2023届吉林省吉林市普通中学高三上学期10月第一次调研数学试题

2023届吉林省吉林市普通中学高三上学期10月第一次调研数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据共轭复数的定义求出，在根据复数模长公式求出模长.【详解】根据共轭复数的定义，时，，则.故选：C2．设全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集与补集运算即可得到结果.【详解】∵全集，，，∴，∴.故选：B3．有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，其中，且，则下列说法中错误的是（

）A．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的倍C．新样本数据的方差是原样本数据方差的倍D．新样本数据的极差是原样本数据极差的倍【答案】C【分析】根据平均数、百分位数、方差、极差的概念与性质逐一判断即可．【详解】设原样本数据的平均数为，则新样本数据的平均数为，故A正确；原样本数据按从小到大的顺序排列，则每个数据乘以后从小到大的顺序不变．设原样本数据的上四分位数为，根据百分位数的概念，新样本数据的上四分位数为，故B正确；设原样本数据的方差为，则新样本数据的方差为，故C错误；设原样本数据最大为，最小为，原样本数据的极差为，则新样本数据的极差是，即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，故D正确．故选：C．4．对于任意的且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数、反比例函数和幂函数的定义域和单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，在上单调递减，，A错误；对于B，当时，原式无意义，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，在上单调递增，，D正确.故选：D.5．若，且，则（

）A． B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系化简即可求解.【详解】因为，由二倍角公式可得：，化简整理可得：，因为，所以或，当时，由可得：，所以或，故选：.6．已知数列满足，，则数列的前2023项的乘积为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题知数列是以为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列，因为，所以，，，所以，所以.故选：D7．已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用基本不等式及巧用“1”，即可得到结果.【详解】∵，，,所以，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4.故选：C8．已知函数的定义域为，满足，且在上单调递增，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由可得函数关于直线对称，结合函数的单调性与对称性解不等式.【详解】由可得函数关于直线对称，又函数在上单调递增，则函数在上单调递减，因为，所以，解得或，即，故选：A.二、多选题9．中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（

）A．“商、羽、角”的频率成等比数列B．“角、商、宫”的频率成等比数列C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增【答案】BD【分析】根据“损”、“益”变化规律可得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶对应的频率，由此可得结论.【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为；“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为；“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为；成公比为的等比数列，“角、商、宫”的频率成等比数列；又，“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增.故选：BD.10．已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若与夹角为钝角，则D．若，则在方向上的投影向量的坐标为【答案】ABD【分析】根据向量平行垂直的坐标运算即可判断A,B，根据数量积的定义以及投影向量的定义即可求解C，D.【详解】若，则，故A正确，若，则，故B正确，若，由A选项可知，当时，，此时，与方向相反，夹角为，故与夹角为钝角时，则且，故C错误，在方向上的投影向量为，故D正确，故选：ABD11．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（

）A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立【答案】BC【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可；对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故与独立，故C正确；对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故与不独立，故D错误.故选：BC.12．设函数，，则（

）A．的所有根的和为0B．有4个实数根C．最小值为2D．在上单调递增【答案】ACD【分析】由可求方程的解，从而可判断AB的正误，利用基本不等式可判断C的正误，根据导数的符号可判断D的正误.【详解】由可得，则，故或（舍）.因为在上为偶函数且值域为，而在为增函数，在上为减函数，故在有两个互为相反数的实数解，故的所有根的和为0，故A正确，B错误.当时，，由基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，故最小值为2，故C正确.当时，，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知非空集合，，且集合满足条件，集合满足条件，若，则是的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】根据题意得集合是集合的真子集，进而充分不必要条件的概念判断即可.【详解】解：因为非空集合，，，所以，集合是集合的真子集，因为集合满足条件，集合满足条件，所以，是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要14．在平行四边形中，，，若，则______.【答案】【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题.【详解】因，则又注意到，.则=.故答案为:15．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.【答案】【分析】由最大最小值可得的值，再由周期求出，最后根据五点法求出的值，可得的解析式.【详解】设的最小正周期为，由图可知，，由得，，.，，.故答案为：16．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是______.【答案】【分析】关于的不等式在上恒成立的两个临界状态是：直线与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可求得的取值范围.【详解】画出函数的图像，如图所示：关于的不等式在上恒成立，等价于函数的图像恒在直线的图像的下方，又直线恒过定点当直线与相切时，设切点，求导，可得，解得：，则直线斜率为，即当直线与相切时，此时由整理得：，令，解得或（舍去）（由图可知）所以由图像可知，实数的取值范围是故答案为：四、解答题17．已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.(1)求与的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得求与的通项公式；（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，设的公差为，的公比为（），，，解得（负根舍去），.所以（2），所以.18．已知函数.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)方案①先将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）；方案②先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度.从上述两个方案中任选一个补充到下面的横线上，并解答相应问题：若按方案______变换，得到函数的图象，求在上的最小值及取得最小值时的值.注：如果选择方案①和方案②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)最小正周期为,单调递减区间为(2)方案选择见解析，当时，取得最小值.【分析】（1）化简的解析式，根据三角函数最小正周期及单调递减区间的求法求得正确答案.（2）根据方案①或②求得的解析式，结合三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1），所以的最小正周期为，由解得，所以的单调递减区间是.（2）若选方案①：先将函数的图象向左平移个单位长度，得，再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得.若选方案②：先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得，再向左平移个单位长度得.由于，所以当时，取得最小值为.19．已知函数在处有极小值4.(1)求的解析式；(2)若关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用极值以及取得极值的必要条件，建立方程组，可得答案；（2）利用导数，求得函数的单调性以及极值，根据图象，可得答案.【详解】（1）由，则，因为函数在处有极小值4，所以可得，则，解得，故.（2）由题意，等价于函数与存在三个不同的交点，由（1）可知，，令，解得，可得下表：极大值极小值则，，解得.20．为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.参考公式：，（是第组的频率），参考数据：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；（2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；（3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.【详解】（1）依题意，得，所以抽取的200名学生的平均成绩.（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.（3）依题意，得，所以优秀的比赛成绩应该，而比赛成绩在的频率为：，而，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.21．记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若，的面积为2，求的周长．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）由的面积求得，由余弦定理结合（1）的结论求出，进而求得，从而得到答案.【详解】（1），，即由正弦定理得由余弦定理得：，即．（2），在中，的面积为2，即，由余弦定理得，，又，的周长是．22．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有2个零点，且，求实数的取值范围，并证明.【答案】(1)答案详见解析(2)的取值范围是，证明详见解析【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）根据（1）的结论对进行分类讨论，结合有个零点以及存在性定理求得转化为证明在上递增，结合导数来证得不等式成立.【详解】（1）的定义域为，，当时，，由解得，所以在区间递减；在区间递增.当时，由解得，则当时，，所以在区间递增；在区间递减.（2）当时，，，由（1）得在区间递增；在区间递减.所以时，取得极大值，，所以时，没有两个零点，不符合题意.当时，，此时有唯一零点，不符合题意.当时，由（1）得在区间递减；在区间递增，所以时，