(l+w)M-(!+w)2]

x->g2—xuT。11fo

=+«)»]-1-[limd+w)2]=C

M->0“TO

例8lim(l4-tanx)cotv

XTO

解设t=tanx,则-i=cotr.

t

当Xf0时0,

I

于是lim(l+tanx)c0**-lim(l+ty=C.

x—0r->0

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§1-6函数的连续性

一、函数在一点的连续

所谓“函数连续变化”，在直观上来看，它的图

象是连续不断的，或者说“能够笔尖不离纸面地

一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微

小时，函数值的变化也是很微小的.

例如，函数(1)g(x)=x+l,(2)

方+,(3)/(x)==l,作出

[X—1,X<1X—1

它们的图像.

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(1)函数g(x)=x+l在x=l处有定义，

图象在对应于自变量的点处是不间断

的或者说是连续的.表现在数量上，g(x)

在x=l处的极限与函数值相等，即成立

•img(x)=g(l).

(2)函数方“(x)=([尤x-+11,，X<"1在x=l处有

定义，图象在对应于自变量A-1的点处是

间断的或者说是不连续的.表现在数量上,

方(X)在X=1处的极限与函数值不等.进一

步还能够看出：吧力(X),岬方(X)存在却不相

等，因此理员(X)不存在.

(3)函数方(x)二五二L在X=1处无定义，图象

X—1

资料仅供参考

在对应于自变量X=1的点处是间断的或者

说是不连续的.表现在数量上，/（X）在X=1

处的极限与函数值不等.进一步还能够看

出：㈣力（x）=2虽然存在，但方（1）却无意义,

因此两者都没有极限与函数值之间的相等

关系.

定义1如果函数4X）在我的某一领域内有

定义，且寸X））,就称函数/（X）在Xb

xf*0

处连续，称Xb为函数/（X）的连续点.

例1研究函数/（2=*2+1在x=2处的连续

性.

解（1）函数42="2+1在x=2的某一

领域内有定义.42）=5,

（2）Iim/（X）=lim（X2+1）=5,

x->2wx->2

（3）呵J[x）=j（2）.

因此，函数/（x）=x2+i在x=2处连

续.

注意从定义1能够看出，函数4X）在物

处连续必须同时满足以下三个条件：

⑴函数次刈在狗的某一领域内有定义；

⑵极限0存在；

X—m>XQ

⑶极限值等于函数值，即所42喇乂））.

xTX。

资料仅供参考

如果函数y力X）的自变量X由X）变到X,

我们称差值X^Xb为自变量X在处的改变

量或增量，一般见符号4c表示，即

Ax=x-xo.此时相应的函数值由4狗）变到

/lx）,我们称差值风⑹小乂））为函数y=f（x）

在点Xb处的改变量或增量，记作/必即

由于』x=x=x）,因此x=Xo+Ax,因而Ay=

f（x）-f（XQ）=f（xo+Ax

利用增量记号，XfX）等价于4x=x-x）f0,

阿寸X））等价于理.小”）小见）］=0，上式

又等价于lime=0.

ZLr->0

定义『设函数42在M）及其附近有定义，

如果当自变量X在M处的增量/X趋于零

时，相应的函数增量/y」ix）+/x）小狗）也

趋于零，即蚂少=0,则称函数在X）处

连续，称M）为函数/（X）的连续点.

连续的直观认识：当自变量的变化很微

小时，函数值的变化也很微小.

定义2如果函数%Ax）在％及其左边附

近有定义，且iim/（x）=/（xb），则称函数y=f（x）

资料仅供参考

在Xb处左连续.如果函数在X）及其

右边附近有定义，且lin1y（%）=/（狗），则称函

数在M）处右连续.

产江刈在M）处连续0y力2在乂）处既左连续

又右连续.

例2讨的函数加c）二::广在后叁处的

连续性.

解（1）4方）=1;

（2）limlim

（l+cosx）=l+cos^=l

1inlim

sinx=sin^=l,

2

因此limJ（X）=lim

XT5.t-»y

则盘加=1;

，N

（3）且力切.

N

因此风x）在x=/处连续.

资料仅供参考

二、连续函数及其运算

1.连续函数

定义3如果函数小4x)在开区间(珥幼

内每一点都是连续的，则称函数%Ax)在

开区间(a,b)内连续，或者说是(珥b)

内的连续函数.

如果函数在闭区间［珥句上定义，

在开区间(珥加内连续，

且在区间的两个端点ma与x=b处分别

是右连续和左连续，

即li+m/WMa)，

.r->«xTb

则称函数驴4X)在闭区间［ab］上连续，或者说

/lx)是闭区间［珥加上的连续函数.

函数4刈在它定义域内的每一点都连续，则

称/(X)为连续函数.

2.连续函数的运算

定理1如果函数凡x),g(x)在某一点x=xb

处连续，贝(If(x)±g(x),

/：x>g(x),噜(g(xb)M)

g(x)

在点X=Xb处都连续.

证明因为Hx),g(x)在点M)处连续，因此

资料仅供参考

吧A*)喇河)，%g(x)=g(M)，

由极限的运算法则，得到

场[Ax)±g(x)]=吧f(x)±缥g(x)=/：xb)

±g(xo).

因此，函数/(x)±g(x)在点M)处连续.

同样可证明后两个结论.

注意和、差、积的情况能够推广到有限个

函数的情形.

定理2(复合函数的连续性)设函数批仪刈

在点Xb处连续，y嗔⑷在Uo处连续，

Uo=(P(Xb),则复合函数卡珏被刈]在点Xb处

连续，即场/[破x)]=/[吧妫x)]=/[必%)].

推论设大板X)存在为Uo,函数y小⑷在

UO处连续，则lim/[^(x)]=/[li(p(x)].

XTaA-m>a

即极限符号“Hm”与连续的函数符号可交

XT。

换次序，即能够在函数内求极限.

3.初等函数的连续性

基本初等函数以及常数函数在其定义区间

内是连续的.

初等函数在其定义区间内是连续的.

例3求limsing--)•

XTl2

资料仅供参考

解理s"『inm.lq尸sin尸.

例4求lim+arctan2—•

XT。Va

解

limJ+arcf-L+arctan2—=V1+arctan21=^l+(^)2=；J16+/•

例5证明lim心»二L

XTOX

证明lim皿*")=limln(l+x)；=ln[lim(l+x)7]—1•

x->0xx->0xf。'

例6证明limJ=l.

XTOX

证明令ex・l=£,则x=ln(l+t),且x-»O时

£fO,于是由例5即可得

cx—\..t1.

lrim-----=lim—7；=---------=1•

1。xiln(l+f)lin111n(1+f)

—ot

三、函数的间断点

1.间断点的概念

如果函数卡/3)在点xo处不连续，则称/(x)

在M)处间断，并称Xb为4刈的间断点.

4”)在M)处间断有以下三种可能：

(1)函数42在Xb处没有定义；

(2成2