2020年上海卷数学高考真题

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷

（上海卷）

一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7T2题每

题5分）

1.已知集合A1,2,4,B2,3,4,求AB________【分值】4分

2,4【答案】

八1

2.lim________

八3八1

【分值】4分

1

3【答案】

3.已知复数z满足zI2i（i为虚数单位），则z【分值】4分

5【答案】lacac4.已知行列式2加6,则行列式

db

300【分值】4分

【答案】2

5.已知Fxx,则fx3।【分值】4分

I【答案】3

XXR6.已知a、b、1、2的中位数为3,平均数为4,则ab=【分值】

4分

【答案】36xg2

7.已知y0,则zg2x的最大值为

X2g30【分值】5分

【答案】Taai29

8,已知a是公差不为零的等差数列，且aa。，则

nl109^10

【分值】5分

27【答案】8

9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第

三天需要2人，则有种排法。

【分值】5分

【答案】180

22

xylO.椭圆1,过右焦点F作直线/交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已43知

Qx,y,Q'X',y'都在椭圆上，且gy10,FQPQ,则直线/的方QQQQQQ

程为【分值】5分

【答案】xy10

11、设aR,若存在定义域尺的函数fX既满足“对于任意xR,fX的

002

值为X或X”又满足“关于X的方程fX。无实数解”，则的取值范围为

。。【分值】5分

【答案】,00,11,

【解析】题目转换为是否为实数使得存在函数fX

2满足“对于任意xR,fX的值为x或x”，

加又满足“关于的方程fxn无实数解”构造函数；x,xafX,则

方程fxa

2X,xa只有0,1两个实数解。

d，a】tb、＞b、tbj（斤€）

12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足

%一生|=1⑷,且（其中，I2j1,2,...,k）,则K的最大值为

【分值】5分

【答案】6

【解析】根据向量减法的运算规律，

lq-耳但跖｝.和对可转化为以向量

终点为圆心，作半径r。和「2的原

圆，两圆交点即为满足题意的，由图

知,k的最大值为6.

二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）

13、下列不等式恒成立的是（）

2ZA、ab2ab

22B、ab-lab

Cyah2ab

D、ab2ab

【分值】5分

【答案】B【解析】无

14、已知直线/的解析式为次4g1（）,则下列各式是/的参数方程的是（）

X43优、

g34tx43怵、

g34t

X14tc、

y13tx14tD,

y13t【分值】5分

【答案】D【解析】无

15、在棱长为10的正方体.ABCDABCD中，P为左侧面ADDA上一点，已”””

知点P到AP的距离为3,点P到AA的距离为2,则过点P且与AC平行的直线

皿交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）

A.AABB

BBCC

nC.CCDD

nD.ABCD

【分值】5分

【答案】D【解析】

延长BC至M点，使得CM=2

延长CC至N点，使得CN3,

।以C、M、N为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H,

连接AP、PH、HC,则易得四边形APHC为平行四边形,

11因为点P在平iSADDA内，点H在平面BCCB内，

1111且点P在平面ABCD的上方，点H在平面ABCD下方,

所以线段PH必定会在和平面ABCD相交，

即点Q在平面ABCD内

16.、若存在aR且a0,对任意的xR,均有

fXa<fxfa恒成立，则称函数fX具有性质P,已知：

q：fx单调

।递减，且fx〉0恒成立；q：fx单调递增，存在x<o使得fx0,

则是

200fx具有性质P的充分条件是（）

A、只有q

iB、只有q

2C、q和q

加、q和q都不是

12【分值】5分

【答案】C

【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在aR且a0,

则对于q,a〉O时，易得函数fX具有性质P；

।对于q,只需取ax,则xaxx<x,fafx0,

2000所以fxafxx<fx=fxfa,所以此时函数

fx具有性质P.o

三、解答题(本题共5小题，共计76分)

综合题分割

17、已知边长为1的正方形ABCD,沿BC旋转一周得到圆柱体。

(1)求圆柱体的表面积；

(2)正方形ABCD绕BC逆时针旋转到ABCD,求AD与平面ABCD所成的角。

m2

【分值】【答案】(1)4JI;3

(2)arcsin3

综合题分割

18、已知f(x)=sinX(0).1

(1)若f(x)的周期是4n,求，并求此时f(X)的解集；2

2(2)已知=1,g(X)f(X)3f(X)f(X),x0,,求g(x)的值域.

24

【分值】15

【答案】⑴=,xx|x=4k或x4k,kZ;233

1

⑵-,0

2

综合题分割3。

lq100-135(),x(0,40)

*19、已知：=,x(0,8()],且=(k0),

3

xk(X40)85,x[40,80]

(1)若v>95,求x的取值范围；

(2)已知x=80时，v=50,求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

【分值】80

【答案】(1)x(0,);3

48028800

(2)X时，q=max77

综合题分割22

xy22220,双曲线C：1,圆c：xy4b(b0)在第一象限交点为A,

12224k

xgl,xX2AA(x,g),曲线。

4(?AA222Xy4b,xXA⑴若X6,求b;

A(2)若b5,C与X轴交点记为F、RP212是曲线上一点，且在第一象限，并满足

,求NFPF;

PF81122

bb(3)过点S(0,2)且斜率为的直线/交

■,■,»'I'»

22。1人〃\OHQV曲线于此N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。

【分值】

【答案】(1)2;11

(2);16

(3)(625,)；

【解析】(1)若X6,因为点A为曲线C与曲线C的交点,

A1222

xg1Ay2

2V,解得，

4bb2222xy4bA.".b2

(2)方法一：由题意易得F、F为曲线的两焦点，

口由双曲线定义知：PFPF2a,

21PF8,2。4,/.PF4

口又入5,AFF6

口在PFF中由余弦定理可得：

12222

cosFPFPFPFFFlI1212

122PFPF16

1222

xg1方法二：•••b5,可得，解得P(4,15),

4522(x3)y64

/.PR=(-7.-vi5).pQ=(-it-Vi5),

PF,PF.II

16

ibb4

(3)设直线l：yx

222b4必422可得原点0到直线/的距离Wb4

22bb4

14

所以直线/是圆的切线，切点为M,224222222所以k,并设/：gx,与圆xy4b

联立可得XK4b,

oMo^bbb

所以得X她2,即M（b,2）,

注意到直线I与双曲线得斜率为负得渐近线平行，

所以只有当g2时，直线/才能与曲线有两个交点，

A22

xg出22

由，得g,

4bA2

ab222

xg4bA4

Az所以有4,解得S225,或b225（舍）2

4bO'iON6；+4O.VO.VOS在。”又因为由上的投影可知：

如•丽=/+4>6+2石所以砌6飞（6,2、5.，|

21.有限数列｛4｝,若满足a\\aa\...\aa\,M是项数，则称｛n｝满n⑵3.八足

性质p.

(1)判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p,请说明理由.

(2)若n1,公比为q的等比数列，项数为10,具有性质p,求q的取值范围.

(3)若a是1,2,…网的一个排列(侬4)&a(k1),｛。｝,｛旬都具

泌k2有性质？，求所有满足条件的｛a｝.«【分值】

【答案】(1)对于第一个数列有|23|1,153|2,|13|2,

满足题意，该数列满足性质p

对于第二个数列有［34|1,|24|2,|54|1不满足题意，该数列不满足性质p.

1(2)由题意可得，q1,八2,3,...,9M2八-2八/两边平方得：

q2q1%2q+\

整理得:(ql)qqq12NO

ni当价工时，得q(q1)220,此时关于八恒成立，

所以等价于八2时1)220,所以(q2)(q1)20,

所以qW-2或者q2l,所以取qNL

八工当0<qWl时，得q(q1)2<0,此时关于八恒成立，

所以等价于八2时q(qI)2W0,所以©2)(ql)W0,所以2WqWl,所以取0

<qWl。

八In1

当lWq<0时，得qq(q1)2WO。

八।当八为奇数的时候，得或q1)2W0,很明显成立，

当八为偶数的时候，得q(q1)220,很明显不成立,

故当lWq<0时，矛盾，舍去。

GM।当1时，得qq(q1)2WO。

八।当八为奇数的时候，得1)2W0,很明显成立，

«1当八为偶数的时候，要使q©1)220恒成立，

所以等价于八2时q(q1)2N0,所以q2q120,

所以qW-2或者所以取qW-2。

综上可得，q,20,。

(3)设a=pp3,4,…，m3,kv\2

।因为ap,a可以取p1或者？1,“可以取p2或者p+2i23。

如果a或者a取了？3或者p3,将使a不满足性质？3八

所以，4的前五项有以下组合：

*①。p,ap1,ap1,ap2,ap2,“处

②ap,ap1,ap1,ap2,ap2,也

③ap,ap+l,ap\ap2,ap2,

123,45

®ap,ap+1,ap\fap2,ap2t12345

对于①，bp1,bb2,bbl,与b满足性质p矛盾，舍去。设⑶八

对于②，bpI,bb2,bh3,bb2与b满足性质p矛⑵3⑷八盾，

舍去。对于③，bp+1,bb2,bb3,bbl与b满足性质p矛

12BI4lnM,舍去。

对于④，bp+1,bb2,bb1,与b满足性质p矛盾，舍去。⑵3M

所以？3,4,"♦，33,m2均不能同时使a,b都具有性质««

当p=l时，有数列。：1,2,3,…，M满足题意。

.当p=nn时，时有数列a:1,…,3,21,满足题意。

“当p=2时，有数列。：2,1,3,…,出满足题意。

.当时，有数列a:ml,m,m2,m3,…,3,21,满足题意。

「故满足题意的数列只有上面四种。

高考数学考试的五大高分技巧

一、构建知识脉络

要学会构建知识脉络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。因

此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行

线、三角形、四边形、圆的概念、分类，定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一

些问题。

二、夯实数学基础

在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，

将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由

题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、

优化解题过程。

三、建立病例档案

准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并

且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，这样到中考时你的数学就

没有什么“病例”了。我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总

结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。

四、常用公式技巧

准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进一步了解

第1页/共4页其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。对今后继续

学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练。例如：1-

20的平方数；简单的勾股数；正三角形的面积公式以及高和边长的关系；30°、45°直

角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会

有意想不到的效果。

五、强化题组训练

除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的

习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方

法的纵横联系。