(人教版)青岛市九年级数学上册第四单元《圆》测试(有答案解析)

一、选择题1．如图，一块直角三角板的30°角的顶点落在上，两边分别交圆于，两点，若的直径为6，则弦的长为（）A．3 B．2 C． D．2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在半径为8的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，，下列结论不正确的是（）A． B．C．四边形是菱形 D．扇形的面积为4．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在的圆的圆心，，点C是的中点，点D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（）A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm5．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠BDC的度数（）A．45° B．55° C．65° D．70°6．如图，的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将绕点B顺时针旋转到的位置，且点、仍落在格点上，则线段扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A． B． C． D．7．如图，⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（）A． B． C．16 D．88．如图，的半径为5，弦的长为8，是弦上的一个动点，则线段可取的整数值有（）个A．1 B．2 C．3 D．49．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若，则的度数是（）A． B． C． D．10．已知是经过圆心的直线，为上的任意一点，则点关于直线的对称点与的位置关系是（）A．点在⊙○内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定11．如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为，n个小半圆弧长的和为，大半圆的弦AB，BC，CD的长度和为则（）A．B．C．无法比较、、间的大小关系D．12．如图，与轴交于点，，圆心的横坐标为，则的半径为（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm2．14．一排水管截面如图所示，截面半径，水面宽，则圆心到水面的距离______．15．如图所示，已知矩形ABCD的边，．以点A为圆心作圆，使B，C，D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是______．16．一点到上的最近距离为，最远距离为，则这圆的半径是______．17．如图，已知点在上，若，则_____________________度．18．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．19．如图，⊙O的半径为3，点A是⊙O外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接OA、OP．则线段OP的最大值是______．20．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是________．三、解答题21．如图，菱形的顶点在扇形的弧上，、在弦上．（1）求证：．（2）已知扇形的半径为2，当时，求图中阴影部分的面积．22．在中，弦与直径相交于点．（1）如图1，若，求和的大小;（2）如图2，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．23．如图：在平面直角坐标系中，直线l与两坐标轴分别相交，相交于C、D两点，且，，长度为2的线段AB（B点在A点右侧）在x轴上移动，设点A的坐标为．发现：（1）当以A为圆心，AB为半径的圆与直线l相切时，求m的值；应用：（2）当以A为圆心，AB为半径的与直线l相交于M、N两点，且是等腰直角三角形，求m的值．拓展：（3）直线l上存在点P，使得，则m的取值范围是_________（直接写出答案）．24．已知点A、B在半径为2的⊙O上，直线与⊙O相切，，连接交于点D．（1）如图①，若，求：（2）如图②，与⊙O交于点E，若，求的长．25．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：．求作：边上的高．作法：如图，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线，交于点，则直线是线段的线；③以为圆心，为半径作，与的延长线交于点，连接，线段即为所作的高．（1）补全尺规作图并填空﹔（2）判断为高的依据是．26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=300m，EF=50m，求这段弯路的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】连接并延长交于点，连接；根据同弦所对的圆周角相等可得；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．【详解】解：如图：连接并延长交于点，连接，，，∵是的直径，，，．故答案为A．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．2．B解析：B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．D解析：D【分析】利用垂径定理可对A进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对B进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对C进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对D进行判断．【详解】解：A.∵点A是劣弧的中点，∴OA⊥BC，所以A正确，不符合题意；B.∵∠AOC=2∠D=60°，OA=OC，∴△OAC为等边三角形，∴BC=2×8×sin30°=2×8×=，所以B正确，不符合题意；C.同理可得△AOB为等边三角形，∴AB=AC=OA=OC=OB，∴四边形ABOC是菱形，所以C正确，不符合题意；D.∵∠AOC=60°，OC=8∴扇形OAC的面积为，所以D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．4．B解析：B【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：∵OC⊥AB，AB＝20，∴AD＝DB＝10，在RtAOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，解得：r＝12.5，∴这段弯路的半径为12.5，故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．5．C解析：C【分析】连接BC，求出∠B＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B＝180°，进而得到∠BDC=∠B＝65°．【详解】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠BDC=∠B＝65°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，根据题意添加适当辅助线是解题关键．6．B解析：B【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋转角为90°，根据扇形面积公式求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积=．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用，关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形，难度一般．7．A解析：A【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．【详解】连接OA，∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，∴CO＝6，PO=4，∵AB⊥CD，∴AP===，∴AB＝2AP＝．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=×8=4，∴在Rt△OAM′中，OM′==3，∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．9．D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC，∵点C为的中点，∴∠BAC=∠BAD=25°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．10．C解析：C【分析】圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．【详解】解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．11．A解析：A【分析】利用圆周长公式计算和的长．根据圆周长公式分别写出和的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出，即可选出答案．【详解】解：设n个小半圆半径依次为，，，．则大圆半径为，，；根据“两点之间线段最短的性质”可得：，．．​故选A．【点睛】本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大．12．C解析：C【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理得DM＝3，在Rt△PMD中，由勾股定理可求得PM为5即可．【详解】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：∵⊙P与y轴交于M（0，−4），N（0，−10）两点，∴OM＝4，ON＝10，∴MN＝6，∵PD⊥MN，∴DM＝DN＝MN＝3，∴OD＝7，∵点P的横坐标为−4，即PD＝4，∴PM＝＝＝5，即⊙P的半径为5，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．二、填空题13．12π60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长从而求得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm做成的圆锥形帽子的高为8cm∴圆锥的底面半径为∴底面周长为∴这张扇形纸板的弧长是扇形的解析：12π60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，∴圆锥的底面半径为，∴底面周长为，∴这张扇形纸板的弧长是，扇形的面积为．故答案是：；．【点睛】本题主要考查了扇形弧长计算和面积计算，准确分析计算是解题的关键．14．12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm再根据勾股定理求出OC即可【详解】∵OC⊥AB∴AC=5dm在Rt△AOC中∴OC==12dm故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理勾股定理熟记垂径定理是解题解析：12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm，再根据勾股定理求出OC即可．【详解】∵OC⊥AB，，∴AC=5dm，在Rt△AOC中，，∴OC==12dm，故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．15．【分析】使BCD三点至少有一个在圆内且至少有一个在圆外也就是说圆的半径不能小于AB不能大于AC可求得AC=5所以3<r<5【详解】如图连接AC∵

在矩形ABCD中AB=3cmAD=4cm∠ABC=9解析：【分析】使B、C、D三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC，可求得AC=5，所以3<r<5.【详解】如图，连接AC，∵

在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠ABC=90°，BD=AC，∴AC=BD=，∴AB<AD<AC，∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点⊙A在外，∴点B一定在⊙A内，点C一定在⊙A外，∴⊙A半径R的取值范围应大于AB的长，小于对角线AC的长，即3<R<5．

故答案为：3<R<5．【点睛】本题考查确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．16．4cm或7cm【分析】当点P在圆内时点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径当点P在圆外时点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径知道了直径就能确定圆的半径【详解】当点P在圆外时如图1点P到解析：4cm或7cm【分析】当点P在圆内时，点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P在圆外时，点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．【详解】当点P在圆外时，如图1，点P到圆的最大距离与最小距离的差为8cm，就是圆的直径，所以半径是4cm．当点P在圆内时，如图2，点P到圆的最大距离与最小距离的和为14cm，就是圆的直径，所以半径是7cm．故答案是：4cm或7cm．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．17．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中解析：【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠AOB=100°．故答案是：100°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．10π【分析】连接OC易得△ODE≌△ECO所以扇形OBC的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC的面积即可【详解】解：如下图连接OC∵∠AOB=90°CD⊥OACE⊥OB∴四边形ODCE为矩解析：10π【分析】连接OC，易得△ODE≌△ECO，所以扇形OBC的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC的面积即可．【详解】解：如下图连接OC，∵∠AOB=90°、CD⊥OA、CE⊥OB∴四边形ODCE为矩形∴OD=CE，OE为公共边∴△ODE≌△ECO∴△ODE的面积=△ECO的面积∴图中阴影部分的面积=．故答案为：10π．【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE的面积=△ECO的面积．19．【分析】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT利用三角形中位线定理求出PT根据OP≤PT+OT可得结论【详解】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT∵OA=6OT=3∴OT=TA∵AP=PB∴PT=解析：【分析】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．利用三角形中位线定理求出PT，根据OP≤PT+OT，可得结论．【详解】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．∵OA=6，OT=3，∴OT=TA，∵AP=PB，∴PT=OB=，∵OP≤PT+OT，∴OP≤，故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．20．30【分析】结合题意根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm弧长为10cm∴弧长对应的圆心角n为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题解析：30【分析】结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案．【详解】∵扇形的半径为6cm，弧长为10cm∴弧长对应的圆心角n为：∴扇形面积为：故答案为：30．【点睛】本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用菱形的性质证明，接着证明，就可以得到结论；（2）连接与交于点，用勾股定理算出AF的长，设，列式求出x的值，阴影部分的面积用扇形面积减去两个三角形面积和一个菱形面积进行求解．【详解】解：（1）∵四边形是菱形，，是菱形的对角线，，，即，，，∴在和中，，，；（2）如图，连接与交于点，则，，，，，设，则，，，，解得，，，，是等边三角形，，，∵由（1）知，，，．【点睛】本题考查几何综合题，解题的关键是掌握菱形的性质，圆的基本性质，扇形面积公式．22．（1）；（2）．【分析】（1）首先利用三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数，然后利用圆周角定理及其推论即可求出∠CDB的度数；（2）首先根据直角三角形两锐角互余得出∠PCB的度数，然后根据切线的性质及圆周角定理即可得出答案．【详解】（1）如图1，又，是的直径，．（2）如图2，连接，则．是的切线，．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论是解题的关键．23．（1）；（2）或；（3）【分析】（1）在平面直角坐标系中作出直线l并画出当以A为圆心，AB为半径的圆与直线l相切时的图形，由切线的性质可得，然后再根据含角的直角三角形的性质、圆的基本性质求得，最后利用线段的和差求得，即可得到点的坐标，进而求得的值；（2）由相对于轴的位置分两种情况进行讨论，添加辅助线过点作、过点作，根据等腰直角三角形的性质可求得，再根据等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得、，然后根据根据含角的直角三角形的性质求得，进而利用线段的和差求得、，即可得到点的坐标，进而求得的值；（3）以为直径作，根据直径所对的圆周角是直角可在上找到符合要求的点使得．当在轴上向右平移的过程中，直线和的位置关系从相离到相切再到相交、再到相切、最后再相离，其中当直线和相切或相交时直线上存在点P，使得．画出图形，求得当直线和相切于轴上方或下方点时点的坐标，即可求得相应的的值，最后可得的取值范围．【详解】解：（1）∵当以为圆心，为半径的圆与直线相切于点时，连接，如图：∴∵，∴在中，∵∴∴∴点的坐标为∴．（2）①当在轴上方时，过点作，如图：∵是等腰直角三角形∴，∴∵∴∵∴在中，∴∴点的坐标为∴；②当在轴下方时，过点作，如图：∵是等腰直角三角形∴，∴∵∴∵∴在中，∴∴点的坐标为∴．∴综上所述，或．（3）当点位于轴上方点时直线和相切，当点位于线段（不包含两端点）上时直线和相交，当点位于