(北师大版)福州市九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑1米到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，米，则（）A． B． C． D．2．近日，重庆观音桥步行街惊现震撼的裸眼3D未来城市，超清LED巨幕，成功吸引了广大市民络绎不绝的前来打卡，一时间刷爆朋友圈．萱萱想了解该LED屏GH的高度，进行了实地测量，她从大楼底部E点沿水平直线步行30米到达自动扶梯底端D点，在D点用仪器测得屏幕下端点H的仰角为36°．然后她再沿着i=4：3长度为40米的自动扶梯到达扶梯顶端C点，又沿水平直线行走了40米到达B点，在B点测得屏幕上端点G的仰角为50°（A，B，C，D，E，H，G在同一个平面内，且B，C和A，D，E分别在同一水平线上），则该LED屏GH的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．122.0米 B．122.9米 C．111.0米 D．111.9米3．尚本步同学家住“3D魔幻城市”——重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度．如图，小尚同学从单元楼CD的底端D点出发，沿直线步行42米到达E点，在沿坡度i=1：0.75的斜坡EF行走20米到达F点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B点，小尚从B点乘直行电梯上行到顶端A点，从A点观测到单元顶楼C的仰角为28º，从点A观测到单元楼底端的俯角为37º，若A、B、C、D、E、F在同一平面内，且D、E和F、B分别在通一水平线上，则单元楼CD的高度约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin28º≈0.47，cos28º≈0.88，tan28º≈0.53，sin37º≈0.6，cos37º≈0.8，tan37º≈0.75）A．79.0米 B．107.5米 C．112.6米 D．123.5米4．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2AC，则cosA的值为（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则sinB的值为（）A． B． C． D．6．如图，边长为的等边三角形的顶点在轴的正半轴上，点为的中心，将绕点以每秒的速度逆时针旋转，则第2021秒，的中心的对应点的坐标为（）A． B． C． D．7．在中，，则的值为（）A． B． C． D．8．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（）A．2 B．3 C． D．9．如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A． B． C． D．10．如图，斜坡的坡比为1∶2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座高楼，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角为76°，楼高为，则斜坡长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，，，）（）A． B． C． D．11．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（）．A． B．3 C． D．212．如图，菱形ABCD的边长是2，∠B=120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则PE＋PD的最小值为（）A． B．C．2 D．二、填空题13．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝________．14．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于________．15．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1=______________．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB＝________________．17．如图所示，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转90°，并延长至其倍（即），过点作于点，当，，时，边的长是______．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，……依次进行下去，则点A2020的横坐标是_____．19．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m．测得斜坡的斜面坡度为i＝1：（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．20．直角三角形ABC中，∠B＝90°，若cosA＝，AB＝12，则直角边BC长为___．三、解答题21．如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC．（1）求的值．（2）求．22．计算下列各小题（1）；（2）．23．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ACD直角边AC重合，∠ACB=∠CAD=90°，点E在AD边上，连接CE，过C作CF⊥CE，且CF=CE，连接印交AC于点H，取CD的中点G，连接HG交CE于点P．（1）如图1，若∠CHF=75°，CH=2，求DH的长：（2）如图2，求证：HG⊥CE（3）如图3，若点E在DA边上运动，延长DC至点M，使得DC=4CM，连接PM，将线段PM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，连接PN，取PN中点Q，连接CQ、DQ，若AC=8，直接写出线段DQ的最小值及此时△CDQ的面积．24．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从处平行飞行至处需10秒，在地面处同一方向上分别测得处的仰角为，处的仰角为，已知无人飞机的飞行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）．25．先化简，再求值：，其中．26．如图，中，分别是的高和中线，过点作的垂线交的延长线于点．（1）求证：（2）若，求的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，从而表示=4k-1，=3k+1，在中，由勾股定理，求得k值，后根据三角函数的定义计算即可．【详解】∵，设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，∴=4k-1，=3k+1，在中，，∴，解得k=1，∴=．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练用未知数表示锐角三角函数中的对应线段是解题的关键．2．A解析：A【分析】作CM⊥AE于M，设射线BC交GE于N，则CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由三角函数定义求出EH=21.9米，由坡度求出DM=24米，NE=CM=32米，得出CN=54米，BN=94米，再由三角函数定义求出GN≈111.86米，得出GE=143.86米，即可得出答案．【详解】解：作CM⊥AE于M，设射线BC交GE于N，如图所示：则CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由题意得：∠GBN=50°，BC=DC=40米，DE=30米，∠EDH=36°，∵tan∠EDH，∴EH=DE×tan∠EDH≈30×0.73=21.9（米），∵DC的坡度为4：3，∴米，米，∴CN=ME=DM+DE=24+30=54（米），∴BN=BC+CN=40+54=94（米），∵tan∠GBN，∴GN=BN×tan∠GBN≈94×1.19≈111.86（米），∴GE=GN+NE=111.86+32=143.86（米），∴GH=GE-EH=143.86-21.9≈121.96≈122.0（米）；故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键．3．B解析：B【分析】作EG⊥BF交BF的延长线于G，AK⊥CD于K．延长DE交AB于H，解直角三角形求出CK、AH即可解决问题．【详解】解：作EG⊥BF交BF的延长线于G，AK⊥CD于K．延长DE交AB于H，如图，则四边形AKDH是矩形，∴AK=DH，KD=AH，∵∴设EG=4x，则FG=3x，由勾股定理得，∵EF=20m∴解得，（负值舍去）∴EG=16m，FG=12m∵DE=42m，BF=30m∴DH=DE+FG+BF=84m，∴AK=84m；在Rt△ADH中，∠ADH=37°∴tan37°=,∴AH=DH×tan37°=84×0.75=63（m）同理，在Rt△AKC中，∠KAC=28°∴tan28°=,∴CK=AK×tan28°=84×0.53=44.52（m）∴CD=CK+DK=63+44.52=107.5≈107.5(m)故选：B【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．D解析：D【分析】设AC=k，则BC=2k，AB=，根据三角函数的定义计算即可.【详解】如图，设AC=k，则BC=2k，根据勾股定理，得AB==，∴cosA==，故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键.5．D解析：D【分析】设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sinB．【详解】解：设BC=a，则AB=3a，，sinB=，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．6．B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，的位置，过C′作C′D⊥x轴于点D，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．【详解】∵360°÷60°=6，∴的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，的位置如图所示，设点C的对应点C′，过C′作C′D⊥x轴于点D，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，OD=DB=，∴DC′=OD∙tan∠DOC′=×tan30°=×=1，∴C′．故选B．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在中，，,，∴，∴；故答案选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．8．D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF==3，则边长AB为3，连AC交BD于E，则AC⊥BD，由左视图得AE=CE=x，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=，AE=AB•cos30°=，即x=．故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．9．C解析：C【分析】如图（见解析），先利用勾股定理求出AC的长，再根据正切三角函数的定义即可得．【详解】如图，由题意得：是斜坡与水平地面的夹角，由勾股定理得：，则，即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．10．C解析：C【分析】先延长BC交PD于点D，在Rt△ABC中，tan76°=，BC=18求出AC，根据BC⊥AC，AC∥PD，得出BE⊥PD，四边形AHEC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，过点A作AH⊥PD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可．【详解】解：延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．在Rt△ABC中，tan76°=，BC=18米，∴AC=4（米）．过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．由PH+HD=BC+CD得：12k+4=5k+18，解得：k=2，∴AP=13k=26（米）．故选：C．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．11．B解析：B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．【详解】解析设小正方形的边长为1，由图形可知，，是等腰直角三角形，．，，，，．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．12．B解析：B【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴点B与点D关于直线AC对称.如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD的最小值，连接BD.∵∠B=120°，∴∠BCD=180°−120°=60°.又∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形.∵E是CD的中点，.故选B.二、填空题13．【分析】过D作于点E则DE是的中位线即可求得DE的长在直角利用勾股定理即可求得EC的长根据正切的定义即可求解【详解】如图过D作于点E则∵CD是AB边上的中线∴DE是的中位线∴在直角中∴故答案为：【点解析：．【分析】过D作于点E，则DE是的中位线，即可求得DE的长，在直角，利用勾股定理即可求得EC的长，根据正切的定义即可求解．【详解】如图，过D作于点E，则，∵CD是AB边上的中线，∴DE是的中位线，∴，在直角中，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正切的定义，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，把求三角函数值的问题转化为求直角三角形的边的比值，是解题的关键．14．3【分析】根据勾股定理以及网格结构可以求得ACABBCCD的长然后根据等积法求得AE的长再根据勾股定理可得到CE的长然后根据正切函数的定义即可得到的值【详解】解：如图作CD⊥AB于点D作AE⊥BC于解析：3【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC、CD的长，然后根据等积法求得AE的长，再根据勾股定理可得到CE的长，然后根据正切函数的定义即可得到的值．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC=，AB=5，BC=，CD=3，∵S△ABC=AB•CD=BC•AE，∴AE=∴CE=∴tan∠ACB=，故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．【分析】解：如图添加字母过A作AB∥ED可得∠1=∠CAB连结BC在△ABC中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2证得∠ABC=90°由AB=BC可得∠CAB=45°利解析：【分析】解：如图添加字母，过A作AB∥ED，可得∠1=∠CAB，连结BC，在△ABC中由勾股定理AC=，AB=，BC=，由AB2+BC2=5+5=10=AC2，证得∠ABC=90°，由AB=BC可得∠CAB=45°，利用三角函数定义sin∠CAB=。【详解】解：如图添加字母，过A作AB∥ED，使AB=ED，∠1=∠CAB，连结BC，在△ABC中，AC=，AB=，BC=，∵AB2+BC2=5+5=10=AC2，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠CAB=45°，sin∠CAB，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，以及锐角三角函数关系，正确得出是直角三角形是解题关键．16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB然后根据余弦的定义求出cosA即可【详解】解：在Rt△ABC中∵CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB而解析：【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB，而cosA=＝=，∴cos∠DCB=．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．17．【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°通过证明△ADE∽△BDC可得由勾股定理可求AE的长即可求解【详解】解：如图连接BDAEDE∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°并延长至其倍∴∠DCE=90°解析：【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°，通过证明△ADE∽△BDC，可得，由勾股定理可求AE的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BD，AE，DE，∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍，∴∠DCE=90°，CE＝CD，∴，∴∠DEC=30°，∴，，∵，∴，∴，又∵∠DEC=∠DAB=30°，∴△DEC∽△DAB，∴∠ADB=∠EDC，，∴∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴，∵，AD=6，∴AB=9，又∵BF=3，∴AF=6，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明△DEC∽△DAB是本题的关键．18．【分析】观察图形找到图形变化的规律利用规律求解即可【详解】解：∵OB1＝1∠ODB1＝60°∴OD＝B1（10）∠OB1D＝30°∴D（0）如图所示过A1作A1A⊥OB1于A则OA＝OB1＝即A1的解析：【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．【详解】解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°，∴OD＝，B1（1，0），∠OB1D＝30°，∴D（0，），如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝OB1＝，即A1的横坐标为＝，由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，∴∠A1B1B2＝90°，∴A1B2＝2A1B1＝2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝A1B2＝1，即A2的横坐标为+1＝＝，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，即A3的横坐标为+1+2＝＝，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4＝＝，由此可得，An的横坐标为，∴点A2020的横坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律及特殊三角函数值，关键是根据题意及三角函数值得到点的坐标规律即可．19．4米【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离【详解】由题意水平距离为6米铅垂高度2米∴斜坡上相邻两树间的坡面距解析：4米．【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离＝（m），故答案为：4米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．20．16【分析】先利用三角函数解直角三角形求得AC＝20再根据勾股定理即可求解【详解】解：∵在直角三角形ABC中∠B＝90°cosA＝AB＝12∴cosA＝＝＝∴AC＝20∴BC＝＝＝16故答案是：16解析：16【分析】先利用三角函数解直角三角形，求得AC＝20，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，∴cosA＝＝＝，∴AC＝20，∴BC＝＝＝16．故答案是：16．【点睛】此题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．三、解答题21．（1）；（2）【分析】（1）证明△ABE是等腰直角三角形得，再证明∠得BE=DE，从而可得结论；（2）设，则，再求出AD的长，最后求出的值即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠∵BE平分∠ABC，∴∠∴△ABE是等腰直角三角形，∴∵BD平分∠EBC∴∠∵∴∠∴∠∴∴（2）由（1）知，设，则∴在中，．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等三角形的判定以及垗角的正切值，证明是解答此题的关键．22．（1）；（2）．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；【详解】（1）==．（2）===．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键；23．（1）；（2）证明见解析；（3），．【分析】（1）作HK⊥CD，根据角度及线段的长度关系即可求解．（2）连接BF，作FL⊥AC，可证，进而可证，可得H为FD的中点，HG为的中位线，从而可得HGFC，结论得证．（3）可得为等边三角形，当E靠近D时，Q越靠近N，DQ越短,，故当E与D重合时，QD取得最小值，过点P作PK⊥EQ，交EQ于点K，可分别求得、、，通过+与的关系式，可求得DQ的最小值；过点C作CI⊥PQ于点I，过点J作DJ⊥PQ交PQ的延长线于点J，利用的关系式可求△CDQ的面积．【详解】解：（1），，，，，作HK⊥CD，，∵CH=2，，．（2）连接BF，则，，，∵B