2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第21讲相似形

第二十一讲相似形

(-)1.成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比—另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段.

2.比例线段的基本性质

端=］则；当6=c时，,那么6是a,d的比例中项.

3.线段的黄金分割

AC

点C把线段45分成两条线段〃'和BCSOB0,如果〃1是线段48和■的比例中项，且其=

AD

然迪三比0.618,则。点叫做线段的.

4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

(-)1.相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形.相似图形的性质：对应角，

对应边的比.

2.相似三角形的判定

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似；

(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应,且夹角,那么这两

个三角形相似；

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应,那么这两个三角形相似；

(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形

3.相似三角形的性质

(1)相似三角形周长的比等于,

(2)相似三角形面积的比等于,

(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于

4.相似多边形的性质

(1)相似多边形周长的比等于,

(2)相似多边形面积的比等于,

5.位似图形

(1)定义

两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做

对应边的比叫做.位似是一种特殊的相似.

(2)性质

(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于;

(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于点；

(3)位似图形对应边；

(4)位似图形对应角,

1.(2017湖北随州)在AABC在，AB=6,AC=5,点D在边AB上，且AD=2,点E在边AC上，

当AE=时，以A、D、E为顶点的三角形与aABC相似.

2.(2017甘肃天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点

0)20米的A处，则小明的影子AM长为米.

3.(2017山东烟台)如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,AAOB与OB'

是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为3：2,点A,B都在格点上，则点B'的坐

4.（2016•巴中）如图，点D、E分别为4ABC的边AB、AC上的中点，则4ADE

的面积与四边形BCED的面积的比为（）

5.（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以

原点。为位似中心的位似图形，且相似比为工，点A,B,E在x轴上，若正

3

6.（2017.湖南怀化）如图，已知BC是。0的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆

上一点，且AB=AD,AC=CD.

（1）求证：△ACDS/\BAD；

（2）求证：AD是。。的切线.

BD

7.(2017.江苏宿迁)如图，在aABC中，AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C

重合)，满足NDEF=NB,且点D、F分别在边AB、AC±.

(1)求证：ABDE^ACEF；

(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分NDFC.

析

知识点一、平行线分线段成比例

【例1】（2016•山东省济宁市•3分）如图，AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式.编即可

CEDF

得到结论.

【解答】解：VAG=2,GD=1,

；.AD=3,

；AB〃CD〃EF,

故答案为：0.6.

【变式】

（2015浙江舟（2015福建宁德）如图，已知直线a〃b〃c,直线m,n与a,b,c分别交于

点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是（）

【答案】B.

【分析】根据平行线分线段成比例即可得.

【解析1直线a〃b〃c,AC-4»CE=6>BD-3,---=---->即一=----，解得DF=4.5.故

CEDF6DF

选B.

【点评】考查平行线分线段成比例，能够从图中找到对应线段是解题的关键。

知识点二、相似三角形及其判定

【例2】(2017山东聊城)如图，。。是AABC的外接圆，。点在BC边上，NBAC的平分线交

于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.

(1)求证：PD是。。的切线；

(2)求证：APBD^ADCA；

(3)当AB=6,AC=8时，求线段PB的长.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质.

【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到NBAC为直角，再由AD为角平分线，得到一

对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出ND0C为直角，与平

行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到0D与PD垂直，即可得证；

(2)由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到

NP=NACD,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证；

(3)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由0D垂直平分BC,得到

DB=DC,根据(2)的相似，得比例，求出所求即可.

【解答】(1)证明：•.•圆心0在BC上，

ABC是圆0的直径，

AZBAC=90°,

连接0D,

：AD平分NBAC,

.,.ZBAC=2ZDAC,

VZD0C=2ZDAC,

ND0C=NBAC=90°,即ODJ_BC,

・.,PD〃BC,

・・・OD_LPD,

・・・0D为圆。的半径，

；・PD是圆0的切线;

(2)证明：VPD/7BC,

/.ZP=ZABC,

VZABC=ZADC,

・・・NP=NADC,

VZPBD+ZABD=180°,ZACD+ZABD=180°,

・・・NPBD=NACD,

.,.△PBD-ADCA；

(3)解：:△ABC为直角三角形，

.\BC2=AB2+AC2=62+82=100,

.\BC=10,

・.・0D垂直平分BC,

ADB=DC,

・・・BC为圆0的直径，

AZBDC=90°,

在RtZXDBC中，DB?+DC2=BC?,BP2DC2=BC2=100,

・・・DC=DB=5方

VAPBD^ADCA,

.PB_BD

••记一记

JPB=DC-BD-W2X5^_25I

、前8Tf

6.(2017四川眉山)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B

作BF_LDE,垂足为F,BF分别交AC于H,交BC于G.

(1)求证:BG=DE；

(2)若点G为CD的中点，求笑的值.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【分析】(1)由于BFLDE,所以NGFD=90°,从而可知NCBG=/CDE,根据全等三角形的判

定即可证明4BCG丝ADCE,从而可知BG=DE；

(2)设CG=1,从而知CG=CE=1,由勾股定理可知：DE=BG=V5＞由易证△ABHS/\CGH,所

以粤=2,从而可求出HG的长度，进而求出黑的值・

BGGF

【解答】解：⑴VBF1DE,

AZGFD=90",

VZBCG=90°,ZBGC=ZDGF,

.,.ZCBG=ZCDE,

在ABCG与ADCE中，

r2CBG=ZCDE

•BC=CD

ZBCG=ZDCE

.,.△BCG^ADCE(ASA),

；.BG=DE,

(2)设CG=1,

：G为CD的中点，

；.GD=CG=L

由⑴可知:ABCG^ADCE(ASA),

.,.CG=CE=1,

由勾股定理可知：DE=BG=V5>

CEGF

VsinZCDE=

DEGD)

5

VAB//CG,

.'.△ABH^ACGH,

.AB_BH_2

,CG=GiTT,

GH=£代，

JJ

.HG5

**GF°3

知识点三、相似三角形的性质

【例3】(2017山东泰安)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分NBAD,点P是AC延

长线上一点，且PDLAD.

(1)证明：ZBDC=ZPDC；

(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE：CP=2：3,求AE的长.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出/BDC=NPDC；

(2)首先过点C作CMLPD于点M,进而得出△CPMS^APD,求出EC的长即可得出答案.

【解答】(1)证明：YAB二AD,AC平分NBAD,

/.AC±BD,

・・・NACD+NBDC=90°,

VAC=AD,

・・・ZACD=ZADC,

.\ZADC+ZBDC=90°,

.•.ZBDC=ZPDC；

(2)解：过点C作CMLPD于点M,

VZBDC=ZPDC,

ACE=CM,

VZCMP=ZADP=90°,ZP=ZP,

/.△CPM^AAPD,

设CM=CE=x,

VCE：CP=2：3,

3

・・,POW<,

2

VAB=AD=AC=1,

3

万x

■|x+l

解得：x=i,

3

故AE=1-

【变式】

(2017浙江衢州)如图，AB为半圆。的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆。于点D,

连接0D.作BELCD于点E,交半圆0于点F.已知CE=12,BE=9.

(1)求证:ACOD^ACBE.

(2)求半圆0的半径r的长.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质.

【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出NE=90°=ZCD0,再由NC=NC,得出

^△CBE.

(2)由勾股定理求出BC=7CE2+BE2=15(由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答

案.

【解答】(1)证明：:CD切半圆0于点D,

.\CD±OD,

AZCD0=90",

VBE1CD,

AZE=90°=ZCDO,

XVZC=ZC,

/.△COD^ACBE.

(2)解:在RtABEC中,CE=12,BE=9,

ABC=7CE2+BE2=15»

VACOD^ACBE.

.OD_OCHnr_15-r

*'BE^BC'1丁15'

解得：厂萼.

o

知识点四、相似多边形与位似图形

【例4】(2016•山东省东营市•3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点1(一3,6)、

6(—9,-3),以原点0为位似中心，相似比为:，把缩小，则点/的对应点

的坐标是()

A.(-1,2)B.(-9,18)

C.(-9,18)或(9,-18)D.(-1,2)或(1,-2)

【知识点】相似三角形一一位似图形、位似变换

【答案】D.

【解析】方法一：和B,。关于原点位似，.ABO^AA'B'。且%'=

U/i

\AfE0E\,1一1八，/八

・=力=？・,力E=qAD=2,0E=-0D=l.：.Ar

WJAUUUJJo(-1,2).

同理可得4'(1,-2).

方法二：：点4(-3,6)且相似比为;，

二点｛的对应点H的坐标是(-3x1,6x1),：,A'(-1,2).

:点"'和点"(-1,2)关于原点。对称，

・•・"'(1,-2).

故选择D

【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形.位似图形对

应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以

原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.注意：本题中，△/加以原点

。为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.

【变式】（2015四川宜宾）如图，^OAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比

为1：2,Z0CD=90°,CO=CD.若B（1,0）,则点C的坐标为（）

C.(V2,V2)D,(2,1)

【答案】B.

【分析】利用位似图形的位似比等于相似比，再利用坐标的特征，进而得出答案.

【解析】VZ0AB=Z0CD=90o,AO=AB,CO=CD,等腰Rt^OAB与等腰RtaOCD是位似图形,

11

点B的坐标为（1,0）,，BO=1,则AO=AB=2一，；.A（—，一），；等腰Rt^OAB与等腰

222

RtaOCD是位似图形,0为位似中心,相似比为1：2,...点C的坐标为：（1,1）.故选B.

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解题关键.

知识点五、相似三角形的应用

【例51（2015贵州黔南州）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，

点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C

处，已知AB_LBD,CD±BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高

度是米（平面镜的厚度忽略不计）.

【答案】8.

【分析】根据题意得到RtAABP-RtACDP,然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比

例式，求得答案即可

【解析】由题意知：光线AP与光线PC,ZAPB=ZCPD,ARtAABP^RtACDP,

BPPD

17x17

.-.CD-^8（米）.故答案为：8.

1.8

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难

度不大.

【变式】

如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF,两

标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到

点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点

H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米.

【答案】52.

【解析】根据题意可得出△CDGS/\ABG,△EFHS^ABH,再根据相似三角形的对应边成比例

即可得出结论：

VAB1BH,CD1BH,EF±BH,

AB〃CD〃EF,△CDGs△ABG,AEFHs△ABH.

CDDGEFFH

AB-DG+BD'AB-FH+DF+BD-

2224

VCD=DG=EF=2m,DF=50m,FH=4m,・1

'AB_2+BD!AB_4+50+BD-

24

，解得BD=50.

2+BD54+BD

22

—=-----，解得AB=52（米）.

AB2+50

【典例解析】

【例题1]（2017呼和浩特）如图,在aABCD中，ZB=30°，AB=AC,0是两条对角线的交点,

过点0作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M是边AB的一个三等分点，则AAOE与

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质.

【分析】作MH_LBC于H,设AB=AC=m,贝UBM=^

,MH二，根据平行四边形的性质求

得OA=OC=-1AC=-1nn,解直角三角形求得FC=争，然后根据ASA证得AAOE丝△COF,证得

AE=FC=,进一步求得0E二从而求得SAAOE=，作AN_LBC于N,根据等

腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=V＞（进而求得BF=BC-FC=V3n

3

分别求得AAOE与△BMF的面积，即可求得结论.

【解答】解：设AB=AC=m,则BM=/,

是两条对角线的交点,

.\OA=OC=

2

VZB=30°,AB=AC,

NACB=NB=30°,

VEF1AC,

.,.cosZACB=y^,即cos30°=丁

FC

VAE//FC,

AZEAC=ZFCA,

XVZAOE=ZCOF,AO=CO,

.'.△AOE^ACOF,

・・・AE=FC二

.\OE=

.,•SAAoE=-^<)A»OE=ix-i-Jx乌=落2,

2_Z]Z_I6|24

作AN±BC于N,

VAB=AC,

/.BN=CN=—BC,

21

22I

.,.BC=Vjn,

.♦.BF=BC-FC=V^n-

作MH_LBC于H,

VZB=30°，

【例题2】（2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2,点M是边AB的中点，连接DM,DM

与AC交于点P,点E在DC上，点F在DP上，且NDFE=45°.若PF=Y&,贝UCE=_《_.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【分析】如图，连接EF.首先求出DM、DF的长，证明△DEFs^DPC,可得D皆F常DF，求出

DE即可解决问题.

；.AB=BC=CD=DA=2,ZDAB=90°,ZDCP=45°,

，AM=BM=1,

在RtZ\ADM中，DM=〃D2+AI华正+俨亚,

VAM/7CD,

.•.DP=^^,VPF=^1,

3|Z6J

；.DF=DP=PF=r^,

2

,/ZEDF=ZPDC,ZDFE=ZDCP,

.,•△DEF^ADPC,

.DF_DE

,,或翁

返DE

’2=诟，

Tj7D

ACE=CD-DE=2-.

7

故答案为

6

【例题3】（2017湖南株洲）

如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G,

连接CF.

①求证：ZXDAE丝Z\DCF；

②求证：△ABGsaCFG.

【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：

正方形的性质.

【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,得到两对边相等，一对直角相等，利用

SAS即可得证;

②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到NBAG=NBCF,再由对顶角相等，

利用两对角相等的三角形相似即可得证.

【解答】证明：①•••正方形ABCD,等腰直角三角形EDF,

AZADC=ZEDF=90°,AD=CD,DE=DF,

ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF,

.\ZADE=ZCDF,

在4ADE和ACDF中，

rDE=DF

-/ADE;NCDF，

UDA=DC

.•.△ADE^ACDF；

②延长BA到M,交ED于点M,

VAADE^ACDF,

・・・ZEAD=ZFCD,即NEAM+NMAD=NBCD+NBCF,

VZMAD=ZBCD=90°,

/.ZEAM=ZBCF,

・・•ZEAM=ZBAG,

AZBAG=ZBCF,

VZAGB=ZCGF,

/.△ABG^ACFG.

【例题4】

(2016广西南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知aABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),

B(4,0),C(4,-4)

(1)请画出AABC向左平移6个单位长度后得到的△ABG；

(2)以点0为位似中心,^-AABC缩小为原来的看,得到△ABC”请在y轴右侧画出AAzB2c2,

并求出NA2C2B2的正弦值.

【考点】作图-位似变换；作图-平移变换.

【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△ABG；

（2）连接OA、0C,分别取OA、OB、0C的中点即可画出△A2B2C2,求出直线AC与0B的交点,

求出/ACB的正弦值即可解决问题.

【解答】解：（1）请画出aABC向左平移6个单位长度后得到的△ABC,如图1所示，

⑵以点0为位似中心,将aABC缩小为原来的之,得到4A此Cz,请在y轴右侧画出AA2B2C2,

如图2所示，

图2

VA(2,2),C(4,-4),B(4,0),

，直线AC解析式为y=-3x+8,与x轴交于点D(o*0),

VZCBD=90°,

•••CD=VBC2+BD^=4VlO,

4——,—

BD3V10

AsinZDCB=■二，一■一二—一

NA2c2B2=/ACB,

sinZA2c282=sinZDCB=-------.

10

【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位

似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型.

【热点1】（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两

个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线

段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是4ABC的“和谐分割线”，4ACD

为等腰三角形，和AABC相似，ZA=46°,则/ACB的度数为113°或92°.

【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质.

【分析】由4ACD是等腰三角形，ZADOZBCD,推出NADONA,即ACrCD,分两种情形

讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可.

【解答】解：:△BCDSABAC,

.,.ZBCD=ZA=46°,

•.•△ACD是等腰三角形，VZADOZBCD,

.\ZADOZA,即ACWCD,

①当AOAD时，NACD二NADC=』67。,

AZACB=670+46°=113°,

②当DA=DC时，ZACD=ZA=46°,

ZACB=46°+46°=92°,

故答案为113°或92°.

【热点2】（2017湖北江汉）如图，矩形ABCD中，AELBD于点E,CF平分NBCD,交EA的

延长线于点F,且BC=4,CD=2,给出下列结论：①NBAE=NCAD；②NDBC=30°；③人后:春/石；

④AF=2&,其中正确结论的个数有（

A.1个B.2个C.3个I).4个

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质.

【分析】根据余角的性质得到NBAE=NADB,等量代换得到NBAE=NCAD,故①正确；根据三

角函数的定义得到tan/DBC=^W，于是得到NDBC/30。，故②错误；由勾股定理得到

BD=VBC2+CD2=2VS＞根据相似三角形的性质得到AE="|濯；故③正确；根据角平分线的

定义得到/BCF=45°,求得NACF=45°-ZACB,推出NEAC=2/ACF,根据外角的性质得到

NEAC=/ACF+NF,得到NACF=NF,根据等腰三角形的判定得到AF=AC,于是得到AF=2四，

故④正确.

【解答】解:在矩形ABCD中，・・・NBAD=90°,

VAE1BD,

AZAED=90°,

/.ZADE+ZDAE=ZDAE+ZBAE=90°,

.\ZBAE=ZADB,

ZCAD=ZADB,

・・・NBAE=NCAD,故①正确;

VBC=4,CD=2,

.,.tanZDBC=§ti

BC2

.../DBCW30°,故②错误;

••,BD=VBC2+CDJ2^

VAB=CD=2,AD=BC=4,

VAABE^ADBA,

B

AEABl

AD一D

A4E2

H2

即J

・'.AE二反，0故③正确；

TCF平分NBCD,

AZBCF=45°,

AZACF=45°-ZACB,

VAD/7BC,

/.ZDAC=ZBAE=ZACB,

AZEAC=90°-2ZACB,

AZEAC=2ZACF,

VZEAC=ZACF+ZF,

AZACF=ZF,

・・・AF=AC,

：AC=BD=2向，

；.AF=2巡，故④正确;

故选C.

【热点3】（2017深圳）如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点0,并

分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：①AQLDP；②OA'OEUP；③SA«»=S四边

形OECP；④当BP=1时,tanZ0AE=其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；

T7：解直角三角形

【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,根据全等三角形的性

质得到/P=/Q,根据余角的性质得到AQ1DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到

AO2=OD«OP,由ODKOE,得到OA?#OE・OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE,

DF=CE,于是得到S&ADF-S&»O=SADCE-S^DOF,即SAA<X>=Sni21®0BCF；故③正确；根据相似三角形的

性质得到BE=g,求得QE=丝，Q0=f,0E=祟，由三角函数的定义即可得到结论.

44520

【解答】解：；四边形ABCD是正方形，

.\AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

VBP=CQ,

AAP=BQ,

rAD=AB

在4DAP与△ABQ中，,/DAP=NABQ，

AP=BQ______

•••△DAP空△ABQ,

・・・NP=NQ,

VZQ+ZQAB=900,

AZP+ZQAB=90°,

AZA0P=90°,

・・・AQ_LDP；

故①正确；

VZD0A=ZA0P=90,ZADO+ZP=ZADO+ZDA0=900,

AZDAO=ZP,

AADAO^AAPO,

.AOOP

,.二，,,

ODOA

.".AO2=OD»OP,

VAE>AB,

；.AE>AD,

.♦.ODWOE,

.".OAVOE»OP;故②错误；

'NFCQ=NEBP

在△CQF与ABPE中，NQ=/P,

CQ=BP

.♦.△CQ厘△BPE,

；.CF=BE,

；.DF=CE,

'AD二CD

在AADF与ADCE中，<N£DC二NDCE，

tDF=CE

AAADF^ADCE,

••SAADF-SADFO=SADCE-SADOF-)

即S^AOI)=S四边形OECF；故③正确；

VBP=1,AB=3,

・・・AP=4,

VAAOP^ADAP,

.PBPA4

,,EB=DA^'

.•.BE=V，.•即=竽

VAQOE^APAD,

13

•••QO_OEQE__4",

PA~AD-PD~5

二有。嚼

1o

・・・A0=5-Q0=g

5

・+/…OE：13

..tanZOAE=-1=,故④正确,

OA16

故选c.

【热点4】（2017山东滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2,3）、D（l,

0）,现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且0B=2,

则点C的对应点A的坐标为（4,6）或（-4,-6）.

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质.

【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解.

【解答】解：如图,

由题意，位似中心是0,位似比为2,

.\OC=AC,

VC（2,3）,

AA（4,6）或（-4,-6）,

故答案为（4,6）或（-4,-6）.

一.选择题

1.如图，点P是QABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形

A.0对B.1对C.2对D.3对

2.如图，ZXABC中，AD、BE是两条中线，则S△眦：SA*（）

A.1：2B.2：3C.1：3D.1：4

3.（2016•湖北随州•3分）如图，D、E分别是aABC的边AB、BC上的点，且DE〃AC,AE、

CD相交于点0,若S/XDOE：SACOA=1：25,贝！JS/iBDE与S&DE的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

4.如图，在AABC中，AB=AC,DE〃BC,则下列结论中不正确的是（）

A

A.AD=AEB.DB=ECC.ZADE=ZCD.DE=-BC

2

5.如图，在方格纸中，aABC和4EPD的顶点均在格点上，要使△ABCs^EPD,则点P所在

的格点为（）

A.PiB.P2C.P3D.3

6.（2017深圳）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,ZMPN=90°,

点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，AP=3.

7.（2016•辽宁丹东•3分）如图，在△ABC中，AD和BE是高，ZABE=45°,点F是AB

的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H,ZCBE=ZBAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；

③BC・AD=&AE2；©5^=48^.其中正确的有（）

A

二、填空题

T）E2

8.如图，在△ABC中，DE〃BC,—=—，Z\ADE的面积是8,则4ABC的面积为

BC3------------

9.（2016贵州毕节5分）在AABC中，D为AB边上一点，且NBCD=NA.己知BC=2&,AB=3,

则BD=.

10.（2016•湖北武汉•3分）如图，在四边形/腼中，N/6C=90°,AB=3,BC=4,CD

=10,DA=5后，则必的长为.

11.（2016•黑龙江龙东•3分）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=yAD,

连接CE交BD于点F,则EF：FC的值是.

12.（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边0A、

OC分别在x轴和y轴上，且0A=2,0C=l.在第二象限内，将矩形A0CB以原点0为位似中心

放大为原来的■1倍，得到矩形AQCB,再将矩形AiOCB以原点0为位似中心放大"I倍，得

到矩形A20aB2…，以此类推，得到的矩形AQCB,的对角线交点的坐标为.

13.如图，在平面直角坐标系中，等腰△(»(?的边0B在x轴上，OB=CB,0B边上的高CA与

0C边上的高BE相交于点D,连接0D,AB=V2,ZCB0=45°,在直线BE上求点M,使

与aODC相似，则点M的坐标是.

三、解答题

14.如图，将AABC在网格中(网格中每个小正方形的边长均为1)依次进行位似变换、轴对

称变换和平移变换后得到△AB3.

(2)在网格中画出△ABC关于y轴的轴对称图形△ABG；

(3)请写出△ABG是由AAzB心怎样平移得到的？

(4)设点P(x,y)为AABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标

为

ADAC

15.如图所示，AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高，求证:

~BE~~BC

16.（2017毕节）如图，在nABCD中过点A作AEXDC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,

且/AFE=ND.

(1)求证：△ABFs/MJEC；

DE

17.(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中,AB〃DC,E是BC的中点，若AE是NBAD

的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证aAEB名△FEC,得到AB=FC,

从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.

AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC；

(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中,AB〃DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC

的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论.

(3)问题解决：如图③，AB〃CF,AE与BC交于点E,BE：EC=2：3,点D在线段AE上，且

ZEDF=ZBAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.

18.(2017湖北江汉)在RtaABC中，ZACB=90°，点D与点B在AC同侧，ZDAOZBAC,

且DA=DC,过点B作BE〃DA交DC于点E,M为AB的中点，连接MD,ME.

(1)如图1,当NADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME；

(2)如图2,当NADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3,当NADC=a时，求当勺值.

【知识归纳】

(-)1.成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比箜王另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段.

2.比例线段的基本性质

若慨=5则ad=bc；当8=c时，b~-ad,那么。是a,d的比例中项.

3.线段的黄金分割

Ar

点C把线段46分成两条线段〃'和BC(A»BO，如果〃1是线段46和缈的比例中项，且酢=

AD

条再二1七0618,则C点叫做线段4g的黄金分割点.

4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

(-)1.相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形.相似图形的性质：对应角相等,

对应边的比成比例.

2.相似三角形的判定

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应想笔，那么这两个三角形相似；

(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,且夹角夹角相等,那么

这两个三角形相似；

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应超幽,那么这两个三角形相似;

(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

3.相似三角形的性质

(1)相似三角形周长的比等于相似比.

(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比.

4.相似多边形的性质

(1)相似多边形周长的比等于相似比.

(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方.

5.位似图形

(1)定义

两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中心,

对应边的比叫做位似比.位似是一种特殊的相似.

(2)性质

(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比;

(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点;

(3)位似图形对应边成比例;

(4)位似图形对应角相等.

【基础检测答案】

1.(2017湖北随州)在△ABC在，AB=6,AC=5,点D在边AB上，且AD=2,点E在边AC上,

当AE=_后或"I"—时，以A、D、E为顶点的三角形与AABC相似.

【考点】S8：相似三角形的判定.

【分析】若A,D,E为顶点的三角形与AABC相似时，则分情况进行

ADACAE而

讨论后即可求出AE的长度.

【解答】解：当着=捐时，

VZA=ZA,

/.△AED^AABC,

此人陪警噂

骁噂时，

VZA=ZA,

AAADE^AABC,

此时AE二柜祥华二三

AB6ISI

故答案为：彗12或|义5|

-3]

2.(2017甘肃天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点

0)20米的A处，则小明的影子AM长为5米.

【考点】SA：相似三角形的应用.

【分析】易得：△ABMs^OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

【解答】解：根据题意，易得△MBAS/^MCO,

根据相似三角形的性质可知舒品1.6_AM

8「20+AMf

解得AM=5m.则小明的影长为5米.

3.（2017山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,Z\AOB与4A'OB'

是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为3：2,点A,B都在格点上，则点B，的坐

标是（-3,.

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质.

【分析】把B的横纵坐标分别乘以-■!得到B，的坐标.

【解答】解：由题意得：/\A'OB'与AAOB的相似比为2：3,

又；B(3,-2)

.••B-的坐标是［3X（《），-2X（」■）］,即B，的坐标是（-2,当；

4

故答案为：（-2,1—■）.

♦

4.（2016•巴中）如图，点D、E分别为aABC的边AB、AC上的中点，则4ADE

的面积与四边形BCED的面积的比为（）

【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE〃BC,DE=L

2

BC,证出△ADEs/\ABC,由相似三角形的性质得出4ADE的面积：ZUBC的面

积=1：4,即可得出结果.

【解答】解：：D、E分别为AABC的边AB、AC上的中点，

DE是△ABC的中位线，

，DE〃BC,DE=1-BC,

2

AADE^AABC,

.,.△ADE的面积：AABC的面积=（J-）2=1：4,

2

...△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三

角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键.

5.（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以

原点。为位似中心的位似图形，且相似比为工，点A,B,E在x轴上，若正

3

方形BEFG的边长为6,则C点坐标为（)

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出

△OAD^AOBG,进而得出A0的长，即可得出答案.

【解答】解：•••正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似图

形，且相似比为工，

3

•.•