(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(答案解析)

一、选择题1．已知实数，满足且的最小值为-6，则实数的值为（）．A．2 B．3 C．4 D．82．实数，满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．3．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．1 B．20 C．28 D．324．设实数，满足约束条件则的最小值是（）A．2 B．-2 C．1 D．-15．设x，，，求的最小值为（）．A．2 B．4 C．8 D．96．已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．设，满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．8．已知，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．1010．已知，且，则的最大值是（）A． B．4 C． D．811．下列函数中，最小值为4的是（）A． B．C． D．12．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．9二、填空题13．为实数，只要满足条件，就有不等式恒成立，则k的最大值是__________．14．取得最小值时，______.15．设，满足约束条件，则的最大值是________.16．已知实数x，y满足，则的最大值为______．17．已知当取到最小值时，的最大值为________.18．已知实数，满足则函数的最大值为__________．19．已知，是正数，，则的最小值为________.20．已知正实数，满足，则的最小值是_________.三、解答题21．已知函数.（1）当时，解关于x的不等式；（2）若关于x的方程在上有两个不相等实根，求实数a的取值范围.22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.23．已知函数（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；（2）若成立，求实数的取值范围.24．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.25．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？26．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出不等式组对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论.【详解】由题意可作图：当经过点P时，z取最小值6，此时P符合：，即代入得：m-2-2m=-6,解得m=4故选：C【点睛】简单线性规划问题的解题步骤：(1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；(4)下结论．2．D解析：D【分析】首先画出可行域，变形，利用的几何意义求的最大值.【详解】设，表示可行域内的点和连线的斜率，，解得：，即，，解得：，即，如图，，，所以的取值范围是，即的取值范围是，的最大值是.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形，并理解的几何意义，利用数形结合分析问题.3．C解析：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由得点，由图得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图所示：移动直线，可知当其过点时取得最小值，解方程组，求得，即，代入求得，所以的最小值是，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.5．D解析：D【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值．【详解】因为x，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：D．【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是利用“1”的代换凑配出定值．用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等．特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最值．6．D解析：D【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式在区间上有解，设，由函数在上单调递增，可求得实数的取值范围.【详解】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为，故选：D.【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：有解⇔，有解⇔.7．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由得到，平移直线，当过A时直线截距最小，最大，由得到，所以的最大值为，故选C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比较α、β的系数，得，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．9．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法10．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．【详解】由题意得，，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．故选C．【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．11．C解析：C【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断.【详解】A项，没有最值，故A项错误；B项，令，则，，由于函数在上是减函数，所以，故B项错误；C项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故C项正确；D项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故D项错误．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.12．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件的可行域，如图，画出可行域，，，，平移直线，由图可知，直线经过时目标函数有最大值，的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.二、填空题13．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：【分析】根据对数的运算性质，可得，，，设，，原不等式可化为，由，可得，令小于等于的最小值即可.【详解】由题意，，，，设，，则，又，所以原不等式可化为，由，可得，则原不等式可化为，又，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设，，可将原不等式化为，进而结合的范围可得到.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4【分析】将所给式子变形为，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当即时，等号成立.故答案为：4.【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解.15．8【分析】根据xy满足的约束条件画出可行域然后平移直线当直线在y轴上截距最大时目标函数取得最大值【详解】依题意xy满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点平移直线（图中虚线）当直线经过C点时在y轴解析：8【分析】根据x，y满足的约束条件画出可行域，然后平移直线，当直线在y轴上截距最大时，目标函数取得最大值.【详解】依题意x，y满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点、、，平移直线（图中虚线），当直线经过C点时，在y轴上的截距最大，目标函数有最大值，，所以目标函数的最大值是8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想.线性规划问题考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.16．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形，顶点是(0,1)()（0，2）目标函数，可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2，故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．17．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重解析：【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为，通过平移可知当直线与直线重合时，取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数变形为，由图可知当直线与直线重合时，取得最小值，此时，所以，当且仅当且，即时等号成立.所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.18．【解析】作出不等式所表示的平面区域如图所示由得作出直线并平移由图象可知当直线经过点时纵截距最小此时最大联立得即故解析：【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图所示，由得，作出直线，并平移，由图象可知，当直线经过点时，纵截距最小，此时最大，联立，得，即，故．19．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求解析：【分析】首先将题中已知条件转化，可得，利用基本不等式可求得，之后应用不等式的性质求得结果.【详解】由可得，即，所以，由，得，当且仅当时取等号，所以有，，，所以，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.20．【分析】由题易得然后由基本不等式可得最后可求得的最小值【详解】将式子变形为即因为所以（当且仅当时等号成立）所以有即故所以则的最小值是故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值考查逻辑思维能力和运解析：【分析】由题易得，然后由基本不等式可得，最后可求得的最小值.【详解】将式子变形为，即，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以有，即，故，所以，则的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.三、解答题21．（1）或；（2）或.【分析】（1）对一元二次不等式分解因式，通过得出，可得不等式的解集；（2）关于x的方程在上有两个不相等实根，可得，设，则有且对称轴小于，解不等式可得实数a的取值范围．【详解】（1）∵∴，即或（2）解法一：∵在上有两个不相等实根∴或设，则∴∴，又的对称轴为，∴，∴∴综上或.解法二：∵在上有两个不相等实根∴令令则，即由图象可知，该题转化为与有两个不同的交点∴或【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数开口向上，则两根都小于时，则；2.两根都大于时，则3.一根小于，一根大于时，则．22．（1），，；（2）；（3）【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，令，即可得出答案.【详解】（1）由题意，，即，，.（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.23．（1）；（2）．【分析】（1）由二次不等式恒成立可得，于是可求得的取值范围；（2）分离参数得在区间上有解，转化为求在区间上的最大值求解即可．【详解】（1）由题意得在R上恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为．（2）由题意得成立，∴成立．令，则在区间上单调递增，∴，∴，解得，∴实数的取值范围为．【点睛】解题时注意以下结论的