2020年自考高等数学（工专）考试题库及答案

2020年自考高等数学(工专)考试题库及答案

第一章(函数)之内容方法

函数是数学中最重要的基本概念之一。它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主

要研究对象。本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。重

点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。

1-2函数的概念

函数的定义：y=f(x)(xeD),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。V(对任意)xel)T!(有唯

一)y与x对应。y所对应的取值范围称为函数的值域。

当自变量X取平面的点时，即X=(X|,X2)时，f(x)是二元函数；当X取空间中的点X=(XI,X2,X3)时，f(x)是三元函数。

函数的表示法主要有两种.其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。例如y=f(x)=e;符号函数

1,x>0

y=sgn(x)=<0,x=0

、-1,x<0，

其中后者是分段函数。其二是图示法。如一元函数可表示为平面上的-一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。

给定一个函数y=f(x),则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。应综合考虑分母不能为0,

偶次根式中的表达式应大于等于0,对数函数的真数应大于0等情形。

1-3函数的简单性态

1.单调性：称函数f(x)在区间I(含于定义域内)单调增，若Vx“X2€l,当X〈X2时f(x)4f(xj;称函数在区间I(含

于定义域内)单调减,若Vxi,X2WI,当X1<X2时若Xi)Nf(X2).

单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I称为单调区间。

判断一个函数f(X)在区间I是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。

2.奇偶性:设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果VxeD,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果VxeD,有fQx)

=-f(x),则称f(X)为奇函数。

判断一个函数的奇偶性时一般用定义。在几何上，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。例

如sinx,X,等是奇函数，cosx,X?等是偶函数。

若y=f(x)为任一函数，其定义域D关于原点对称，则可以验证F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，而G(x)=f(x)-f(-x)是奇

函数；f(x)=0既是奇函数，又是偶函数；两奇函数的和还是奇函数，两偶函数的和还是偶函数。

3.有界性：若对属于区间I的任何x,总有|f(x)|4M(常数)，则称f(x)在I上有界，否则称为无界。类似地可定

义上有界和下有界。

4.周期性：对函数y=f(x),若有一正数a存在，对属于定义域的任意x,x+a,x-a,总有等式f(x)=f(x土a)成立，那么

称f(x)为周期函数。

若在众多地a中存在一个最小的T,那么T称为周期函数的周期。例如sinx的周期为2兀，sin、的周期为兀等。

1—4反函数

我们把不同的x对应不同的函数值的函数f(x)称为单函数。设f(x)是单函数,对f(x)的值域中任一点y,有唯一的X,

使得y=f(x).由这种对应所确定的函数称为f(x)的反函数，记为x=(p(y).注意y=f(x)和x=<p(y)实际上同一个函数。但习

惯上以x为自变量，y为因变量，则y=f(x)的反函数为y=(p(x),记为y=fYx).这时在同一平面上，f(x)与f'(X)的图像

关于y=x对称。因此，求一个函数的反函数时，先从y=f(x)中解出x=<p(y),然后将x与y互换即得。

1-5复合函数

若函数y=f(u),u=(p(x),则y=f[<p(x)]是x的复合函数，称u为中间变量。一个函数有时可由多个函数复合而成。这

时务必弄清各层的中间变量，这对以后学习复合函数求导时大有益处。例如1y=由

y=e*u=v2,v=sint,t=s；s=2x-l复合而成。

1-6基本初等函数与初等函数

基本初等函数主要包括指数函数，对数函数，幕函数，三角函数和反三角函数。熟练掌握基本初等函数的形式、定

义域、值域、单调性、周期性及图像，可为以后的学习打下良好的基础。初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次

的有理运算及复合所产生的函数。

1.指数函数：y=a*(a>l,axl),定义域为(-oo.+oo)，值域为(0,+8).当a>l时，函数为单调增；当0<a<l时，函数

为单调减。指数函数的图像始终经过点(0,1)。

2.对数函数：y=log.x(a>l,axl),它是指数函数的反函数。其定义域为(0,+8),值域为(-8,+8),图像始终经过点

(1,0)。当a>l时，函数为单调增；当0<a<l时,函数为单调减。特别地，以e为底的对数函数称为自然对数，记为y=lnx.

自然对数在高等数学的学习中占有很重要的地位。

3.幕函数：y=x"(a为任意实数)。其定义域、值域、单调性等应视a的取值而定。注意，一般地有*=a10s1"或x=e"、

所以y=eB,nx.可见，幕函数是指数函数y=e"和对数函数u=alnx的复合函数。

4.三角函数

正弦函数：y=sinx,-oo<x<+8,值域为[T,1],它是周期为2n的奇函数。

余弦函数：y-cosx,-oo<x<+oo,值域为[-1,1],它是周期为2兀的奇函数。

土)

正切函数：y=tgx,x*(2k+l)n/2,k=0,±l,....值域为(-8,+oo),周期为兀，它在2,2内单调增，它为奇函

数。

余切函数：y=ctgx,x*krt,k=0,+1,周期为"的奇函数。它在(0,兀)内单调减。

正割函数：y=secx,xw(2k+l)n/2,k=0,±1,…，其周期为2兀。

余割函数：y=cscx,xwk兀,k=0,+1,...,周期为2兀。

5.反三角函数

反正弦函数：y=arcsinx,xe[-l,1],值域为[F/2,兀/2],它为单调增的奇函数。

反余弦函数：y=arccosx,xe[-l,1],值域为余用,它为单调减的偶函数。

反正切函数：y=arctgx,xe(-8,+oo),值域为[F/2,n/2],它为单调增的奇函数。

反余切函数：y=arcctgx,xe(-00,+8),值域为[0,用，它为单调减的奇函数。

1-7函数关系的建立

运用数学工具解决实际问题时，往往需要先找出问题中变量之间的函数，然后对它进行研究，这是解决实际问题重

要的一步。至于如何建立函数关系，并无一定的法则可循，只能根据具体问题作具体处理。

第一章(函数)之例题解析

/(x)=—J1—-

例1.1己知函数X。求f(x)的定义域及f(-x)

解：由xM及l-x2>0得，其定义域为[-1,0)U(0,1];

〃--)=正(-I)?=J1—.

-XX

例1.2证明：f(x)=sinx在(F/2,冗/2)内单调增。

证明：设xi,X2G(F/2,TC/2),XI<X2,

2cosQ^sin&U>0

-

贝ijf(x2)-f(xi)=sinx2sinxi=22.

故f(x)=sinx在(-兀/2,兀/2)内单调增。

例1.3证明：对称区间”t,t]上的任一奇函数与任一偶函数的乘积是奇函数。

证明：设f(x)是[T,t]上的奇函数，g(x)是上的偶函数,则f(-x)二-f(x),g(-x)=g(x).

所以f(-X)g(-x)=-f(x)g(x).

即f(x)g(x)是奇函数。

例1.4求丁='怎彳的反函数。

解：由1y=^i_得x=y3T.

将上式中x与y互换即得所求的反函数为y=x3-l.

第一章(函数)之自我检测

测1.1单项选择题

X-1+716-X2

1.函数Inx的定义域为()

A.(0,1)B.(0,1)U(1,4)C.(0,4)D.(0,1)U(1,4]

2.下列各对函数中为同一函数的是)

%工

c.(4y与G"

A.Im?与21nxB.e2与D.x与sin(arcsinx)

3.下列函数中为奇函数的是)

x+5

A.|x|.xB?

x-5C.ex+exD.xtgx

y=cos(—P3)

4.2的周期是)

A.2冗B.冗C.4兀D.n/2

5.下列函数中，在其定义域内单调减的是)

1

A.X2+1B.2-&C.x2-x-lD.ex-l

6.函数丁=1。842+1。84后的反函数为()

A.y=2*TB.y=2"、c.y=4"1D.>42M

7./x)=±四="三则力,(x)]=()

]]

x2

A.l+ln(，+1)B.1+y/e-1C.1+田(x?+l)Dl+ln(x-1)

8.若/(sinx)=3-cos2x则/(cosx)=

()

A.3-sin2xB.3+sin2xc.3-cos2xD.3+COS2Z

9.设函数/(x)=〃g(x))=22",则g(x)=()

A.log2xB.x2C.2XD.l°g2-

K答案21.D2.B3.B4.C5.B6.D7.C8.D9,C

测1.2证明：y=2"在(0,+8)内单调增。

测1.3设f(x)=x2+9,g(x)=4+石。证明：f[g(4)J=5g[f(4)].

测1.4某公共汽车路线全长为20公理，票价规定如下：乘坐4公里以下者收费5分，乘坐4至10公里者收费

1角，乘坐10公里以上者收费1角5分。试将票价表成路程之函数。R提示》表成分段函数。

测1.5在半径为r的球面内嵌入一内接圆柱。试将圆柱的体积表为其高的函数，并确定此函数的定义域。K答

V=^[r2-(-)2]A,(0,2r)

案』2

第2章(极限与连续)之内容方法

极限理论是高等数学的基石，函数连续性的概念就是在它的基础上建立起来的。极限也是研究导数、积分、级数等

必不可少的基本概念和工具。本章主要研究数列的极限、函数的极限、无穷小量和无穷大量以及函数的连续性等问题。

重点是函数的极限概念及极限的运算，连续函数的概念与性质及初等函数的连续性。难点是极限概念。

2-1数列的极限

1、数列：当自变量〃按正数1,2,3,…〃，…增大的顺序依次取值时，所得到的一串

有序的函数值：/⑴，，(2)，…，,伽)，…称为数列。记/(%)=%,这数列常记为%，&2,…凡，…或｛凡｝,数列中的

每一项称为项，凡称为数列的通项。至于几个较简单的概念，如单调增、单调减数列，摆动数列，有界数列等，这里不

详细列出。

数列极限的曾定义：如果一个数列｛%｝和一个不确定的常数｛具有如下的关系：▽£＞0，三敢可，使当力＞根时,

1见一山＜£,则称4为数列｛%｝当?3—8时的极限，记作照氏=',这时也称收敛。若无极限，则称之为

发散数列。

应当注意：数列的极限反映通项的变化趋势。通俗的说，就是巴要多接近力就有多接近/；而上述定义则是这种通

俗说法的数学表述。

数列的极限具有以下一些性质：唯一性，有界性，四则运算性质。另外，单调有界数列必有极限是一条存在性准则。

以此为基础，得到了一个重要极限：

lim(1+—)"=e

-no

求数列的极限时，对于较简单的数列，可根据数列的通俗说法看出其极限值；另外一些可根据极限的四则运算性质

求得，如

丽.+i_11m7?」

J-

-2«+^+5~-2+31+5(1)22

nn。

利用重要极限求极限时，一定要化为其规范形式，如

3

Ir1T15

hm(1一与11m(]+'_ylim(l--)=e-

“fgn-fgL.-n—1no

lun-=0

还有一些用到极限的存在性原则或一些技巧，如19泡可用单调有界原则或夹逼准则求得，而

lim(V«+1-6)=lim]----==0

m—力则用到分子分母同乘有理化因式。

2-2函数的极限

函数的极限比数列的极限要复杂一些。从自变量的变化来看，分自变量趋于无穷大和自变量趋于有限值两种情形。

第一种情形又有X7田，X7-8和X-8三种情形，第二种情形有左右极限的情况。

蛇J(x)="的旌X定义：若定义于的一个函数丁=/。)与一个确定的常数A有如下的关系：

VE>0,BX(e)>0>使当x>X时，火x)7|<e。

乱,")='的£-5定义：若定义于々的某一去心邻域的函数1y0)与一个确定的常数A有如下的关系：

Ve>0,35fs；>0)使当0<,一々|<5时，|/。)一金|〈九

左极限,''/一°)一吧"一'的£-5定义：若定义于/左侧某一邻域(不含々在内)的函数/CO与一个确定

的常数力有如下的关系：比>0,迎切>0,使当-5<矛-/<°时，

/(x0+0)=lunf(x)=A

类似的可定义其它形式的极限及右极限，一中。

从极限的定义容易得出，函数极限存在的充分必要条件是其左右极限存在且相等。象数列的极限一样，函数的极限

也具有唯一性、有界性和四则运算性质。此外，函数的极限还具有保号性，即若变则存在々某

一去心邻域^气不)，使当xeUXxJ时，/(x)>A>0(/(x)<^<0)(其中力,左为常数)。反之，若在々某一去心

邻域内3°(,。)二°),则!瞿一'20(“'°)。由保号性可推出函数极限的一条存在准则一夹逼准则，即如

果已知x~/(x78)时，函数g(x)和我。)有同一极限4,且当°<卜一/|<5(可>幻时有：g(x)</(x)

则当X->/(X-8)时，/(X)的极限也存在且等于上

sinx

lim----=1

利用夹逼准则可证明另一个重要极限I，X。

Inn(1H■—)*=e

对于函数，也有相应的重要极限：I"x。

求函数的极限的方法很多，一般来说可考虑用单调有界准则或夹逼准则，四则运算性质和两个重要极限以及函数的

0co

连续性。特别是学习微分学后有了洛必塔法则对于6型或最型的未定式的极限的计算就更方便了。有些还可利用函数的

泰勒展开式计算。

2-3无穷小量与无穷大量

极限为零的函数称为无穷小量，无穷小量的倒数称为无穷大量。用无穷小量可以描述极限：

lim_/(;<)=工0/。)一工是无穷小。在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍然是一个无穷小；有限个无穷小的

乘积仍然是无穷小；无穷小与有界函数的乘积仍未无穷小。

无穷小的比较在求函数的极限，研究微分中值定理及函数的泰勒展开式中得到广泛的应用。

设ct(x)、仪力是同一极限过程(如xTx”或x-8的无穷小。

返70

(1)如果6(x),则称"(乃为仅x)的高阶无穷小；

（2）如果P。）（C为非零常数）则称"0）和仪©为同阶无穷小。

幽川

（3）如果6（x）,则称a。）和仅x）为等价无穷小。

例如sinx与x当X70时是等价无穷小。在求函数的极限时，为简化计算，可用等价

无穷小去替代原无穷小。

2-4函数的连续性

函数的连续性概念以极限概念为基础。/（X）当X7玉的极限反映了y（x）在/附近的变化趋势，它可以不考虑

在x=x0处有无定义，如果有定义，了。）的极限也可以不为了（々）。而函数了。）在々的连续性，直观上讲应有

蚣这意味着“X）必须满足以下三条，才有“X）在x=x0处连续：

①/（X）在々有定值I/（/）；

②期J⑸存在；

③蚣。

基于左右极限的概念，可得左右连续的概念：

小）在演处左连续即鸣〃x）=/4）；

/（X）在/处右连续即期/⑺=：

显然，/（X）在题处连续的充分必要条件是它既左连续又右连续。

区间中的连续函数是指函数在区间中每点都连续。

仔细分析函数的连续性的概念，可得函数在下列三种情形下不连续（即间断）：

①/。）在不处无定义；

②蚣不存在；

③〃题）有定义且蚂〃X）也存在，但蚂*/区）。

由此可得间断点分成以下几类：

11

lim/（%）=ootai—=8一

①无穷间断点：，T，J',，如，T°x且X在x=0处无定义。

②跳跃间断点：/（々―0）与丁（々+0）存在但不等，

x,x>0

=<

例如x=o是口才工°的跳跃间断点。

③可去间断点：期/（'）="存在但"〜）无定义或力工/（々），则可补充或修改”/）的定义为

了(x),XH0

斤（力=

A,X=x„

则■＞）就在/处连续了。

第一类间断点：左右极限均存在的点，如跳跃间断点和可去间断点属此类。

第二类间断点：不属于第一类的间断点，如无穷间断点。

2-5连续函数的性质，初等函数的连续性

在某点连续的函数具有以下性质：连续函数的四则运算是连续函数；两连续函数的复合是连续函数；在区间上连续

且单调的函数的反函数也是单调连续函数；基本初等函数和初等函数在其定义域内是连续的.因此可利用函数的连续性

求函数得极限。此外，闭区间上的连续函数还具有以下几条重要性质；

㈠最大值、最小值定理：［a,6］上的连续函数必在［a,6］上取最大值和最小值。

㈡介值定理：［a,3上的连续函数/（X）必取得介于最大值和最小之间的任一值。

㈢零点定理：［a,6］上的连续函数，如果在区间两端点的值异号，则必在区间内取得零值。

第2章（极限与连续）之例题解析

例2.1利用单调有界数列准则证明数列

V2,啦+/,1J2+^2+V2

的极限存在并求出该极限。

证明：易知％&='月+见且凡＞0例=1,2,…），

利用数学归纳法易证凡＜2^=12…九

据单调有界准则知LJ有极限。

“lima=xwlime姓=j2+lim4/日

设"，则由I"0Vnf9得

x=A/2+X,x=2

例2.2用夹逼准则证明

lim甩(1----+「-------+…+r------)=1

"T9n+71n4-271n4-加兀

%=-5-----------+■—-5-----

证明：易知«+西阀+2笈n+加r

n+71

nn

lim--------=lun———=1lima=1

而19附+7119甩+71，故190

例2.3计算下列极限。

1-cos2x

lim

2」xsinx

lim(—)*12*

Tg

3.11x4.4'

tg3x1..sin3x

11m-------=lim------------lim----------

解：L*T°x*T。COS3X*T°x

「.sin3x.sin3x_

=lim5----------=3O11im----------=5

go3x3x

2

r1-cos2xr2sinx_rsinx.

lim-------；--------=lim——；-------=2lim---------=2

2.‘句xsinxxsinxx

lim(四产=lim[(l+3*f

3.x*xXT9x

XT9X

i

崛。-X）；独KI尸]7=@T

4.

例2.4计算下列极限

后KF,“11sinx

11mlim(1+_+—I-…+limx2sin-rlim-------

1.'Tx-12.…243."旬x，4.X

解：1.x-1

hm一⑴--

*TI(x-1)(-4+石)

4

=lim2

KTlj5x-4+6

lim(1+—•+--4------F--)=lim------=2

…242"…1]

1——

2.2

limx2sin-=0

3.x->0x

lim—=0

4.4x

例2.5证明方程X’-3x=1至少有一根介于1和2之间。

证明：令-3x-l,则/(x)在［1,2］上是连续函数。

由于y(1)=一3<0,/(2)=25>0,据零点定理知,

/(X)在口,2］内至少有一个根。

/W=-g(x)=闻

例2.6讨论函数X及X,当x70的极限

及在工=0处的连续性。若工=0为间断点，则指出其间断点的类型。

解：/(X)在x=0处无定义，因而不连续,

但/―(x+0)=1,所以蜘〃x)=l

x=0是/(x)的可去间断点。此时作

'f(x)xwO

尸⑶=

Jx=°,则F(x)在X=O处就连续了。

g(x)在x=0处也无定义，因而x=0是g。)的间断点,

又g(x-0)=T，g(x+O)=l,所以.8(乃不存在,

且x=0是g(x)的跳跃间断点。

例2.7当时，无穷小l-x和

3-(l-x2)

①>/；②2

是否同阶？是否等价？

..1—X「1-x1

lim-----=lim

解：T1"-(l-x)(/+x+l)3

..l-x与1一/当X71时为同阶无穷小。

触:\=1

又

-(1-X2),

1-X与2当X-1时为等阶无穷小。

第2章（极限与连续）之自我检测

测2.1填空题

+2x4-5x3-2x4-1

limi

7+12.fX-X

x3+2x4-52x4-5

rlim----

3.?+14.*X+1

rJl+-11mL=

lim----------1

5.fx6.n；

f?-1,0<x<l

1m生纹=

1/(X)=5

8.若[x+3,X>1则/(I-0)=

7.fsin5x

2

R答案11.4；2.0；3.1；4.0；5.0；6.e；7.5；8.0

测2.2选择题

1.在数列极限定义中，关于正数E的下列说法正确的是（）

AE是一个很小的正数Be是任意给定的正数Ce是无穷小的正数D&是随正变化的正数

2.数列的单调性对数列的收敛性来说是（）

月充分条件A必要条件C.充要条件。无关条件

-1,x<0

〃芥）=,

2x“，若㈣〃幻=—1,则左=（）

3.设x+k,

-A.15.-1C.Q。任意实数

1

arctg)x<0

〃x)=:

arctgfx>0

则当xl0时/（x）的左右极限分别为（

4.设Ix)

C.0,兀£).0,0

)

C.2D.oo

lim(----

6.—Ix-1)

1_

A.-1B.oC.2D.oo

(sinx)2

2

7.I。tg2x()

1

A.oB.2C.2D.oo

1

8.io''()

-33_22

AKTDdC.”D.

sinxw"

/(x)---------1

9.%l-e的间断点的个数为()

A.oB.iC.2D3

10当x-丽时，下列变量中是无穷大量的是()

x_1+2%

A.0.001B.&C.2TD.x

K答案》1.5；2.Z)；3.5；4；A5.5；6.；Cl.B-,8.A-,9.C-io.D

测2.3计算下列极限

XT。2Xtgx-smx/2x+3、*+ilnx-1

sin(—)lim———5------hm(--------)n--------

1.32.*T。sin3x3.*T92x4-14.x-e

1sinx

-tgx=-------1

K答案H1.9；2.2提示：利用cosx及c°sx〜l,smx~x3.e；

1「lnx-1..lnQ+®)-lne...4+八：

一lim---------=hm-------------------=limln(------

4.&提示：x-e1。te

x,0Vx<1

〃x)=，2,x=l

测2.4设函数2-x,1<x<2

1./（x）在x-1是否存在极限？

2.」（x）在X=1处是否连续？

若不连续，指出x=l是何类型的间断点。

K答案』J即,"）=1；2.不连续，可去间断点

测2.5试证方程右2”=1至少有一个小于1的正根。

K提示》考虑/"）=x2*-l及区间［o,i］

第3章（导数与微分）之内容方法

导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限概念的基础上建立起来的，它是微分学中最重要的概念。而微分是微

分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术与工程实际中有着广泛的应用。本章引入导数与微

分的概念，研究了导数的各种计算方法。本章的重点是：导数的定义及其几何意义；导数作为变化率的概念；可导函数

的和、差、积、商的求导运算法则；复合函数的求导法则；初等函数的求导问题；微分定义。难点是：复合函数的求导

法则。

3-1导数的定义

导数的定义」（铲£

lim%+—)-/(%)=hm10)-/(勺)

3°Ax2/X-Xn

〃而+Ax)一〃演)

/(而)=hm

左导数:AKTO△x

/（与+心）一/（醺）

力(而)=lim

右导数:AXTO十

由导数的定义知：/0）在X。可导的充分必要条件是其左右导数存在且相等。

如果y=/（x）在区间/上的每一点X都可导（但在闭区间的左端点只需右可导，在右端点只需左可导），那么就称

函数/（X）在/上可导。

这时/（X）在［中任一点的导数确定了I上的一个新的函数，

称之为了。）的导函数，简称导数，

记为dx或dx。

/(x+Ax)-J(x)

=lim

这样,AXTOAx

而/（&＞）就是导函数/（X）在x。的值。

导数的几何定义是：曲线上的纵坐标丁对点的横坐标x的导数是曲线在该点的切线的斜率，即I”吟。

dx

V=--

导数的物理意义之一是：位移X对时间£的导数是瞬时速度，即成。

比较简单的函数的导数可以用导数的定义直接求得。比如几个初等函数的导数公式就是由导数的定义求得的。

3-2导数与连续的关系

可导必连续。事实上，若了（X）在而可导，

1皿/0）一〃而）=/气）

则工-两，

从而〃乃-〃％）=/（而）。-而）+（入-瓦）。*-瓦），

因此当Xf%时,/（X）7/（M

故/（x）在X。处连续。

反之不然。一个典型的例子是/（X）=可在X=0处连续,

但工（0）=-"（0）=1。

3-3求导法则和方法

1.3WW。）。

2.w（x）±v（x）y=/s）±w。）。

3.3加（6），=!/（加0）+“（柳口）。

w（x）,_ufv-uvf

2

4.v（x）（v（x））o

5.复合函数求导法：

L/皿切人L㈤卜姆或尤=MU。

6.反函数的求导法

设^=仪力是可导函数》=/U）的反函数，

q/（x）=---

则以力（八力#0）0

,2d（玄）

y«_d__dx

7.高阶导数求导法：一dx-dx,

/+l)=y=哈

dx

8.隐含数的求导法：在尸（冗力=°两端对X求导。

f（78）

这时千万要将乂yj等视为x的函数。

从而1y2,siny等是X的复合函数。

9.对数求导法：对表达式为乘积或乘方的函数，

先取对数，然后再按隐含数求导法求导。

x=(p©dy_u/(z)

10.参数方程求导法：设1丁=中⑷，则dxtp")。

3-4基本求导公式

常数y=c，V=o；

基函数1y=x"，1/=

y=ax,yf=a^ina

指数函数b=e'，y=e”.

fl

y=logax,y=——

xlna

i，1

y=Inx,y=—

对数函数Ix；

y=sinx,y'=cosx

y=cosx.y=-sinx

y=tgx,y'=sec2x

三角函数.y=c£gx,y'=-cscx

y=arcsinx,1/=1

r1

y=arccosxj=".

71-x2

,1

y=arctgx,y=-----

1+x27

,1

y=arcctgx.y----------7

反三角函数1+x2

以上公式和法则应熟记。

3-5微分

微分的定义：若丁=/（为在X处可导,

则函数的增量勺=/（x+Ax）一/⑶=/（»Ax+a如）Ax,

其中ot（Ax）是瓜①x70）的高阶无穷小。

称/⑶Ax=/（x）dx为切的线性主部，

并称之为/（X）在x处的微分。

记作力，即砂=/（醐见

玄='（»

由微分的定义：方=/*）办得小。这即是导数与微分的联系。

如求得了。）的导数_r（x）,则其微分为砂=ro）dx,

若求得了（x）的微分步。）=Adxt则其导数为/（x）=工。

当函数丁=/（工）在x处有微分的时,

a(x)..Ly-Abx.

AAAi/xlim----lim----------0

即Ay=4k+且MTOZ=KTOAX时,

称/（X）在X处可微。

当了（x）在区间I上的每一点处可微时，称/（X）在I上可微。

由于力=/（x）公，我们得到,

/（X）在X处可微的充分必要条件是/（X）在X处可导。

因此，当bx|很小时，可用微分方=/（x）dx去近似替代增量功。

即/（x+.J（x）+扒*&x。

利用此公式，可以进行函数的近似计算。例如

sin29°=sin（30'-1°）=sin（———）

6180

«sin4-(sinx)’[»Ax

.兀JI,兀、

=sin—4-cos—•（----）

66180

«0.4849。

微分的公式与法则与导数的公式与法则完全类似，而且计算微分更简洁。特别地，它还具有一阶微分形式不变性。

即

y=/（"=（p（x）

时，无论〃是自变量还是函数，

丁=/@）的微分总保持同一形式：®=>/'3）成。

第3章（导数与微分）之例题解析

sin%,x<0

〃x)=,

例3.1已知x，xN0,求尸⑺。

解：当x<0时，/\x)=(sinx)'=cosx

当x>0时，/（工）=（X）'=1；

当x=0时

r(0)=hm吧竺二遮=1

Ax,

/：(0)=阿出/一/⑼=hm—=1

AXT/AXKTO+AX

・J(0)=1

（乌-）

例3.2求曲线丁=cosx上点3'2处的切线方程和法线方程。

.71y/3

=­sin—=——

解:32

T=cosx在5'5处的切线方程为

其法线方程为「《当喈。

例3.3求丁=secx的导数和y=escx的导数。

e/=(sec/’=(」一)‘

解：COSX

(l)rcosx-1(cosx)fsinx

=-----------------=---2~=secxtgx

cosXcosx

同理y=(csCX)'=-CSCxctgx。

例3.4求丁=也［＜：0$0而）］的导数。

解：外出叱（当了（对，求导,

1

[-sin(产)]，y

cos(e«)

（对COSV求导）

=一把（石y

（对e"求导）

一—去（对五求导）

注意：对多个函数组成的复合函数求导时应做到:

层层剥皮，逐层求导，千万不要遗漏某一层。

v=(arctg-)2

例3.5求2的导数。

214x

yf=2arctg]-----=F-----arctg—

2+(今22/+42

解:

例3.6求T=的%阶导数。

解：3丫）'="，+以"

@刃”=33+W）'

=〃，+2u\>'+uv"

类似的（卬尸=

用数学归纳法可以证明

（卬产=〃，%+加2）+^^2卢）+-.

2!

.一1）一•（［一:+1）对

k\

上式称为莱布尼兹公式，它与牛顿二项式定理的展开式3+3”完全类似。

例3.7求由方程/+=°确定的隐含数丁的二阶导数。

解：方程两边对x求导得（这里丁是x的函数，/是x的复合函数）：

/•1/+'+期’=0,解得'一一x+e>。

,/1/"+，）一丁（1+/个）

y—―----------------------------

炽+/）2（y是X的函数）

=_.+丁

注意：求/时，也可在方程

/>'+丁+个'=o

两边对X求导，解出1/,将•/的表达式代入化简即得丁”,

所的结果与前法当然是相同的。

y=尸—

例3.8用对数求导法求n5-3)炽-4)的导数。

解：先在两边取对数(假定x>4)得

Iny=-^[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)]

上式两端对x求导，并注意到少是x的函数，得

1,1,1111、

-/=-(——+--------------)

1y2\-1x-2x-3I

y=—(---+--------------)

于是2x-1x-2x-3x-4

y=广初2-x)

另外，当x<l时，］(3-x)(4-x)；

1-2)

当2cx<3时，R(3-X)(4-X)。

用同样的方法可得到与上述相同的结果。

r丁/1,1